《（福建專用）2019年中考數(shù)學復(fù)習 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（福建專用）2019年中考數(shù)學復(fù)習 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt（105頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第五章空間與圖形6 2圖形的相似 中考數(shù)學 福建專用 A組2014 2018年福建中考題組 五年中考 1 2015寧德 8 4分 如圖 已知直線a b c 直線m n與a b c分別交于點A C E B D F 若AC 4 CE 6 BD 3 則DF的值是 A 4B 4 5C 5D 5 5 答案B 直線a b c AC 4 CE 6 BD 3 即 解得DF 4 5 故選B 2 2016三明 13 4分 如圖 在平面直角坐標系中 已知A 1 0 D 3 0 ABC與 DEF位似 原點O是位似中心 若AB 1 5 則DE 答案4 5 解析 ABC與 DEF是位似圖形 它們的位似中心恰好為原點 已知A點坐標為 1 0 D點坐標為 3 0 AO 1 DO 3 DE 3AB 4 5 思路分析根據(jù)點的坐標得出AO DO的長 進而得出 求出DE的長即可 點評此題主要考查了位似圖形的性質(zhì) 根據(jù)已知點的坐標得出 是解題關(guān)鍵 3 2016廈門 13 4分 如圖 在 ABC中 DE BC 且AD 2 DB 3 則 答案 解析 DE BC ADE ABC 又 AD 2 DB 3 AB 5 4 2015漳州 14 4分 如圖 AD BE CF 直線l1 l2與這三條平行線分別交于點A B C和D E F DE 6 則EF 答案9 解析 AD BE CF 即 EF 9 思路分析根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 即 然后根據(jù)比例性質(zhì)求EF 5 2018福建 20 8分 求證 相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比 要求 根據(jù)給出的 ABC及線段A B A A A 以線段A B 為一邊 在給出的圖形上用尺規(guī)作出 A B C 使得 A B C ABC 不寫作法 保留作圖痕跡 在已有的圖形上畫出一組對應(yīng)中線 并據(jù)此寫出已知 求證和證明過程 解析 如圖 A B C 即為所求作的三角形 已知 如圖 A B C ABC k AD DB A D D B 求證 k 證明 AD DB A D D B AD AB A D A B 又 A B C ABC A A C A D CAD k 解后反思本題考查尺規(guī)作圖 相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識 考查推理能力 化歸與轉(zhuǎn)化思想 6 2016南平 21 8分 如圖 Rt ABC中 C 90 AB 14 AC 7 D是BC上一點 BD 8 DE AB 垂足為E 求線段DE的長 解析 DE AB BED 90 BED C 又 B B BED BCA DE 4 7 2016福州 25 12分 如圖 在 ABC中 AB AC 1 BC 在AC邊上截取AD BC 連接BD 1 通過計算 判斷AD2與AC CD的大小關(guān)系 2 求 ABD的度數(shù) 解析 1 AD BC AD2 AC 1 CD 1 AD2 AC CD 2 AD2 AC CD AD BC BC2 AC CD 即 又 C C ABC BDC 又AB AC BD BC AD A ABD ABC C BDC 設(shè) A ABD x 則 BDC A ABD 2x ABC C BDC 2x A ABC C x 2x 2x 180 解得x 36 ABD 36 思路分析 1 直接計算即可得結(jié)論 2 由AD2 AC CD 得到BC2 AC CD 即 從而得到 ABC BDC 故有 從而得到BD BC AD 故 A ABD ABC C BDC 設(shè) A ABD x 則 BDC 2x ABC C BDC 2x 由三角形內(nèi)角和等于180 可求得x 從而得出結(jié)論 評析本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定 等腰三角形的性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 證得 ABC BDC是解題的關(guān)鍵 8 2016莆田 25 12分 若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上 其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上 則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形 ABC中 設(shè)BC a AC b AB c 各邊上的高分別記為ha hb hc 各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa