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2018 中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點 32 尺規(guī)作圖 一 選擇題 共 13 小題 1 2018 襄陽 如圖 在 ABC 中 分別以點 A 和點 C 為圓心 大于 AC 長 為半徑畫弧 兩弧相交于點 M N 作直線 MN 分別交 BC AC 于點 D E 若 AE 3cm ABD 的周長為 13cm 則 ABC 的周長為 A 16cm B 19cm C 22cm D 25cm 分析 利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題 解答 解 DE 垂直平分線段 AC DA DC AE EC 6cm AB AD BD 13cm AB BD DC 13cm ABC 的周長 AB BD BC AC 13 6 19cm 故選 B 2 2018 河北 尺規(guī)作圖要求 過直線外一點作這條直線的垂線 作線段的垂直平分線 過直線上一點作這條直線的垂線 作角的平分線 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖 則正確的配對是 A B C D 分析 分別利用過直線外一點作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的 作法和過直線上一點作這條直線的垂線 角平分線的作法分別得出符合題意的 答案 解答 解 過直線外一點作這條直線的垂線 作線段的垂直平分線 過直線上一點作這條直線的垂線 作角的平分線 如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖 則正確的配對是 故選 D 3 2018 河南 如圖 已知 AOBC 的頂點 O 0 0 A 1 2 點 B 在 x 軸正半軸上按以下步驟作圖 以點 O 為圓心 適當(dāng)長度為半徑作弧 分別 交邊 OA OB 于點 D E 分別以點 D E 為圓心 大于 DE 的長為半徑作弧 兩弧在 AOB 內(nèi)交于點 F 作射線 OF 交邊 AC 于點 G 則點 G 的坐標(biāo)為 A 1 2 B 2 C 3 2 D 2 2 分析 依據(jù)勾股定理即可得到 Rt AOH 中 AO 依據(jù) AGO AOG 即 可得到 AG AO 進(jìn)而得出 HG 1 可得 G 1 2 解答 解 AOBC 的頂點 O 0 0 A 1 2 AH 1 HO 2 Rt AOH 中 AO 由題可得 OF 平分 AOB AOG EOG 又 AG OE AGO EOG AGO AOG AG AO HG 1 G 1 2 故選 A 4 2018 宜昌 尺規(guī)作圖 經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線 下列作 圖中正確的是 A B C D 分析 根據(jù)過直線外一點向直線作垂線即可 解答 已知 直線 AB 和 AB 外一點 C 求作 AB 的垂線 使它經(jīng)過點 C 作法 1 任意取一點 K 使 K 和 C 在 AB 的兩旁 2 以 C 為圓心 CK 的長為半徑作弧 交 AB 于點 D 和 E 3 分別以 D 和 E 為圓心 大于 DE 的長為半徑作弧 兩弧交于點 F 4 作直線 CF 直線 CF 就是所求的垂線 故選 B 5 2018 濰坊 如圖 木工師傅在板材邊角處作直角時 往往使用 三弧法 其作法是 1 作線段 AB 分別以 A B 為圓心 以 AB 長為半徑作弧 兩弧的交點為 C 2 以 C 為圓心 仍以 AB 長為半徑作弧交 AC 的延長線于點 D 3 連接 BD BC 下列說法不正確的是 A CBD 30 B S BDC AB2 C 點 C 是 ABD 的外心 D sin 2A cos2D 1 分析 根據(jù)等邊三角形的判定方法 直角三角形的判定方法以及等邊三角形 的性質(zhì) 直角三角形的性質(zhì)一一判斷即可 解答 解 由作圖可知 AC AB BC ABC 是等邊三角形 由作圖可知 CB CA CD 點 C 是 ABD 的外心 ABD 90 BD AB S ABD AB2 AC CD S BDC AB2 故 A B C 正確 故選 D 6 2018 郴州 如圖 AOB 60 以點 O 為圓心 