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圖形的展開(kāi)與疊折 一、選擇題 1．（2013湖北黃岡，7，3分）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的矩形，則其底面圓的面積為（ ） A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π 【答案】C． 【解析】由圖示側(cè)面展開(kāi)圖——矩形聯(lián)想圓柱形狀可得圖1和圖2兩種圓柱．設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，在圖1中有2πr＝4π，r＝2,所以底面圓的面積為4π；在圖2中有2πr＝2π，r＝1，所以底面圓的面積為π．綜上可知圓柱底面圓的面積為π或4π． 圖1 圖2 【方法指導(dǎo)】本題考查空間觀念，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．解答時(shí)，一要理解圓柱和其側(cè)面展開(kāi)圖之間的數(shù)量關(guān)系．2.注意分兩種情況討論求解．由于本題是選擇題型，因了C、D這樣的兩解答案，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖1和圖2兩種情況，無(wú)形中降低了解題難度．這也啟示我們?cè)谟龅竭@種命題結(jié)構(gòu)的選擇題時(shí)，要嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的多思量，再下筆． 【易錯(cuò)警示】易漏掉一種情況而錯(cuò)選A或B．如果本題以填空題的面貌呈現(xiàn)，學(xué)生較易聯(lián)想到圖1情形而錯(cuò)解為4π． 2．（2013重慶，7，4分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿AE對(duì)折，使得點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B1處，折痕與邊BC交于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（ ） A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm A C B D E B1 （第7題圖） 【答案】C 【解析】由折疊可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45，又∵∠B=45，∴∠AEB=45，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故選C． 【方法指導(dǎo)】本題考查了折疊變換，需明確折疊變換是全等變化，同時(shí)綜合考查了等腰三角形的判定以及線段的和差問(wèn)題．軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等；正確的找出對(duì)稱(chēng)邊和對(duì)稱(chēng)角是我們解題的關(guān)鍵． 【易錯(cuò)警示】對(duì)折疊的全等性質(zhì)不能掌握，對(duì)結(jié)果只能想當(dāng)然判斷． 3．（2013四川南充，9，3分）如圖，把矩形ABCD沿EF翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60，則矩形ABCD的面積是（ ） A．12　　B．24　　C．　　D． 【答案】：D． 【解析】連接BE，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠AEF=120，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DEF=60，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠BEF=∠DEF，然后求出∠AEB=60，再解直角三角形求出AB，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解． 【方法指導(dǎo)】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4.. [2013山東菏澤，3，3分]下列圖形中，能通過(guò)折疊圍成一個(gè)三棱柱的是（　?。? 　　A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】直棱柱中的三棱柱，上、下兩個(gè)面是三角形面，互相平行，側(cè)面是三個(gè)矩形圍成.其展開(kāi)圖共有5個(gè)面.選C 【方法指導(dǎo)】本題考查了立體圖形展開(kāi)與平面圖折疊.立體圖形展開(kāi)與平面圖折疊，往往可以進(jìn)行動(dòng)手操作或進(jìn)行空間聯(lián)想獲取符合要求的答案. 【易錯(cuò)提示】錯(cuò)誤分析后選B 5．（2013廣西欽州，3，3分）下列四個(gè)圖形中，是三棱柱的平面展開(kāi)圖的是（　　） 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 幾何體的展開(kāi)圖． 分析： 根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可． 解答： A、是三棱錐的展開(kāi)圖，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、是三棱柱的平面展開(kāi)圖，故選項(xiàng)正確； C、兩底有4個(gè)三角形，不是三棱錐的展開(kāi)圖，故選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是四棱錐的展開(kāi)圖，故選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了幾何體展開(kāi)圖，熟練掌握常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖的特征，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵． 6．（2013湖南郴州，8，3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　　） 　 A． 25 B． 30 C． 35 D． 40 考點(diǎn)： 翻折變換（折疊問(wèn)題）． 分析： 先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 解答： 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠A=25， ∴∠B=90﹣25=65， ∵△CDB′由△CDB反折而成， ∴∠CB′D=∠B=65， ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65﹣25=40． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 7. （2013江蘇南京，6，2分）如圖，一個(gè)幾何體上半部為正四棱椎，下半部為立方體，且有一個(gè)面涂 有顏色，下列圖形中，是該幾何體的表面展開(kāi)圖的是 答案：B 解析：涂有顏色的面在側(cè)面，而A、C還原后，有顏色的面在底面，故錯(cuò)；D還原不回去，故錯(cuò)，選B。 8. 2013?寧波3分）下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個(gè)封閉的長(zhǎng)方形包裝盒的是（　?。? 　 A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】A、剪去陰影部分后，組成無(wú)蓋的正方體，故此選項(xiàng)不合題意； B、剪去陰影部分后，無(wú)法組成長(zhǎng)方體，故此選項(xiàng)不合題意； C、剪去陰影部分后，能組成長(zhǎng)方體，故此選項(xiàng)正確； D、剪去陰影部分后，組成無(wú)蓋的正方體，故此選項(xiàng)不合題意； 【方法指導(dǎo)】此題主要考查了展開(kāi)圖折疊成幾何體，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力． 9．（2013山西，3，2分）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，則它的平面展開(kāi)圖是（ ） 【答案】A 【解析】長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面中，有兩個(gè)對(duì)對(duì)面的小長(zhǎng)方形，另兩個(gè)是相對(duì)面的大長(zhǎng)方形，B、C中兩個(gè)小的與兩個(gè)大的相鄰，錯(cuò)，D中底面不符合，只有A符合。 