xb xc 1 模擬探究 如圖 正方形EFGH為 ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形 求證 2 特殊應(yīng)用 若 BAC 90 xb xc 2 求 的值 3 拓展延伸 若 ABC為銳角三角形 b c 請判斷xb與xc的大小 并說明理由 解析 1 證明 正方形EFGH中 EH FG AEH ABC AD BC 即 2 由 1 得 BAC 90 hb c 又 xb 2 3 xb xc 理由如下 由 1 得 xb xc S ABC bhb chc 2S ABC bhb chc 又 hb csin BAC hc bsin BAC bxc 9 2015龍巖 24 13分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動 到達B點即停止運動 M N分別是AD CD的中點 連接MN 設(shè)點D運動的時間為t 秒 1 判斷MN與AC的位置關(guān)系 2 求點D由點A向點B勻速運動的過程中 線段MN所掃過區(qū)域的面積 3 若 DMN是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 ABC中 M是AD的中點 N是DC的中點 MN AC 2 如圖1 分別取 ABC三邊AC AB BC的中點E F G 并連接EG FG 圖1根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是四邊形AFGE的面積 AC 6 BC 8 AE 3 GC 4 ACB 90 S四邊形AFGE AE GC 3 4 12 線段MN所掃過區(qū)域的面積為12 3 由題意可知MD AD DN DC MN AC 3 當MD MN 3時 DMN為等腰三角形 此時AD AC 6 t 6 當MD DN時 AD DC 如圖2 過點D作DH AC交AC于H 則AH AC 3 圖2 cosA 解得AD 5 t 5 如圖3 當DN MN 3時 AC DC 連接MC 則CM AD 圖3 cosA 即 AM AD t 2AM 綜上所述 當t 5或6或時 DMN為等腰三角形 思路分析 1 利用三角形中位線的性質(zhì)解答即可 2 分別取 ABC三邊AC AB BC的中點E F G 并連接EG FG 根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是四邊形AFGE的面積 求解即可 3 分三種情況 MD MN MD DN DN MN 分別求t的值即可 10 2014南平 21 8分 如圖 已知 ABC中 點D在AC上且 ABD C 求證 AB2 AD AC 證明 ABD C A是公共角 ABD ACB AB2 AD AC 思路分析利用兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證得 ABD ACB 進一步得出 整理得出答案即可 點評此題考查相似三角形的判定與性質(zhì) 如果兩個三角形的三組邊的比對應(yīng)相等 那么這兩個三角形相似 如果兩個三角形的兩條邊的比對應(yīng)相等 且夾角相等 那么這兩個三角形相似 如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等 那么這兩個三角形相似 平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似 相似三角形的對應(yīng)邊成比例 對應(yīng)角相等 B組2014 2018年全國中考題組考點一相似的性質(zhì)與判定 1 2018重慶 5 4分 要制作兩個形狀相同的三角形框架 其中一個三角形的三邊長分別為5cm 6cm和9cm 另一個三角形的最短邊長為2 5cm 則它的最長邊為 A 3cmB 4cmC 4 5cmD 5cm 答案C設(shè)所求最長邊為xcm 由題意知兩個三角形相似 根據(jù)相似三角形的三邊對應(yīng)成比例 可列等式 解得x 4 5 故選C 2 2018湖北黃岡 5 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD為AB邊上的高 CE為AB邊上的中線 AD 2 CE 5 則CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因為CE為AB邊上的中線 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易證 ACD CBD 則CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故選C 3 2017黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點 DE BC 點F為BC邊上一點 連接AF交DE于點G 則下列結(jié)論中一定正確的是 A B C D 答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 所以選項A B D錯誤 選項C正確 故選C 4 2017陜西 8 3分 如圖 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若點E是邊CD的中點 