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第37周對策問題 同學(xué)們都熟悉 田忌與齊王賽馬 的故事 這個故事給我們的啟示是 田忌采用了 揚長避短 的策略 取得了勝利 生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理 人們在競賽和爭斗中總是玩游戲 大至體育比賽 軍事較量等 人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利 這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略 這就是所謂 知己知彼 百戰(zhàn)不殆 哪一方的策略更勝一籌 哪一方就會取得最終的勝利 解決這類問題一般采用逆推法和歸納法 一 知識要點 例題1 兩個人做一個移火柴的游戲 比賽的規(guī)則是 兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴 直到移盡為止 挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸 如果開始時有1000根火柴 首先移火柴的人在第一次移走多少根時才能在游戲中保證獲勝 思路導(dǎo)航 先移火柴的人要取勝 只要取走第999根火柴 即利用逆推法就可得到答案 設(shè)先移的人為甲 后移的人為乙 甲要取勝只要取走第999根火柴 因此 只要取到第991根就可以了 如乙取1根甲就取7根 如乙取2根甲就取6根 依次類推 甲取的與乙取的之和為8根火柴 由此繼續(xù)推下去 甲只要取第983根 第975根 第7根就能保證獲勝 所以 先移火柴的人要保證獲勝 第一次應(yīng)移走7根火柴 二 精講精練 練習(xí)1 1 一堆火柴40根 甲 乙兩人輪流去拿 誰拿到最后一根誰勝 每人每次可以拿1至3根 不許不拿 乙讓甲先拿 問 誰能一定取勝 他要取勝應(yīng)采取什么策略 2 兩人輪流報數(shù) 規(guī)定每次報的數(shù)都是不超過8的自然數(shù) 把兩人報的數(shù)累加起來 誰先報到88 誰就獲勝 問 先報數(shù)者有必勝的策略嗎 3 把1994個空格排成一排 第一格中放一枚棋子 甲 乙兩人輪流移動棋子 每人每次可后移1格 2格 3格 誰先移到最后一格誰勝 先移者確保獲勝的方法是什么 第37周對策問題瘋狂操練二 例題2 有1987粒棋子 甲 乙兩人分別輪流取棋子 每次最少取1粒 最多取4粒 不能不取 取到最后一粒的為勝者 現(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取 你認(rèn)為先取的能勝 還是后取的能勝 怎樣取法才能取勝 思路導(dǎo)航 從結(jié)局開始 倒推上去 不妨設(shè)甲先取 乙后取 剩下1至4粒 甲可以一次拿完 如果剩下5粒棋子 則甲不能一次拿完 乙勝 因此甲想取勝 只要在某一時刻留下5粒棋子就行了 不妨設(shè)甲先取 則甲能取勝 甲第一次取2粒 以后無論乙拿幾粒 甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5 這樣 每一輪后 剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù) 最后總能留下5粒棋子 因此 甲先取必勝 練習(xí)2 1 甲 乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1?；?粒或3粒 誰取到最后一粒的是勝利者 你認(rèn)為先取的能獲勝 還是后取的能獲勝 應(yīng)采取什么策略 2 有1997根火柴 甲 乙兩人輪流取火柴 每人每次可取1至10根 誰能取到最后一根誰為勝利者 甲先取 乙后取 甲有獲勝的可能嗎 取勝的策略是什么 3 盒子里有47粒珠子 兩人輪流取 每次最多取5粒 最少取1粒 誰最先把盒子的珠子取完 誰就勝利 小明和小紅來玩這個取珠子的游戲 先名先 小紅后 誰勝 取勝的策略是什么 第37周對策問題瘋狂操練三 例題3 在黑板上寫有999個數(shù) 2 3 4 1000 甲 乙兩人輪流擦去黑板上的一個數(shù) 甲先擦 乙后擦 如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì) 則甲勝 否則乙勝 誰必勝 必勝的策略是什么 思路導(dǎo)航 甲先擦去1000 剩下的998個數(shù) 分為499個數(shù)對 2 3 4 5 6 7 998 999 可見每一對數(shù)中的兩個數(shù)互質(zhì) 如果乙擦去某一對中的一個 甲則接著擦去這對中的另一個 這樣乙 甲輪流去擦 總是一對數(shù) 一對數(shù)地擦 