以任意長為半徑作弧交 OA OB 于 C D 兩點 分別以 C D 為圓心 以大于 CD 的長為半徑作弧 兩 弧相交于點 P 以 O 為端點作射線 OP 在射線 OP 上截取線段 OM 6 則 M 點 到 OB 的距離為 A 6 B 2 C 3 D 分析 直接利用角平分線的作法得出 OP 是 AOB 的角平分線 再利用直角 三角形的性質(zhì)得出答案 解答 解 過點 M 作 ME OB 于點 E 由題意可得 OP 是 AOB 的角平分線 則 POB 60 30 ME OM 3 故選 C 7 2018 臺州 如圖 在 ABCD 中 AB 2 BC 3 以點 C 為圓心 適當(dāng)長為 半徑畫弧 交 BC 于點 P 交 CD 于點 Q 再分別以點 P Q 為圓心 大于 PQ 的長為半徑畫弧 兩弧相交于點 N 射線 CN 交 BA 的延長線于點 E 則 AE 的長 是 A B 1 C D 分析 只要證明 BE BC 即可解決問題 解答 解 由題意可知 CF 是 BCD 的平分線 BCE DCE 四邊形 ABCD 是平行四邊形 AB CD DCE E BCE AEC BE BC 3 AB 2 AE BE AB 1 故選 B 8 2018 嘉興 用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形 ABCD 下列作法中錯誤的 是 A B C D 分析 根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可 解答 解 A 由作圖可知 AC BD 且平分 BD 即對角線平分且垂直的四 邊形是菱形 正確 B 由作圖可知 AB BC AD AB 即四邊相等的四邊形是菱形 正確 C 由作圖可知 AB DC AD BC 只能得出 ABCD 是平行四邊形 錯誤 D 由作圖可知對角線 AC 平分對角 可以得出是菱形 正確 故選 C 9 2018 昆明 如圖 點 A 在雙曲線 y x 0 上 過點 A 作 AB x 軸 垂足為點 B 分別以點 O 和點 A 為圓心 大于 OA 的長為半徑作弧 兩弧相交 于 D E 兩點 作直線 DE 交 x 軸于點 C 交 y 軸于點 F 0 2 連接 AC 若 AC 1 則 k 的值為 A 2 B C D 分析 如圖 設(shè) OA 交 CF 于 K 利用面積法求出 OA 的長 再利用相似三角 形的性質(zhì)求出 AB OB 即可解決問題 解答 解 如圖 設(shè) OA 交 CF 于 K 由作圖可知 CF 垂直平分線段 OA OC CA 1 OK AK 在 Rt OFC 中 CF AK OK OA 由 FOC OBA 可得 OB AB A k 故選 B 10 2018 湖州 尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎其中 傳說拿破侖通過 下列尺規(guī)作圖考他的大臣 將半徑為 r 的 O 六等分 依次得到 A B C D E F 六個分點 分別以點 A D 為圓心 AC 長為半徑畫弧 G 是兩弧的一個交點 連結(jié) OG 問 OG 的長是多少 大臣給出的正確答案應(yīng)是 A rB 1 r C 1 r D r 分析 如圖連接 CD AC DG AG 在直角三角形即可解決問題 解答 解 如圖連接 CD AC DG AG AD 是 O 直徑 ACD 90 在 Rt ACD 中 AD 2r DAC 30 AC r DG AG CA OD OA OG AD GOA 90 OG r 故選 D 11 2018 臺灣 如圖 銳角三角形 ABC 中 BC AB AC 甲 乙兩人想找 一點 P 使得 BPC 與 A 互補 其作法分別如下 甲 以 A 為圓心 AC 長為半徑畫弧交 AB 于 P 點 則 P 即為所求 乙 作過 B 點且與 AB 垂直的直線 l 作過 C 點且與 AC 垂直的直線 交 l 于 P 點 則 P 即為所求 對于甲 乙兩人的作法 下列敘述何者正確 A 兩人皆正確 B 兩人皆錯誤 C 甲正確 乙錯誤 D 甲錯誤 乙正確 分析 甲 根據(jù)作圖可得 AC AP 利用等邊對等角得 APC ACP 由平 角的定義可知 BPC APC 180 根據(jù)等量代換可作判斷 乙 根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得 BPC A 180 解答 解 甲 如圖 1 AC AP APC ACP