連接AE 過點B作BF AE交AE于點F 則BF的長為 A B C D 答案B由題意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 則 即 3 設(shè)AF x x 0 則BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 負值舍去 所以3x 即BF 故選B 思路分析先通過證明 ADE BFA得到AF與BF的數(shù)量關(guān)系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 5 2016河北 15 2分 如圖 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 將 ABC沿圖示中的虛線剪下 剪下的陰影三角形與原三角形的是 答案C選項A與B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對應(yīng)相等 可得陰影三角形與原三角形相似 選項D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是2 3 且兩邊的夾角相等 所以兩個三角形也是相似的 故選C 評析本題考查相似三角形的判定 熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵 6 2015江蘇南京 3 2分 如圖 在 ABC中 DE BC 則下列結(jié)論中正確的是 A B C D E2 答案C DE BC ADE ABC 故選項A B錯誤 根據(jù) 相似三角形的周長比等于相似比 面積比等于相似比的平方 可知選項C正確 選項D錯誤 故選C 答案B設(shè)等邊 ABC的邊長為3 則AD 1 BD 2 由折疊的性質(zhì)可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故選B 8 2018吉林 12 3分 如圖是測量河寬的示意圖 AE與BC相交于點D B C 90 測得BD 120m DC 60m EC 50m 求得河寬AB m 答案100 解析易知 ABD ECD 又 BD 120m DC 60m EC 50m AB 100m 9 2018北京 13 2分 如圖 在矩形ABCD中 E是邊AB的中點 連接DE交對角線AC于點F 若AB 4 AD 3 則CF的長為 答案 解析 四邊形ABCD是矩形 AB CD CD AB 4 BC AD 3 DCA CAB 又 DFC AFE CDF AEF E是邊AB的中點 AB 4 AE 2 BC 3 AB 4 ABC 90 AC 5 CF 10 2016江蘇南京 15 2分 如圖 AB CD相交于點O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位線 且EF 2 則AC的長為 答案 解析 EF是 ODB的中位線 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 11 2014黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在 ABC中 4AB 5AC AD為 ABC的角平分線 點E在BC的延長線上 EF AD于點F 點G在AF上 FG FD 連接EG交AC于點H 若點H是AC的中點 則的值為 答案 解析 EF AD FG FD EF垂直平分GD EG ED EGD EDG AGH ADB 又 BAD HAG ABD AHG 4AB 5AC AH AC 評析本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì) 三角形相似的判定等知識 屬中等偏難題 12 2018陜西 20 7分 周末 小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬 測量時 他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹 將其底部作為點A 在他們所在的岸邊選擇了點B 使得AB與河岸垂直 并在B點豎起標桿BC 再在AB的延長線上選擇點D 豎起標桿DE 使得點E與點C A共線 已知 CB AD ED AD 測得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 測量示意圖如圖所示 請根據(jù)相關(guān)測量信息 求河寬AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河寬AB為17m 7分 思路分析首先根據(jù) ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 進而可求得AB的值 方法指導(dǎo)解與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的事項 審題 結(jié)合圖形通讀題干 第一時間鎖定采用的知識點 如 觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 如果含有 考慮利用銳角三角函數(shù)解題 