10.（2013四川巴中，3，3分）如圖，是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，則原正方體中“夢(mèng)”字所在的面相對(duì)的面上標(biāo)的字是（　?。? 　 A． 大 B． 偉 C． 國(guó) D． 的 考點(diǎn)： 專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字． 分析： 利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題． 解答： 解：這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，共有六個(gè)面，其中面“偉”與面“國(guó)”相對(duì)，面“大”與面“中”相對(duì)，“的”與面“夢(mèng)”相對(duì)． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方體的展開(kāi)圖，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題． 11.（2013四川綿陽(yáng)，5，3分）把右圖中的三棱柱展開(kāi)，所得到的展開(kāi)圖是（ B ） ［解析］兩個(gè)全等的三角形，再側(cè)面三個(gè)長(zhǎng)方形的兩側(cè)，這樣的圖形圍成的是三棱柱，一個(gè)底面相鄰可以是三個(gè)長(zhǎng)方形，只有B。 12．（2013河南省，5，3分）如圖是正方形的一種張開(kāi)圖，其中每個(gè)面上都標(biāo)有一個(gè)數(shù)字。那么在原正方形中，與數(shù)字“2”相對(duì)的面上的數(shù)字是【】 （A）1 （B）4 （C）5 （D）6 【解析】將正方形重新還原后可知：“2”與“4”對(duì)應(yīng)，“3”與“5”對(duì)應(yīng)，“1”與“6”對(duì)應(yīng)。 【答案】B 二、填空題 1.(2013山東煙臺(tái)，17,3)如圖，△ABC中，AB=AC．∠ BAC=54，∠ BAC 的平分線與AB的垂直平分線相交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為_(kāi)_______度. 【答案】108 【解析】如圖：連接OB、OC，∵AB=AC，AO是∠BAC的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一定理確定出點(diǎn)O是△ABC的外心，∴OB=OC.∵∠ BAC=54，OD是AB的垂直平分線，AB=AC∴∠BAO=∠ABO=27，∠ABC=63，∴∠OBC=∠OCB =63－27=36，根據(jù)折疊的不變性得OE=OC，在△OEC中∠OEC=180－36－36=108 【方法指導(dǎo)】本題考查了折疊、等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理、折疊、垂直平分線的性質(zhì).在等腰三角形中有角平分線時(shí)，常用到等腰三角形三線合一定理，當(dāng)與一邊的垂直平分線相結(jié)合確定三角形的外心.將某一個(gè)圖形按某種要求折疊后，會(huì)得到以折痕為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，解決圖形的折疊問(wèn)題時(shí)，根據(jù)折疊的不變性，常得到等腰三角形、直角三角形、全等三角形等知識(shí) 2．（2013?東營(yíng)，16，4分）如圖，圓柱形容器中，高為1．2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0．3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0．3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m（容器厚度忽略不計(jì)）． 答案： 1．3 解析：因?yàn)楸诨⑴c蚊子在相對(duì)的位置，則壁虎在圓柱展開(kāi)圖矩形兩邊中點(diǎn)的連線上，如圖所示，要求壁虎捉蚊子的最短距離，實(shí)際上是求在EF上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短，過(guò)A作EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，過(guò)B作于點(diǎn)M，在中，，，所以，因?yàn)椋员诨⒆轿米拥淖疃叹嚯x為1．3m． 16題答案圖 3．（2013上海市，18，4分）如圖5，在△中，，， tan C = ，如果將△ 沿直線l翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線l與邊交于點(diǎn)， 那么的長(zhǎng)為_(kāi)_________． 4.（2013山西，16，3分），將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_____. 第17題 【答案】 【解析】由勾股定理求得：BD=13， DA=D=BC=5，∠DE=∠DAE=90，設(shè)AE=x，則E=x，BE=12－x，B=13－5＝8， 在Rt△EB中，，解得：x＝，即AE的長(zhǎng)為 5．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖是正方體的一種平面展開(kāi)圖，它的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，那么在原正方體的表面上，與漢字“香”相對(duì)的面上的漢字是　泉?。? 考點(diǎn)： 專(zhuān)題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字． 分析： 正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答． 解答： 解：正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形， “力”與“城”是相對(duì)面， “香”與“泉”是相對(duì)面， “魅”與“都”是相對(duì)面． 故答案為泉． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題． . 三、解答題 1．（2013浙江臺(tái)州，22，12分）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點(diǎn)G，連接DG，B′G． 求證：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． A B C D E G F C′ B′ 1 2 第22題 【思路分析】(1)∠1是折疊后所得到的角，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，易得∠1=∠CEF，再由平行四邊形的對(duì)邊平行，可得∠2=∠CEF，∴∠1=∠2. （2）欲證DG=B′G，可證它們所在的兩個(gè)三角形全等，即△DEG≌△B′FG。 【解】證明：（1）由折疊知，∠1=∠CEF， 又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB， ∴∠2=∠CEF， ∴∠1=∠2． （2）由折疊知，BF= B′F， 又∵DE=BF， ∴DE= B′F， 由（1）知∠1=∠2， ∴GE= GF， 又由平行四邊形的性質(zhì)知，CD∥AB， ∴∠DEF=∠EFB， 由折疊知，∠EFB=∠EF B′， ∴∠DEF=∠EF B′， 即∠DEG+∠1=∠GF B′+∠2， ∴∠DEG=∠GF B′， ∴△DEG≌△B′FG（SAS）， ∴DG=B′G． 【方法指導(dǎo)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的證明等知識(shí)點(diǎn)，首先折疊問(wèn)題是一種常見(jiàn)題型，折疊前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，也就是說(shuō)折疊變換就是全等變換。另外本題考查了一種常見(jiàn)的解題思路，證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等，可以證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。