《2017年高考數(shù)學(人教版文)一輪復習課時作業(yè)55第8章解析幾何.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017年高考數(shù)學(人教版文)一輪復習課時作業(yè)55第8章解析幾何.doc（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

課時作業(yè)(五十五)　定點、定值、探索性問題 1．(2016保定模擬)設橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過點。 (1)求橢圓E的方程。 (2)設橢圓E的左頂點是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標。 解析：(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2， 橢圓方程為＋＝1，代入點可得b2＝2，a2＝4， 故橢圓E的方程為＋＝1。 (2)由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得：(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 設M(x1，y1)，N(x2，y2)得： y1＋y2＝－，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝。 因為以MN為直徑的圓過點A， 所以AM⊥AN， 所以＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2＋4＋＝＝＝0。 因為M，N與A均不重合，所以t≠－2， 所以t＝－，直線l的方程是x＝my－，直線l過定點T， 由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過定點T。 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(2，)。 (1)求橢圓的標準方程； (2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，若kACkBD＝－，求證：四邊形ABCD的面積為定值。 解析：(1)由題意e＝＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2， 解得a2＝8，b2＝4，故橢圓的標準方程為＋＝1。 (2)證明：設直線AB的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，① 由根與系數(shù)的關(guān)系得 ∵kACkBD＝－＝－，∴＝－， ∴y1y2＝－x1x2＝－＝－。 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝k2＋km＋m2＝， ∴－＝， ∴－(m2－4)＝m2－8k2，∴4k2＋2＝m2。 設原點到直線AB的距離為d，則 S△AOB＝|AB|d＝|x2－x1| ＝ ＝＝＝2， ∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝8， 即四邊形ABCD的面積為定值。 3．(2015廣東卷)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B。 (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。 解析：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4， ∴圓C1的圓心坐標為(3,0)。 (2)設M(x，y)，則 ∵點M為弦AB中點即C1M⊥AB， ∴kC1MkAB＝－1即＝－1， ∴線段AB的中點M的軌跡的方程為2＋y2＝。 (3)由(2)知點M的軌跡是以C為圓心r＝為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點)，且E，F(xiàn)，又直線L：y＝k(x－4)過定點D(4,0)， 當直線L與圓C相切時，由＝得k＝，又kDE＝－kDF＝－＝，結(jié)合上圖可知當k∈∪時，直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點。 4．(2015湖北卷)一種畫橢圓的工具如圖1所示。O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的拴子D可沿滑槽AB滑動，且DN＝ON＝1，MN＝3，當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系。 圖1 圖2 (1)求橢圓C的方程； (2)設動直線l與兩定直線l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分別交于P，Q兩點，若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由。 解析：(1)因為|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4。 當M，N在x軸上時，等號成立； 同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，當D，O重合，即MN⊥x軸時，等號成立。 所以橢圓C的中心為原點O，長半軸長為4，短半軸長為2，其方程為＋＝1。 (2)(ⅰ)當直線l的斜率不存在時，直線l為x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝44＝8。 (ⅱ)當直線l的斜率存在時，設直線l：y＝kx＋m(k≠)。 由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0。 因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點。 所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0， 即m2＝16k2＋4。① 又由可得P； 同理可得Q。 由原點O到直線PQ的距離為d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝|PQ|d＝|m||xP－xQ|＝|m|＝。② 將①代入②得，S△OPQ＝＝8。 當k2＞時，S△OPQ＝8＝8＞8； 當0≤k2＜時， S△OPQ＝8＝8。 因0≤k2＜，則0＜1－4k2≤1，≥2， 所以S△OPQ＝8(－1＋)≥8，當且僅當k＝0時取等號。 所以當k＝0時，S△OPQ的最小值為8。 綜上(1)(2)可知，當直線l與橢圓C在四個頂點處相切時，△OPQ的面積取得最小值8。