如果僅涉及三角形的邊長 則采用相似三角形的性質(zhì)解題 篩選信息 由于實際問題文字閱讀量較大 因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 構(gòu)造圖形 只要是與三角形有關(guān)的實際問題都會涉及圖形的構(gòu)造 如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 則可直接利用所給圖形進行計算 必要時可添加輔助線 若未給出圖形 則需要通過 中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進行解題 13 2018湖北武漢 23 10分 在 ABC中 ABC 90 1 如圖1 分別過A C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線 垂足分別為M N 求證 ABM BCN 2 如圖2 P是邊BC上一點 BAP C tan PAC 求tanC的值 3 如圖3 D是邊CA延長線上一點 AE AB DEB 90 sin BAC 直接寫出tan CEB的值 解析 1 證明 M N ABC 90 MAB MBA NBC MBA 90 MAB NBC ABM BCN 2 過點P作PM AP交AC于點M 過點M作MN PC交BC于點N 則 PMN APB tan PAC 設(shè)PN 2t 則AB t BAP APB MPC APB 90 BAP C MPC C CN PN 2t 易得 ABP CBA AB2 BP BC t 2 BP BP 4t BP t BC 5t tanC 3 在Rt ABC中 sin BAC tan BAC 過點A作AG BE于點G 過點C作CH BE交EB的延長線于點H DEB 90 CH AG DE 同 1 的方法得 ABG BCH 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n GH BG BH 4m 3n AB AE AG BE EG BG 4m n 2m EH EG GH 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在Rt CEH中 tan CEB 思路分析 1 利用同角的余角相等判斷出 MAB NBC 即可得出結(jié)論 2 作PM AP MN PC 先判斷出 PMN APB 得出 設(shè)PN 2t 則AB t 再判斷出 ABP CBA 設(shè)PN 2t 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP t 則BC 5t 即可得出結(jié)論 3 作AG BE CH BE 先判斷出 同 1 的方法得 ABG BCH 所以 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n 進一步得出關(guān)于m n的等式 解得n 2m 最后得出結(jié)論 方法指導(dǎo)幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 本題涉及的相似三角形 要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征 根據(jù)特征尋方法 14 2016四川南充 24 10分 已知正方形ABCD的邊長為1 點P為正方形內(nèi)一動點 若點M在AB上 且滿足 PBC PAM 延長BP交AD于點N 連接CM 1 如圖一 若點M在線段AB上 求證 AP BN AM AN 2 如圖二 在點P運動過程中 滿足 PBC PAM的點M在AB的延長線上時 AP BN和AM AN是否成立 不需說明理由 是否存在滿足條件的點P 使得PC 請說明理由 解析 1 證明 PBC PAM PBC PAM 1分 四邊形ABCD是正方形 AD BC PBC ANP PAM ANP 2分 PAM PAN 90 ANP PAN 90 APN 90 即AP BN 3分 BAN 90 AP BN BPA BAN 90 ABP NBA ABP NBA 4分 又 PBC PAM 5分 故 又 AB BC AM AN 6分 2 點M在AB的延長線上時 AP BN和AM AN仍然成立 7分 不存在 理由如下 如圖 以AB為直徑 作半圓O 連接OC OP BC 1 OB OC 8分 AP BN 點P一定在以點O為圓心 為半徑的半圓上 A B兩點除外 如果存在點P 那么OP PC OC 則PC 9分 故不存在滿足條件的點P 使得PC 10分 評析本題是以考查相似三角形為主的綜合題 涉及正方形的性質(zhì) 圓的性質(zhì)等知識 有一定難度 考點二圖形的位似1 2015甘肅蘭州 5 4分 如圖 線段CD兩個端點的坐標分別為C 1 2 D 2 0 以原點為位似中心 將線段CD放大得到線段AB 若點B的坐標為 5 0 則點A的坐標為 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 答案B設(shè)點A的坐標為 x y 由位似圖形的性質(zhì)知 得x 2 5 y 5 則點A的坐標為 2 5 5 故選B 2 2015江蘇鎮(zhèn)江 17 3分 如圖 坐標原點O為矩形ABCD的對稱中心 頂點A的坐標為 