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廣東省廣州市六校2012屆高三第一次聯(lián)考（理數(shù)） 數(shù)學(xué)（理科）試題 （廣東省實驗中學(xué)、華師附中、廣州二中、廣雅中學(xué)、廣州執(zhí)信中學(xué)、廣州六中聯(lián)考） 本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘． 第 Ⅰ 卷 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．設(shè)，，，則= A． B． C． D． 2．已知，且在第二象限，那么在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命題：，則命題的否定是 A． B． C． D． 4．已知,運算原理如右圖所示，則輸出的值為 A． B． C． D． 5．函數(shù)的零點所在區(qū)間為 A． B． C． D． 6．一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是 7．在△中，，是AB邊上的高，若，則實數(shù)λ等于 A． B． C． D． 8．已知集合，函數(shù)的定義域、值域都是，且對于任意，，設(shè)，，，是1，2，3，4的任意一個排列，定義數(shù)表，若兩個數(shù)表對應(yīng)位置上至少有一個數(shù)不同，就說這是兩個不同的數(shù)表，那么滿足條件的不同的數(shù)表共有 A．216個 B．108個 C．48個 D．24個 第 Ⅱ 卷 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． （一）必做題：第9、10、11、12、13題是必做題，每道試題考生都必須做答． 9．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則 ． 10．在二項式的展開式中，含項的系數(shù)為_____________．（用數(shù)字作答） 11．《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在 （不含80）之間，屬于酒后駕車；血液酒精濃度在80（含80）以上時，屬醉酒駕車。 據(jù)有關(guān)調(diào)查，在一周內(nèi)，某地區(qū)查處酒后駕車和醉酒駕車共500人.如圖是對這500人血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為__________. 12．函數(shù)的最小值是 . 13．如果在一次試驗中，某事件發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生偶數(shù)次的概率為 . （二）選做題：第14、15題是選做題，考生只能從中選做一題． 14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 曲線：（為參數(shù)）上的點到曲線： 上的點的最短距離為 ． 15．（幾何證明選講選做題） 如圖，已知：內(nèi)接于，點在的延長線上， 是的切線，若，，則的長為 ． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（本題滿分12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值； （Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若，b=l，，求a的值． 17．（本題滿分13分） 已知數(shù)列的前項和為，且．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，且，． （Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和． 18．（本題滿分13分） 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，底面，，分別為的中點． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求與平面所成的角的正弦值． 19．（本小題滿分14分） 為了讓更多的人參與2011年在深圳舉辦的“大運會”，深圳某旅游公司向國內(nèi)外發(fā)行總量為2000萬張的旅游優(yōu)惠卡，其中向境外人士發(fā)行的是旅游金卡（簡稱金卡），向境內(nèi)人士發(fā)行的是旅游銀卡（簡稱銀卡）?，F(xiàn)有一個由36名游客組成的旅游團(tuán)到深圳參觀旅游，其中是境外游客，其余是境內(nèi)游客。在境外游客中有持金卡，在境內(nèi)游客中有持銀卡． （Ⅰ）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率； （Ⅱ）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 20．（本小題滿分14分） 如圖，已知拋物線的頂點在原點，焦點為． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）在拋物線上是否存在點，使得過點的直線交拋物線于另一點, 滿足，且與拋物線在點處的切線垂直? 若存在, 求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的極值點，并判斷其為極大點還是極小值點； （Ⅱ）若對任意的x＞0，恒有，求p的取值范圍； （Ⅲ）證明：． 六校2012屆高三第一次聯(lián)考（理數(shù)） 參考答案 本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘． 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． B C A D C C B A 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． 9． ； 10． 10； 11．75； 12．； 13． 選做題： 14． 1； 15． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．解：（Ⅰ） ． ……………4分 ∵，∴， ∴， 即． ∴，此時，∴． ……………8分 （Ⅱ）∵ ， 在中，∵，， ∴ ，． ……………10分 又，，由余弦定理得， 故． …………………………………………………12分 17．解：（Ⅰ）∵ 數(shù)列的前項和為，且， ∴ 當(dāng)時，． ……………2分 當(dāng)時，亦滿足上式， 故（）． ……………4分 又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為， ∵ ，， ∴． ……………6分 ∴ （）． ……………8分 （Ⅱ）． ……………10分 ． 所以 ． ………………13分 18．解：（Ⅰ）解法1：∵是的中點，，∴． ∵平面，所以． 又，，∴平面，． 又，∴平面． ∵平面，∴． ………………6分 解法2：如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)， 可得，，，，，，． 因為，所以． ………………6分 （Ⅱ）解法1：取中點，連接和，則，又平面，∴與平面所成的角為． 設(shè)，在中，則，，故． 所以與平面所成的角的正弦值為． ……………13分 解法2：因為． 所以 ，又，所以平面， 因此的余角即是與平面所成的角． 因為 ． 所以與平面所成的角的正弦值為． ………………13分 19．解：（Ⅰ）由題意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”．.w.w. ． 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是． …6分 （Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3 , ，， ………10分 所以的分布列為 0 1 2 3 故． ……………………14分 20．（Ⅰ）解：設(shè)拋物線C的方程是，由于焦點為， ∴，即， 故所求拋物線C的方程為． …………………4分 （Ⅱ）解：設(shè)，，則拋物線C在點處的切線斜率為， 切線方程是： ， 直線的方程是 ． …………………6分 將上式代入拋物線C的方程，得 ， 故 ，， …………………8分 ∴，。 又，， ∴ …………………12分 令，得y1＝4, 此時, 點的坐標(biāo)是 . 經(jīng)檢驗, 符合題意. 所以, 滿足條件的點存在, 其坐標(biāo)為 . …………………14分 21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的極值點，并判斷其為極大點還是極小值點； （Ⅱ）若對任意的x＞0，恒有，求p的取值范圍； （Ⅲ）證明：． 解：（1）， ， …………2分 令的變化情況如下表： x (0，) + 0 － ↗ 極大值 ↘ 從上表可以看出：當(dāng)p>0 時，有唯一的極大值點． …………5分 （Ⅱ）處取得極大值，此極大值也是最大值， 要使恒成立，只需， ∴ ∴p的取值范圍為[1，+∞． …………9分 （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知， ∴， ∴ …………11分 ∴ ∴結(jié)論成立． …………14分