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一 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 1 直角坐標(biāo)分量式 2 平面極坐標(biāo)分量 3 自然坐標(biāo)分量 大小 大小 1 總復(fù)習(xí) 二 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 三條推論 三 非慣性系力學(xué) 2 比耐公式 四 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué) 1 三條基本定理 2 柯尼希定理 對平面平行運(yùn)動(dòng)剛體 3 變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)微分方程 3 五 剛體力學(xué) 平面平行運(yùn)動(dòng) 1 運(yùn)動(dòng)學(xué) 特點(diǎn) w對任何基點(diǎn)都相同 剛體上任何一點(diǎn)的速度和加速度 瞬心 2 靜力學(xué) 平衡條件 4 3 動(dòng)力學(xué) 基本動(dòng)力學(xué)方程 動(dòng)能定理 六 分析力學(xué) 1 虛功原理 適用條件 理想約束 質(zhì)點(diǎn)組和剛體可求約束力 5 6 1 判斷一個(gè)力場是不是保守力場的判據(jù)是 力場存在勢能的充要條件是 保守力做功特點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械守恒條件是 2 由 定理可推出可變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)方程 其表達(dá)式為 3 在定 動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)重合的空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中 質(zhì)點(diǎn)所受的牽連慣性力有 科氏慣性力為 4 比耐公式適用條件 一質(zhì)點(diǎn)受有心力作用 負(fù)號表示有心力為 力 則列出求解其軌道的微分方程為 5 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變 則能改變 概念舉例 7 6 水面上浮著一只小船 如果船上一人向船尾走去 則船向 移動(dòng) 若水的阻力不計(jì) 人和船組成的系統(tǒng)其質(zhì)心速度為 質(zhì)心加速度為 7 研究平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律時(shí)基點(diǎn)可任意選取嗎 研究其動(dòng)力學(xué)問題時(shí)基點(diǎn)可任意選取嗎 通常取哪一點(diǎn)為基點(diǎn) 8 作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度公式和加速度公式為 9 在光滑的水平面上放一半徑為r 質(zhì)量為m1的圓環(huán) 有一質(zhì)量為m2的甲蟲沿此環(huán)爬行 則由甲蟲和圓環(huán)組成的系統(tǒng)所受的外力矢量和為 質(zhì)心加速度為 8 例1 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 求軌道 速度 加速度的大小 計(jì)算題舉例 9 例2 一質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng) 在選定的極坐標(biāo)系下徑向速度和橫向速度分別為恒量c1和c2 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程和加速度的大小 設(shè)t 0時(shí)r b 0 10 例3 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x 2 m sin t 3 y 2 m cos t 3 求其軌道方程和曲率半徑 切向加速度和法向加速度 11 例4 一質(zhì)點(diǎn)受有心力作用 列出求解其軌道的微分方程 例5 如下圖所示 船長為L 2a 質(zhì)量為M的小船 在船頭上站一質(zhì)量為m的人 如不計(jì)水的阻力 試證當(dāng)人非勻速從船頭走到船尾時(shí) 船移動(dòng)的距離為多少 解 12 13 例6 如圖所示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn) 在光滑的水平圓盤面上沿著弦AB滑動(dòng) 圓盤以勻角速 繞鉛重軸c轉(zhuǎn)動(dòng) 如質(zhì)點(diǎn)被兩個(gè)彈簧系住 彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)各為k 質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)彈簧未形變 求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期 解 14 例7 