1 t AB x軸 矩形A B C D 與矩形ABCD是位似圖形 點O為位似中心 點A B 分別是點A B的對應(yīng)點 k 已知關(guān)于x y的二元一次方程組 m n是實數(shù) 無解 在以m n為坐標 記為 m n 的所有的點中 若有且只有一個點落在矩形A B C D 的邊上 則k t的值等于 A B 1C D 答案D因為方程組無解 所以mn 3 且n 那么以實數(shù)m n為坐標的點在反比例函數(shù)y 的圖象上 且y 矩形A B C D 與矩形ABCD的位似比為k 因為A 1 t 所以A 點的坐標為 k kt C 點的坐標為 k kt 當矩形A B C D 與函數(shù)y 的圖象有交點時 則交點至少有兩個 分別是A k kt C k kt 當kt 時 A C 又n 所以A 不在函數(shù)y 的圖象上 有且只有C 在函數(shù)y 的圖象上 即當kt 時 有且只有一個點在矩形A B C D 的邊上 評析本題以平面直角坐標系中的位似和方程組的解的存在性為背景 考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 解題關(guān)鍵是運用中心對稱的性質(zhì) 本題屬難題 3 2017甘肅蘭州 17 4分 如圖 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 位似中心是點O 則 答案 解析 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 4 2018安徽 17 8分 如圖 在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10 10網(wǎng)格中 已知點O A B均為網(wǎng)格線的交點 1 在給定的網(wǎng)格中 以點O為位似中心 將線段AB放大為原來的2倍 得到線段A1B1 點A B的對應(yīng)點分別為A1 B1 畫出線段A1B1 2 將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90 得到線段A2B1 畫出線段A2B1 3 以A A1 B1 A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是個平方單位 解析 1 線段A1B1如圖所示 3分 2 線段A2B1如圖所示 6分 3 20 8分 提示 根據(jù) 1 2 可知四邊形AA1B1A2是正方形 邊長為 2 以A A1 B1 A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積為 2 2 20 個平方單位 5 2016廣西南寧 21 8分 如圖 在平面直角坐標系中 已知 ABC三個頂點的坐標分別是A 2 2 B 4 0 C 4 4 1 請畫出 ABC向左平移6個單位長度后得到的 A1B1C1 2 以點O為位似中心 將 ABC縮小為原來的 得到 A2B2C2 請在y軸右側(cè)畫出 A2B2C2 并求出 A2C2B2的正弦值 解析 1 A1B1C1為所求作三角形 2 A2B2C2為所求作三角形 根據(jù)勾股定理得A2C2 sin A2C2B2 C組教師專用題組考點一相似的性質(zhì)與判定 1 2018內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在四邊形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E為BC的中點 AE與BD相交于點F 若BC 4 CBD 30 則DF的長為 A B C D 答案D如圖 連接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E為BC的中點 ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故選D 思路分析根據(jù)題意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 進而求得AB 3 由E是BC的中點 得ED BE 進而可得DE AB 所以 AFB EFD 進而求出DF的長 解題關(guān)鍵本題考查了含30 角的直角三角形的性質(zhì) 三角形相似的判定和性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是作出Rt BCD斜邊上的中線 2 2016重慶 8 4分 ABC與 DEF的相似比為1 4 則 ABC與 DEF的周長比為 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因為 ABC與 DEF的相似比為1 4 所以由相似三角形周長的比等于相似比 得 ABC與 DEF的周長比為1 4 故選C 3 2016安徽 8 4分 如圖 ABC中 AD是中線 BC 8 B DAC 則線段AC的長為 A 4B 4C 6D 4 答案B由AD是中線可得DC BC 4 B DAC C C ADC BAC AC2 BC DC 8 4 32 AC 4 故選B 評析本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中線 屬容易題 4 