最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì) 所以 甲必勝 練習(xí)3 1 甲 乙兩人輪流從分別寫有1 2 3 99的99張卡片中任意取走一張 先取卡的人能否保證在他取走的第97張卡片時 使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個是奇數(shù) 一個是偶數(shù) 2 兩個人進(jìn)行如下游戲 即兩個人輪流從數(shù)列1 2 3 100 101勾去九個數(shù) 經(jīng)過這樣的11次刪除后 還剩下兩個數(shù) 如果這兩個數(shù)的差是55 這時判第一個勾數(shù)的人獲勝 問第一個勾數(shù)的人能否獲勝 獲勝的策略是什么 3 在黑板上寫n 1 n 3 個數(shù) 2 3 4 n 甲 乙兩人輪流在黑板上擦去一個數(shù) 如果最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì) 則乙勝 否則甲勝 N分別取什么值時 1 甲必勝 2 乙必勝 必勝的策略是什么 第37周對策問題瘋狂操練四 例題4 甲 乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù) 規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù) 最后不能寫的人為失敗者 如果甲第一個寫 誰一定獲勝 寫出一種獲勝的方法 思路導(dǎo)航 這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù) 總共只有10個數(shù) 可通過歸納試驗 甲不能寫1 否則乙寫6 乙可獲勝 甲不能寫3 5 7 否則乙寫8 乙可獲勝 甲不能寫4 9 10 否則乙寫6 乙可獲勝 因此 甲先寫6或8 才有可能獲勝 甲可以獲勝 如甲寫6 去掉6的約數(shù)1 2 3 6 乙只能寫4 5 7 8 9 10這六個數(shù)中的一個 將這六個數(shù)分成 4 5 7 9 8 10 三組 當(dāng)乙寫某組中的一個數(shù) 甲就寫另一個數(shù) 甲就能獲勝 練習(xí)4 1 甲 乙兩人輪流在黑板上寫上不超過14的自然數(shù) 書寫規(guī)則是 不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù) 輪到書寫人無法再寫時就是輸者 現(xiàn)甲先寫 乙后寫 誰能獲勝 應(yīng)采取什么對策 2 甲 乙兩人輪流從分別寫有3 4 5 11的9張卡片中任意取走一張 規(guī)定取卡人不能取已取過的數(shù)的倍數(shù) 輪到誰無法再取時 誰就輸 現(xiàn)甲先取 乙后取 甲能否必然獲繩 應(yīng)采取的對策是什么 3 甲 乙兩人輪流在2004粒棋子中取走1粒 3粒 5?；?粒棋子 甲先取 乙后取 取到最后一粒棋子者為勝者 甲 乙兩人誰能獲勝 第37周對策問題瘋狂操練五 例題5 有一個3 3的棋盤以及9張大小為一個方格的卡片如圖37 1所示 9張卡片分別寫有 1 3 4 5 6 7 8 9 10這幾個數(shù) 小兵和小強(qiáng)兩人做游戲 輪流取一張卡片放在9格中的一格 小兵計算上 下兩行6個數(shù)的和 小強(qiáng)計算左 右兩列6個數(shù)的和 和數(shù)大的一方取勝 小兵一定能取勝嗎 思路導(dǎo)航 由于4個角的數(shù)是兩人共有的 因而和數(shù)的大小只與放在A B C D這4個格中的數(shù)有關(guān) 小兵要獲勝 必須采取如下策略 盡可能把大數(shù)填入A或C格 盡可能將小數(shù)填入B格或D格 由于1 10 3 9 即B D A C 小兵應(yīng)先將1放在B格 如小強(qiáng)把10放進(jìn)D格 小兵再把9放進(jìn)A格 這時不論小強(qiáng)怎么做 C格中一定是大于或等于3的數(shù) 因而小兵獲勝 如小強(qiáng)把3放進(jìn)A格 小兵只需將9放到C格 小兵也一定獲勝 100 180 次 練習(xí)5 1 在5 5的棋盤的右上角放一枚棋子 每一步只能向左 想下或向左下對角線走一格 兩人交替走 誰為勝者 必勝的策略是什么 2 甲 乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣 規(guī)則是每人每次只能放一枚 硬幣不能重疊 誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放 誰就獲勝 如果甲先放 那么他怎樣才能取勝 3 兩人輪流在3 3的方格中畫 和 規(guī)定每人每次至少畫一格 至多畫三格 所有的格畫滿后 誰畫的符號總數(shù)為偶數(shù) 誰就獲勝 誰有獲勝的策略