BPC APC 180 BPC ACP 180 甲錯誤 乙 如圖 2 AB PB AC PC ABP ACP 90 BPC A 180 乙正確 故選 D 12 2018 安順 已知 ABC AC BC 用尺規(guī)作圖的方法在 BC 上確定一 點 P 使 PA PC BC 則符合要求的作圖痕跡是 A B C D 分析 利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可 解答 解 A 如圖所示 此時 BA BP 則無法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此選項錯誤 B 如圖所示 此時 PA PC 則無法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此 選項錯誤 C 如圖所示 此時 CA CP 則無法得出 AP BP 故不能得出 PA PC BC 故此 選項錯誤 D 如圖所示 此時 BP AP 故能得出 PA PC BC 故此選項正確 故選 D 13 2017 南寧 如圖 ABC 中 AB AC CAD 為 ABC 的外角 觀察圖 中尺規(guī)作圖的痕跡 則下列結(jié)論錯誤的是 A DAE B B EAC C C AE BC D DAE EAC 分析 根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡 可得 DAE B 進(jìn)而判定 AE BC 再根 據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論 解答 解 根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡 可得 DAE B 故 A 選項正確 AE BC 故 C 選項正確 EAC C 故 B 選項正確 AB AC C B CAE DAE 故 D 選項錯誤 故選 D 二 填空題 共 7 小題 14 2018 南京 如圖 在 ABC 中 用直尺和圓規(guī)作 AB AC 的垂直平分線 分別交 AB AC 于點 D E 連接 DE 若 BC 10cm 則 DE 5 cm 分析 直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出 DE 是 ABC 的中位線 進(jìn)而得出 答案 解答 解 用直尺和圓規(guī)作 AB AC 的垂直平分線 D 為 AB 的中點 E 為 AC 的中點 DE 是 ABC 的中位線 DE BC 5cm 故答案為 5 15 2018 淮安 如圖 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 5 分別以點 A B 為圓心 大于 AB 的長為半徑畫弧 兩弧交點分別為點 P Q 過 P Q 兩點作直線交 BC 于點 D 則 CD 的長是 分析 連接 AD 由 PQ 垂直平分線段 AB 推出 DA DB 設(shè) DA DB x 在 Rt ACD 中 C 90 根據(jù) AD2 AC2 CD2 構(gòu)建方程即可解決問題 解答 解 連接 AD PQ 垂直平分線段 AB DA DB 設(shè) DA DB x 在 Rt ACD 中 C 90 AD2 AC2 CD2 x 2 32 5 x 2 解得 x CD BC DB 5 故答案為 16 2018 山西 如圖 直線 MN PQ 直線 AB 分別與 MN PQ 相交于點 A B 小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖 以點 A 為圓心 以任意長為半徑 作弧交 AN 于點 C 交 AB 于點 D 分別以 C D 為圓心 以大于 CD 長為半 徑作弧 兩弧在 NAB 內(nèi)交于點 E 作射線 AE 交 PQ 于點 F 若 AB 2 ABP 60 則線段 AF 的長為 2 分析 作高線 BG 根據(jù)直角三角形 30 度角的性質(zhì)得 BG 1 AG 可得 AF 的長 解答 解 MN PQ NAB ABP 60 由題意得 AF 平分 NAB 1 2 30 ABP 1 3 3 30 1 3 30 AB BF AG GF AB 2 BG AB 1 AG AF 2AG 2 故答案為 2 17 2018 東營 如圖 在 Rt ABC 中 B 90 以頂點 C 為圓心 