2016黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點 DE BC BE與CD相交于點F 則下列結(jié)論一定正確的是 A B C D 答案A DE BC ADE ABC 故選項A正確 故選A 5 2017重慶A卷 8 4分 若 ABC DEF 相似比為3 2 則對應(yīng)高的比為 A 3 2B 3 5C 9 4D 4 9 答案A相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比 所以選A 6 2014遼寧沈陽 8 3分 如圖 在 ABC中 點D在邊AB上 BD 2AD DE BC交AC于點E 若線段DE 5 則線段BC的長為 A 7 5B 10C 15D 20 答案C由題意可得 ADE ABC 相似比為 所以BC 3DE 15 故選C 評析本題考查相似三角形的判定與性質(zhì) 屬容易題 7 2018云南 5 3分 如圖 已知AB CD 若 則 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 8 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 點P在矩形ABCD的內(nèi)部 點E在邊BC上 滿足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 則PE的長為 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根據(jù) PBE DBC可知P點在線段BD上 當AD PD 8時 由相似可得 PE 當AP PD時 P點為BD的中點 PE CD 3 故答案為3或 思路分析根據(jù)AB AD及已知條件先判斷P點在線段BD上 再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩種情況 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解即可 難點突破判斷P點在線段BD上是解答本題的突破口 9 2018內(nèi)蒙古包頭 18 3分 如圖 在 ABCD中 AC是一條對角線 EF BC 且EF與AB相交于點E 與AC相交于點F 3AE 2EB 連接DF 若S AEF 1 則S ADF的值為 答案 解析 3AE 2EB 又EF BC AEF ABC S AEF 1 S ABC 在 ABCD中 S ACD S ABC S ADF S ACD 思路分析根據(jù)3AE 2EB 得 由EF BC 得 AEF ABC 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及S AEF 1求得S ABC 由S ACD S ABC及S ADF S ACD可求得S ADF 10 2017黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在矩形ABCD中 M為BC邊上一點 連接AM 過點D作DE AM 垂足為E 若DE DC 1 AE 2EM 則BM的長為 答案 解析 BAM EAD 90 EAD EDA 90 BAM EDA 又 B AED 90 ADE MAB 即 AE BM 由AE 2EM可設(shè)AE 2x EM x x 0 則BM 2x 在Rt ABM中 由勾股定理可知 2x x 2 12 2x 2 解得x 舍負 BM 2x 11 2015山東臨沂 18 3分 如圖 在 ABC中 BD CE分別是邊AC AB上的中線 BD與CE相交于點O 則 答案2 解析連接DE BD CE分別是AC AB邊上的中線 DE為 ABC的中位線 DE BC DE BC OBC ODE 2 12 2018陜西 17 5分 如圖 已知 在正方形ABCD中 M是BC邊上一定點 連接AM 請用尺規(guī)作圖法 在AM上求作一點P 使 DPA ABM 不寫作法 保留作圖痕跡 解析如圖所示 點P即為所求 5分 思路分析過D點作DP AM于點P 進而可利用 APD B DAP AMB判斷 DPA ABM 13 2018江西 14 6分 如圖 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分線 BD交AC于點E 求AE的長 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 D CBD 進而可得BC CD 4 通過 ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法總結(jié)證明三角形相似的常見方法 平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 相似的基本圖形可分別記為 A 型和 X 型 如圖所示 在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 14 2018呼和浩特 24 10分 如圖 已知BC AC 圓心O在AC上 點M與點C分別是AC與 O的交點 點D是MB與 O的交點 點P是AD延長線與BC的交點 且 1 求證 PD是 O的切線 2 若AD 12 AM MC 求的值 解析 1 證明 連接OD OP