有一鏈條 堆放在一傾角為a的斜面底邊 今用一沿光滑斜面向上的力F拉鏈條 使鏈條以加速度a沿斜面作勻加速運(yùn)動(dòng) 試求此力F與鏈條在斜面上的長度x函數(shù)關(guān)系 設(shè)鏈條的質(zhì)量線密度為r 15 例8 已知均質(zhì)圓柱A與滑輪B的質(zhì)量均為m1 半徑相同 圓柱A向下作純滾動(dòng) 物體C的質(zhì)量為m2 斜面不光滑 A B輪軸處摩擦不計(jì) 求圓柱A質(zhì)心加速度及繩子對C物的拉力 解 1 分別取圓柱A 滑輪B球和物體C為研究對象 2 受力分析 運(yùn)動(dòng)分析 滑輪B 物體C 圓柱A vA C vC 約束條件 純滾動(dòng) 繩子剛性 不可伸長 16 例9 質(zhì)量為M 半徑為R的勻質(zhì)圓柱放在粗糙的斜面上 斜面的傾角為a 圓柱外繞有細(xì)繩 繩子跨過一輕滑輪 并懸掛一質(zhì)量為m的物體 設(shè)圓柱體作純滾動(dòng) 圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行 求被懸掛物體的加速度及繩子中的張力 解 17 例10 半徑為r的實(shí)心勻質(zhì)圓柱質(zhì)量為m1 其中部繞以細(xì)繩 再繞過滑輪B與物體A相連 物A的質(zhì)量為m2 物A與水平面間的摩擦系數(shù)為m 試求物體A和圓柱中心C的加速度各為多少 滑輪與繩子的質(zhì)量均忽略不計(jì) 解 解上述方程得 18 例11 作業(yè)3 2 長為2L的均質(zhì)棒 一端抵在光滑墻上 而棒身則如圖示斜靠在與墻相距為d d Lcosq 的光滑棱角上 用虛功原理求出棒在平衡時(shí)與水平面所成的角q 19 例12 如下圖所示的機(jī)構(gòu) 已知各桿長為L 彈簧的原長L 彈性系數(shù)k 若忽略各處摩擦不計(jì) 各桿的重量忽略不計(jì) 試用虛功原理求平衡時(shí)p的大小與角度q之間的關(guān)系 解 20 例13 如下圖所示的機(jī)構(gòu) 已知各桿長為L 彈簧的原長也L 彈性系數(shù)為k 若忽略各處摩擦不計(jì) 各桿的重量也忽略不計(jì) 試用虛功原理求平衡時(shí)p的大小與角度q之間的關(guān)系 解 根據(jù)虛功原理得 21 例14 用光滑鉸鏈連成一六邊形 六根桿同長l同重w 其中一桿用螺釘固定在天花板上 上下桿的中點(diǎn)用一細(xì)繩相連接 繩長a a 2l 求繩中張力 解 22 例15 如圖的機(jī)構(gòu)中 AB BC L BE BD b 彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k 當(dāng)x a時(shí) 彈簧拉力為零 該系統(tǒng)在力F作用下平衡 桿重不計(jì) 求平衡時(shí)x 代入上面的方程可得 23 例16 試用牛頓方法和拉氏方法證明單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程 其中q為擺線與鉛直線之間的夾角 l為擺線長度 解 1 用牛頓法 2 用拉氏方法 24 例17 試用牛頓方法和拉氏方法證明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 2 用拉氏方法 25 例18 設(shè)有一與彈簧相連的滑塊A 其質(zhì)量為m1 它可沿光滑水平面無摩擦來回滑動(dòng) 彈簧的彈性系數(shù)為k 在滑塊A上又連一單擺 擺的質(zhì)量為m2 擺長為l 桿子的質(zhì)量不計(jì) 試用拉氏方程列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解 1 取m1 m2 彈簧為研究系統(tǒng) 此系統(tǒng)除了保守力之外 其它力均不作虛功 可以用保守系拉氏方程求解 3 求T V L 方法一 方法二 26 4 列出拉氏方程 5 解方程得出結(jié)果 若系統(tǒng)做微振動(dòng) 27 例19 一滑輪可繞過輪心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng) 在此輪上繞過一條不可伸長的輕繩 繩的一端懸一砝碼 質(zhì)量為m 另一端則固定在一鉛直彈簧上 彈簧下端連地 彈簧的彈性系數(shù)為k 已知滑輪的質(zhì)量為M 其質(zhì)量分布在輪緣上 試用拉氏方程求砝碼的振動(dòng)周期 以彈簧未伸長時(shí)砝碼所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O 28 例20 質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)被限止在水平固定的光滑直線ox上滑動(dòng) 另一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)以長為a的輕桿 桿質(zhì)量不計(jì) 和m1相連 此桿僅能在通過固定直線的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng) 如圖所示 設(shè)此兩質(zhì)點(diǎn)只受重力作用 試用拉格朗日方程得出此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程