高中數(shù)學教學論文《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中應(yīng)用.doc
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淺談“數(shù)形結(jié)合思想”在解題中的應(yīng)用 福鼎二中 夏宇寧 一、數(shù)形結(jié)合思想的提出 在高中數(shù)學解析幾何這一模塊中,處理問題的方法常見有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題、幾何法從“形”的角度解決問題,這兩種方法相輔相成,相得益彰。現(xiàn)舉例如下:若直線與曲線恰有一個公共點,求k的取值范圍. 解:(代數(shù)法)曲線方程可化為,把代入 可得:(),由題意可知方程僅有一個非負根 ①當方程有等根時,即=0,可得,當時,方程可化為,得不合題意;當時,方程為 得符合題意,可知; ②當方程根為時,得,,當時,方程為,得方程兩個根為,不合題意應(yīng)舍去;當時,方程為,得方程兩個根為,適合題意,可知; ③當方程根為一正一負時,只需,可得。 綜上所述:所求 k的取值范圍為或。 (幾何法)曲線是單位圓的右半圓(), k是直線在y軸上的截距.在同一坐標系中畫出兩曲線圖像如圖所示知:直線與曲線相切時,,由圖形:可得或。 上述兩種解法可以看出利用代數(shù)法求解過程較為復(fù)雜、繁瑣且容易錯;而利用幾何法即一種數(shù)形結(jié)合的思想方法,卻能使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,它在數(shù)學解題中具有極為獨特的指導作用。 二、數(shù)形結(jié)合思想的概述 數(shù)與形是數(shù)學中兩個最古老、最基本的元素,是數(shù)學大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學問題時,常常根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,將數(shù)的問題利用形來觀察,揭示其幾何意義;而形的問題也常借助數(shù)去思考,分析其代數(shù)含義,如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來,并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。 數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面,其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來,關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時,要注意三點:第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征,對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 三、數(shù)形結(jié)合思想解題方法指導 1.轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑: ① 通過坐標系的建立,引入數(shù)量化靜為動,以動求解。 ② 轉(zhuǎn)化,通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點,把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮,如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點間的距離等。 ③ 構(gòu)造,比如構(gòu)造一個幾何圖形,構(gòu)造一個函數(shù),構(gòu)造一個圖表等。 2.運用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法: ①“由形化數(shù)” :就是借助所給的圖形,仔細觀察研究,提示出圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系,反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。 ②“由數(shù)化形” :就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形,使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。 ③“數(shù)形轉(zhuǎn)換” :就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立,又統(tǒng)一的特征,觀察圖形的形狀,分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu),引起聯(lián)想,適時將它們相互轉(zhuǎn)換,化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。 四、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用 1、化靜為動用圖像 例1 已知:有向線段的起點與終點坐標分別為,,若直線與有向線段延長線相交,求實數(shù)的取值范圍。 分析:題中直線是一條過定點的動直線系,而有向線段是一條定的有向線段,要使直線與有向線段延長線相交,可先找到過一個臨界點,再從運動觀點促使直線的斜率在某一范圍內(nèi),從而可求實數(shù)的取值范圍。 解:直線的方程可化為點斜式:,易知直線過定點且斜率為,因為與的延長線相交,由數(shù)形結(jié)合可得:當過且與平行時,直線的斜率趨近于最??;當過點時,直線的斜率趨近于最大,又,,設(shè)直線的斜率為,由 , 得 所以 評注:含有一個變量的直線方程可化為點斜式或化為經(jīng)過兩直線交點的直線系方程.本題是化為點斜式方程后,可看出交點和斜率,此類題目一般結(jié)合圖形化靜為動,以動求解,可判斷出斜率的取值范圍。 2、破解疑難構(gòu)圖像 例2 求函數(shù)的值域。 分析:本題可以把函數(shù)化為關(guān)于的三角函數(shù),然后利用其有界性求值域,但其運算量大,對學生的運算能力有較高要求,有一定難度。此題可看成過兩點(),構(gòu)成直線的斜率的范圍,又()在一個單位圓上,故可構(gòu)造圖像求此函數(shù)值域。 解:的形式類似于斜率公式 M 表示過兩點(),構(gòu)成直線的斜率 由于點在單位圓上,如圖, 顯然,設(shè)過的圓的切線方程為 則有,解得,即, 評注:本題考查了三角函數(shù)值域與直線斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系,考查學生的數(shù)形結(jié)合的能力。 在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時,若把三角函數(shù)的性質(zhì)、化簡的形式通過構(gòu)造思想融于函數(shù)的圖象之中,將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來進行分析、研究,使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來,這是解決三角函數(shù)問題的一種思維策略。 3、尋求正解配圖像 例3 設(shè)A=,B=,C=,若,求實數(shù)的取值范圍。 分析:解決本題的關(guān)鍵是依靠二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C,進而用不等式將這一集合語言加以轉(zhuǎn)化。 解:∵在上是增函數(shù),∴B=。 作出函數(shù)的圖象,其定義域右端點有三種不同的位置關(guān)系: ①當時,如圖1,,即{z|}。 要使,必須且只需,解得,與矛盾。 ②當時,如圖2,,即{z|}. 要使,必須且只需,解得。 ③當時,如圖3,,即{z|}。 要使,必須且只需,解得。 ④當時,A=,此時B=C=,成立。 綜上所述,a的取值范圍是。 評注:解決集合問題首先要看清元素究竟是什么,然后再把集合語言“翻譯”為數(shù)學語言,進而分析條件與結(jié)論的特點,再將其轉(zhuǎn)化為圖形語言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決。 對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,應(yīng)抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系,借助圖象的直觀形象,達到解決問題的目的。 4、結(jié)論模糊畫圖像 例4 (08年高考湖南卷理3改編)已知變量x、y滿足條件 求的最大值. 分析:本題實質(zhì)是線性規(guī)劃問題,運用圖像畫平面區(qū)域,再求線性目標函數(shù)的最值。 解:如圖所示,可行域為圖中陰影部分(包括邊界線),則z=在A點處取得最大值,由得A(3,3),故最大值為3+3=6. 評注:二元一次不等式組與二元函數(shù)的對應(yīng)實質(zhì)上是簡單線性規(guī)劃問題,利用可行域可以求目標函數(shù)的最值,屬于典型的數(shù)形結(jié)合的案例。值得注意的是,目標函數(shù)對應(yīng)的直線與邊界直線斜率的大小關(guān)系用于確定最優(yōu)解的正確位置應(yīng)仔細觀察各直線的傾斜程度,準確判定可行域內(nèi)的最優(yōu)解。 總之,數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中基本而又重要的思想,是解答數(shù)學試題的的一種常用方法與技巧,特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效。數(shù)學家華羅庚曾指出:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非?!笨梢姅?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。在高考復(fù)習時,同學們必須隨時注意運用數(shù)形結(jié)合思想,復(fù)習中要以熟練技能、方法為目標,加強這方面的訓練,以提高解題能力和速度。- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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