A A ADM APO ADM APO MD PO 1 4 2 3 OD OM 3 4 1 2 又OP OP OD OC ODP OCP ODP OCP BC AC OCP 90 ODP 90 OD AP 又OD為半徑 PD是 O的切線 2 由 1 知PC PD 連接CD AM MC AM 2MO 2R R為 O的半徑 在Rt AOD中 OD2 AD2 OA2 R2 122 9R2 R 3 OD 3 MC 6 AP 18 DP 6 又 MD PO O是MC的中點 點P是BC的中點 BP CP DP 6 又 MC是 O的直徑 BDC CDM 90 在Rt BCM中 BC 2DP 12 MC 6 BM 6 易知 BCM CDM 即 MD 2 思路分析第 1 問需要通過線段的比相等來尋找合適的相似三角形 進而得到角相等 第 2 問需要先求出半徑 進而借助相似三角形的性質(zhì)和判定解決 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要尋找合適的相似三角形 并綜合運用相關(guān)幾何知識解決問題 15 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 點M為邊AB的中點 1 如圖1 點G為線段CM上的一點 且 AGB 90 延長AG BG分別與邊BC CD交于點E F 求證 BE CF 求證 BE2 BC CE 2 如圖2 在邊BC上取一點E 滿足BE2 BC CE 連接AE交CM于點G 連接BG并延長交CD于點F 求tan CBF的值 圖1圖2 解析 1 證明 四邊形ABCD為正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 證明 AGB 90 點M為AB的中點 MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 從而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延長AE DC交于點N 如圖1 圖1 四邊形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如圖2 圖2則 MNG MBC 設(shè)MN y 則GN 2y GM y 即 解得y GM 從而GM MA MB 此時點G在以AB為直徑的圓上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 16 2015連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D為AC延長線上一點 AC 3CD 過點D作DH AB 交BC的延長線于點H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的長 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 考點二圖形的位似1 2017四川成都 8 3分 如圖 四邊形ABCD和A B C D 是以點O為位似中心的位似圖形 若OA OA 2 3 則四邊形ABCD與四邊形A B C D 的面積比為 A 4 9B 2 5C 2 3D 答案A由位似圖形的性質(zhì)知 所以 故選A 2 2015天津 16 3分 如圖 在 ABC中 DE BC 分別交AB AC于點D E 若AD 3 DB 2 BC 6 則DE的長為 答案 解析 DE BC ADE ABC DE 3 2015寧夏 20 6分 在平面直角坐標系中 ABC的三個頂點坐標分別為A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 畫出 ABC關(guān)于x軸對稱的 A1B1C1 2 以M點為位似中心 在網(wǎng)格中畫出 A1B1C1的位似圖形 A2B2C2 使 A2B2C2與 A1B1C1的相似比為2 1 E2 解析 1 如圖所示 3分 2 如圖所示 6分 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 時間 10分鐘分值 15分 一 選擇題 共3分 1 2017三明二檢 8 如圖 大三角形與小三角形是位似圖形 若小三角形一個頂點的坐標為 m n 則大三角形中與之對應(yīng)的頂點坐標為 A 2m 2n B 2m 2n C 2n 2m D 2n 2m 三年模擬 答案A由題圖知兩三角形的位似中心為原點 且位似比為1 2 所以大三角形中與之對應(yīng)的點的坐標為 2m 2n 故選A 方法歸納如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中心 這時的相似比又稱位似比 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比 二 填空題 共3分 2 2017寧德質(zhì)檢 14 如圖 已知 ABC 點D E分別是AB AC的中點 若 ABC的面積等于24 則 ADE的面積等于 答案6 解析 點D E分別是AB AC的中點 DE BC BC 2DE ADE ABC ABC的面積等于24 ADE的面積等于6 解題關(guān)鍵掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵 