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1 一個盒子中裝有3個紅球 4個藍(lán)球 2個白球 這些球除顏色外都相同 現(xiàn)在每次從盒子中取一個球 寫出關(guān)于球顏色的基本事件空間 如果每次從盒子中取出2個球 那么基本事件空間是2 投擲一枚色子的試驗 觀察出現(xiàn)的點數(shù) 用基本事件空間的子集寫出下列事件 出現(xiàn)偶數(shù)點 點數(shù)大于4 點數(shù)小于1 點數(shù)大于6 1 每人投20次 計算每個人投出正面的頻率 2 每個人投50次 計算每個人投出正面的頻率 投擲硬幣的試驗 歷史上有些學(xué)者做過成千上萬次的投擲硬幣的試驗 結(jié)果如下表 我們可以設(shè)想有1000人投擲硬幣 如果每人投5次 計算每個人投出正面的頻率 在這1000個頻率中 一般說 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1都會有 如果要求每個人投20次 這時頻率為0 0 05 0 95 1的將會變少 多數(shù)頻率在0 35 0 65之間 甚至于比較集中在0 4 0 6之間 如果要求每人投擲1000次 這時絕大多數(shù)頻率會集中在0 5附近 和0 5有較大差距的頻率值也會有 但這樣的頻率值很少 而且隨著投擲次數(shù)的增多 頻率越來越明顯地集中在0 5附近 當(dāng)然 即使投擲的次數(shù)再多 也不能絕對排除出現(xiàn)與0 5差距較大的頻率值 只不過這種情形極少 人們經(jīng)過大量試驗和實際經(jīng)驗的積累逐漸認(rèn)識到 在多次重復(fù)試驗中 同一事件發(fā)生的頻率在某一數(shù)值附近擺動 而且隨著試驗次數(shù)的增加 一般擺動幅度越小 而且觀察到的大偏差也越少 頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性 頻率的穩(wěn)定性揭示出隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有一定的大小 事件的頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近 我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的可能性大小 事件的概率 一般地 在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中 事件A發(fā)生的頻率 當(dāng)n很大時 總在某個常數(shù)附近擺動 隨著n的增加 擺動幅度越來越小 這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率 記為P A 由定義可得概率P A 滿足 必然事件與不可能事件可看作隨機(jī)事件的兩種特殊情況 注意點 1 隨機(jī)事件A的概率范圍 因此 隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足 0 P A 1 2 頻率與概率的關(guān)系 1 聯(lián)系 隨著試驗次數(shù)的增加 頻率會在概率的附近擺動 并趨于穩(wěn)定 在實際問題中 若事件的概率未知 常用頻率作為它的估計值 2 區(qū)別 頻率本身是隨機(jī)的 在試驗前不能確定 做同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復(fù)試驗得到的事件的頻率都可能不同 而概率是一個確定數(shù) 是客觀存在的 與每次試驗無關(guān) 例1 為了確定某類種子的發(fā)芽率 從一大批種子中抽出若干批作發(fā)芽試驗 其結(jié)果如下 從以上的數(shù)據(jù)可以看出 這類種子的發(fā)芽率約為0 9 思考與討論 1 如果某種彩票的中獎概率為 那么買1000張這種彩票一定能中獎嗎 假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù) 不一定 而有的人認(rèn)為一定中獎 那么他的理由是什么呢 這個錯誤產(chǎn)生的原因是 有人把中獎概率理解為共有1000張彩票 其中有 張是中獎號碼 然后看成不放回抽樣 所以購買1000張彩票 當(dāng)然一定能中獎 而實際上彩票的總張數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1000 2 某地氣象局預(yù)報說 明天本地降水概率為70 你認(rèn)為下面兩個解釋中哪一個能代表氣象局的觀點 1 明天本地有70 的區(qū)域下雨 30 的區(qū)域不下雨 2 明天本地下雨的機(jī)會是70 例如 如果天氣預(yù)報說 明天降水的概率為90 呢 降水概率的大小只能說明降水可能性的大小 概率值越大只能表示在一次試驗中發(fā)生的可能性越大 在一次試驗中 降水 這個事件是否發(fā)生仍然是隨機(jī)的 盡管明天下雨的可能性很大 但由于 明天下雨 是隨機(jī)事件 因此仍然有可能不下雨 B C 3 某籃球運(yùn)動員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí) 結(jié)果如下表 計算表中進(jìn)球的頻率 這位運(yùn)動員投籃一次 進(jìn)球的概率約是多少 3 這位運(yùn)動員進(jìn)球的概率是0 8 那么他投10次籃一定能投中8次嗎 不一定 投10次籃相當(dāng)于做10次試驗 每次試驗的結(jié)果都是隨機(jī)的 所以投10次籃的結(jié)果也是隨機(jī)的 概率約是0 8 0 78 0 75 0 80 0 80 0 85 0 83 0 80 1 概率是頻率的穩(wěn)定值 根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率只能得到概率的估計值 2 隨機(jī)事件A在每次試驗中是否發(fā)生是不能預(yù)知的 但是在大量重復(fù)試驗后 隨著試驗次數(shù)的增加 事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在區(qū)間 0 1 內(nèi)的某個常數(shù)上 即事件A的概率 這個常數(shù)越接近于1 事件A發(fā)生的概率就越大 也就是事件A發(fā)生的可能性就越大 反之 概率越接近于0 事件A發(fā)生的可能性就越小 因此 概率就是用來度量某事件發(fā)生的可能性大小的量 課堂小結(jié)