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橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 知識(shí)儲(chǔ)備案 1 橢圓的定義 到兩定點(diǎn)F1 F2的距離之和為常數(shù) 大于 F1F2 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 3 橢圓中a b c的關(guān)系是 當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí) 當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí) a F2 F1 O B2 B1 A1 A2 x y c b 知識(shí)儲(chǔ)備案 找出a b c所表示的線段 B2F2O叫橢圓的特征三角形 二 橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì) 問(wèn)題1 指出A1 A2 B1 B2的坐標(biāo) 問(wèn)題2 指出橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍 問(wèn)題3 指出橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍 結(jié)論 橢圓中 a x a b y b 橢圓落在x a y b組成的矩形中 1 范圍 2 橢圓的對(duì)稱性 x x 對(duì)稱軸 x軸 y軸對(duì)稱中心 原點(diǎn) 2 對(duì)稱性 從圖形上看 橢圓關(guān)于x軸 y軸 原點(diǎn)對(duì)稱 從方程上看 1 把x換成 x方程不變 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 2 把y換成 y方程不變 圖象關(guān)于x軸對(duì)稱 3 把x換成 x 同時(shí)把y換成 y方程不變 圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 3 橢圓的頂點(diǎn) 令x 0 得y 說(shuō)明橢圓與y軸的交點(diǎn) 令y 0 得x 說(shuō)明橢圓與x軸的交點(diǎn) 頂點(diǎn) 橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn) 叫做橢圓的頂點(diǎn) 長(zhǎng)軸 短軸 線段A1A2 B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸 a b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng) 根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4 橢圓的離心率e 刻畫橢圓扁平程度的量 離心率 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 叫做橢圓的離心率 1 離心率的取值范圍 2 離心率對(duì)橢圓形狀的影響 0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 從而b就越小 橢圓就越扁2 e越接近0 c就越接近0 從而b就越大 橢圓就越圓 3 e與a b的關(guān)系 思考 當(dāng)e 0時(shí) 曲線是什么 當(dāng)e 1時(shí)曲線又是什么 x a y b 關(guān)于x軸 y軸成軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a 短半軸長(zhǎng)為b a b x a y b 關(guān)于x軸 y軸成軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a 短半軸長(zhǎng)為b a b x b y a 同前 b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 同前 同前 同前 0 e 1 e越接近于1越扁 例1已知橢圓方程為9x2 25y2 225 它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 短軸長(zhǎng)是 焦距是 離心率等于 焦點(diǎn)坐標(biāo)是 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 外切矩形的面積等于 10 6 8 60 解題的關(guān)鍵 1 將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a b 2 確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置 例5電影放映燈泡的反射面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分 過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分 燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上 片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上 由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線 經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn) 已知建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 求截口BAC所在橢圓的方程 課本例題 練習(xí) 已知橢圓的離心率求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 頂點(diǎn)坐標(biāo) 例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3 0 Q 0 2 長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20 離心率3 5 一焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成 的兩部分 且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 解 方法一 設(shè)方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 將點(diǎn)的坐標(biāo)方程 求出m 1 9 n 1 4 方法二 利用橢圓的幾何性質(zhì) 以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn) 于是焦點(diǎn)在x軸上 且點(diǎn)P Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn) 故a 3 b 2 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 注 待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 定位 定量 或 或 練習(xí) 1 根據(jù)下列條件 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為8和6 焦點(diǎn)在x軸上 長(zhǎng)軸和短軸分別在y軸 x軸上 經(jīng)過(guò)P 2 0 Q 0 3 兩點(diǎn) 一焦點(diǎn)坐標(biāo)為 3 0 一頂點(diǎn)坐標(biāo)為 0 5 兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為 0 6 且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 5 4 焦距是12 離心率是0 6 焦點(diǎn)在x軸上 2 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F 6 0 點(diǎn)B C是短軸的兩端點(diǎn) FBC是等邊三角形 求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例3 1 橢圓的左焦點(diǎn)是兩個(gè)頂點(diǎn) 如果到直線AB的距離為 則橢圓的離心率e 3 設(shè)M為橢圓上一點(diǎn) 為橢圓的焦點(diǎn) 如果 求橢圓的離心率 小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo) 離心率等概念及其幾何意義 了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量a b c e及頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 對(duì)稱中心及其相互之間的關(guān)系 這對(duì)我們解決橢圓中的相關(guān)問(wèn)題有很大的幫助 給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ) 在解析幾何的學(xué)習(xí)中 我們更多的是從方程的形式這個(gè)角度來(lái)挖掘題目中的隱含條件 需要我們認(rèn)識(shí)并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系 在本節(jié)課中 我們運(yùn)用了幾何性質(zhì) 待定系數(shù)法來(lái)求解橢圓方程 在解題過(guò)程中 準(zhǔn)確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想 4 P為橢圓上任意一點(diǎn) F1 F2是焦點(diǎn) 則 F1PF2的最大值是