三 解答題 共9分 3 2016南平質(zhì)檢 22 已知 O的弦CD與直徑AB垂直于F 點E在CD上 且AE CE 1 求證 CA2 CE CD 2 已知CA 5 EA 3 求sin EAF E2 解析 1 證明 弦CD垂直于直徑AB D C 又AE EC CAE C CEA CAD 即CA2 CE CD 2 CA2 CE CD CA 5 CE EA 3 52 3CD CD 又CF FD CF CD EF CF CE 3 在Rt AFE中 sin EAF 思路分析 1 利用兩組角對應(yīng)相等證明 CEA CAD 即可得解 2 利用 1 的結(jié)論求出CD的長 進而求出CF和EF的長 即可得解 命題立意本題考查了垂徑定理 三角形相似的判定及性質(zhì) 三角函數(shù)的應(yīng)用 難度中等 B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 40分鐘分值 50分 解答題 共50分 1 2018福州二檢 24 已知菱形ABCD E是BC邊上一點 連接AE交BD于點F 1 如圖1 當E是BC中點時 求證 AF 2EF 2 如圖2 連接CF AB 5 BD 8 當 CEF為直角三角形時 求BE的長 3 如圖3 當 ABC 90 時 過點C作CG AE交AE的延長線于點G 連接DG 若BE BF 求tan BDG的值 解析 1 證明 點E是BC的中點 BC 2BE 四邊形ABCD是菱形 AD BC 2BE AD BC FAD FEB FDA FBE AFD EFB 2 AF 2EF 2 連接AC交BD于點O 四邊形ABCD是菱形 BD 8 AC BD互相垂直平分 OA AC OB BD 4 又 點F在BD上 FC FA 在Rt ABO中 AOB 90 AB 5 OB 4 OA 3 AC 6 AD BC FAD FEB FDA FBE FDA FBE i 當 FEC 90 時 在 ABC中 S ABC BC AE AC BO AE 在Rt AEB中 AEB 90 BE ii 當 EFC 90 時 點O是AC的中點 OF AC 3 DF 7 BF 1 FBE FDA 即 解得BE iii 因為點E在BC邊上 所以點F在線段BO上 故 ECF ECA 90 故 ECF 90 這種情況不存在 綜上所述 當 CEF為直角三角形時 BE的長為或 3 連接AC交BD于點O 連接GO 四邊形ABCD為菱形 ABC 90 菱形ABCD為正方形 點A B C D在以O(shè)為圓心 OA為半徑的圓上 2 2018莆田二檢 24 如圖 AD平分 BAC BD AD 垂足為點D 點P是AD上一點 PQ AC于點Q 連接BP DQ 1 求證 2 求證 DBP DQP 3 若BD 1 點P在線段AD上運動 不與A D重合 設(shè)DP t 點P到AB的距離為d1 點P到DQ的距離為d2 記S 求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式 解析 1 證明 AD平分 BAC PAQ BAD PQ AC BD AD PQA BDA 90 PQA BDA 2 證明 由 1 知 又 PAB QAD PAB QAD APB AQD APB PDB DBP AQD AQP DQP 又 PDB AQP 90 DBP DQP 3 過點P分別作PG AB于點G PH DQ于點H 3 2017南平二檢 25 如圖 已知正方形ABCD的邊長為2 以DC為底向正方形外作等腰 DEC 連接AE 以AE為腰作等腰 AEF 使得EA EF 且 DEC AEF 1 求證 EDC EAF 2 求DE BF的值 3 連接CF AC 當CF AC時 求 DEC的度數(shù) 解析 1 證明 AEF和 DEC是等腰三角形 且 DEC AEF EAF EDC EAF EDC EDC EAF 2 由 1 知 EDC EAF DC AB DEA 180 90 EDC DAE 90 EDC DAE BAF 90 EAF DAE BAF DEA BAF DEA 即DE BF DA AB 4 3 DEC AEF DEA CEF DE CE AE FE ADE FCE AD FC BC BAF DEA ABF EDA FBC CDE CBF和 EDC是等腰三角形 BCF DEC CF AC ACF 90 ACB 45 BCF 45 DEC 45 4 2016廈門質(zhì)檢 27 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 點E F M N分別在AB AD DC CB邊上 連接EF EN NM FM 若EF BD NM 1 1 求證 Rt ABC Rt EBN 2 當BD EF EN且四邊形ABCD的面積為S時 判斷四邊形EFMN面積最大時的形狀 解析 1 證明 1 可設(shè) k 則 1 k EF BD 1 k 1 k ABC 90 BN k BC k Rt ABC Rt EBN 2 四邊形EFMN為菱形時面積最大 由 1 得EN AC EF BD MN BD MF CA MF NE 四邊形EFMN為平行四邊形 Rt ABC Rt EBN k2 S EBN k2S ABC 命題立意本題考查相似三角形的證明 菱形等相關(guān)知識點 考查學生綜合解題能力 屬于難題