適當(dāng)長 為半徑畫弧 分別交 AC BC 于點 E F 再分別以點 E F 為圓心 大于 EF 的 長為半徑畫弧 兩弧交于點 P 作射線 CP 交 AB 于點 D 若 BD 3 AC 10 則 ACD 的面積是 15 分析 作 DQ AC 由角平分線的性質(zhì)知 DB DQ 3 再根據(jù)三角形的面積公 式計算可得 解答 解 如圖 過點 D 作 DQ AC 于點 Q 由作圖知 CP 是 ACB 的平分線 B 90 BD 3 DB DQ 3 AC 10 S ACD AC DQ 10 3 15 故答案為 15 18 2018 通遼 如圖 在 ABC 中 按以下步驟作圖 分別以點 A 和點 C 為圓心 以大于 AC 的長為半徑作弧 兩弧相交于 M N 兩點 作直線 MN 交 BC 于點 D 連接 AD 若 AB BD AB 6 C 30 則 ACD 的面積為 9 分析 只要證明 ABD 是等邊三角形 推出 BD AD DC 可得 S ADC S ABD 即 可解決問題 解答 解 由作圖可知 MN 垂直平分線段 AC DA DC C DAC 30 ADB C DAC 60 AB AD ABD 是等邊三角形 BD AD DC S ADC S ABD 62 9 故答案為 9 19 2018 成都 如圖 在矩形 ABCD 中 按以下步驟作圖 分別以點 A 和 C 為圓心 以大于 AC 的長為半徑作弧 兩弧相交于點 M 和 N 作直線 MN 交 CD 于點 E 若 DE 2 CE 3 則矩形的對角線 AC 的長為 分析 連接 AE 如圖 利用基本作圖得到 MN 垂直平分 AC 則 EA EC 3 然 后利用勾股定理先計算出 AD 再計算出 AC 解答 解 連接 AE 如圖 由作法得 MN 垂直平分 AC EA EC 3 在 Rt ADE 中 AD 在 Rt ADC 中 AC 故答案為 20 2018 湖州 在每個小正方形的邊長為 1 的網(wǎng)格圖形中 每個小正方形的 頂點稱為格點 以頂點都是格點的正方形 ABCD 的邊為斜邊 向內(nèi)作四個全等 的直角三角形 使四個直角頂點 E F G H 都是格點 且四邊形 EFGH 為正方 形 我們把這樣的圖形稱為格點弦圖 例如 在如圖 1 所示的格點弦圖中 正 方形 ABCD 的邊長為 此時正方形 EFGH 的而積為 5 問 當(dāng)格點弦圖中的 正方形 ABCD 的邊長為 時 正方形 EFGH 的面積的所有可能值是 13 或 49 或 9 不包括 5 分析 當(dāng) DG CG 2 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 可得正 方形 EFGH 的面積為 13 當(dāng) DG 8 CG 1 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 7 可得正方形 EFGH 的面積為 49 當(dāng) DG 7 CG 4 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 3 可得正方形 EFGH 的面積為 9 解答 解 當(dāng) DG CG 2 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 可 得正方形 EFGH 的面積為 13 當(dāng) DG 8 CG 1 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 7 可得正方形 EFGH 的面積 為 49 當(dāng) DG 7 CG 4 時 滿足 DG2 CG2 CD2 此時 HG 3 可得正方形 EFGH 的面積 為 9 故答案為 13 或 49 或 9 三 解答題 共 21 小題 21 2018 廣州 如圖 在四邊形 ABCD 中 B C 90 AB CD AD AB CD 1 利用尺規(guī)作 ADC 的平分線 DE 交 BC 于點 E 連接 AE 保留作圖痕跡 不寫作法 2 在 1 的條件下 證明 AE DE 若 CD 2 AB 4 點 M N 分別是 AE AB 上的動點 求 BM MN 的最小值 分析 1 利用尺規(guī)作出 ADC 的角平分線即可 2 延長 DE 交 AB 的延長線于 F 只要證明 AD AF DE EF 利用等腰三角 形三線合一的性質(zhì)即可解決問題 作點 B 關(guān)于 AE 的對稱點 K 連接 EK 作 KH AB 于 H DG AB 于 G 連接 MK 由 MB MK 推出 MB MN KM MN 根據(jù)垂線段最短可知 當(dāng) K M N 共線 且與 KH 重合時 KM MN 的值最小 最小值為 KH 的長 解答 解 1 如圖 ADC 的平分線 DE 如圖所示 2 延長 DE 交 AB 的延長線于 F CD AF CDE F CDE ADE ADF F AD AF AD AB CD AB BF CD BF DEC BEF DEC FEB DE EF AD AF AE DE 作點 B 關(guān)于 AE 的對稱點 K 連接 EK 作 KH AB 于 H DG AB 于 G 連接 MK AD AF DE EF AE 平分 DAF 則 AEK AEB AK AB 4 在 Rt ADG 中 DG 4 KH DG KH MB MK MB MN KM MN 當(dāng) K M N 共線 且與 KH 重合時 KM MN 的值最小 最小值為 KH 的長 BM MN 的最小值為 22 2018 廣東 如圖 BD 是菱形 ABCD 的對角線 CBD 75 1 請用尺規(guī)作圖法 作 AB 的垂直平分線 EF 垂足為 E 交 AD 于 F 不要 求寫作法 保留作圖痕跡 2 在 1 條件下 連接 BF 求 DBF 的度數(shù) 分析 1 分別以 A B 為圓心 大于 AB 長為半徑畫弧 過兩弧的交點作 直線即可 2 根據(jù) DBF ABD ABF 計算即可 解答 解 1 如圖所示 直線 EF 即為所求 2 四邊形 ABCD 是菱形 ABD DBC ABC 75 DC AB A C ABC 150 ABC C 180 C A 30 EF 垂直平分線線段 AB AF FB A FBA 30 DBF ABD FBE 45 23 2018 安徽 如圖 O 為銳角 ABC 的外接圓 半徑為 5 1 用尺規(guī)作圖作出 BAC 的平分線 并標(biāo)出它與劣弧 的交點 E 保留作圖 痕跡 不寫作法 2 若 1 中的點 E 到弦 BC 的距離為 3 求弦 CE 的長 分析 1 利用基本作圖作 AE 平分 BAC 2 連接 OE 交 BC 于 F 連接 OC 如圖 根據(jù)圓周角定理得到 再根 據(jù)垂徑定理得到 OE BC 則 EF 3 OF 2 然后在 Rt OCF 中利用勾股定理計 算出 CF 在 Rt CEF 中利用勾股定理可計算出 CE 解答 解 1 如圖 AE 為所作 2 連接 OE 交 BC 于 F 連接 OC 如圖 AE 平分 BAC BAE CAE OE BC EF 3 OF 5 3 2 在 Rt OCF 中 CF 在 Rt CEF 中 CE 24 2018 自貢 如圖 在 ABC 中 ACB 90 1 作出經(jīng)過點 B 圓心 O 在斜邊 AB 上且與邊 AC 相切于點 E 的 O 要求 用尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不寫作法和證明 2 設(shè) 1 中所作的 O 與邊 AB 交于異于點 B 的另外一點 D 若 O 的直徑 為 5 BC 4 求 DE 的長 如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形 可畫出草圖完成 2 問 分析 1 作 ABC 的角平分線交 AC 于 E 作 EO AC 交 AB 于點 O 以 O 為圓心 OB 為半徑畫圓即可解決問題 2 作 OH BC 于 H 首先求出 OH EC BE 利用 BCE BED 可得 解決問題 解答 解 1 O 如圖所示 2 作 OH BC 于 H AC 是 O 的切線 OE AC C CEO OHC 90 四邊形 ECHO 是矩形 OE CH BH BC CH 在 Rt OBH 中 OH 2 EC OH 2 BE 2 EBC EBD BED C 90 BCE BED DE 25 2018 北京 下面是小東設(shè)計的 過直線外一點作這條直線的平行線 的尺 規(guī)作圖過程 已知 直線 l 及直線 l 外一點 P 求作 直線 PQ 使得 PQ l 作法 如圖 在直線 l 上取一點 A 作射線 PA 以點 A 為圓心 AP 長為半徑畫弧 交 PA 的延長線于點 B 在直線 l 上取一點 C 不與點 A 重合 作射線 BC 以點 C 為圓心 CB 長為 半徑畫弧 交 BC 的延長線于點 Q 作直線 PQ 所以直線 PQ 就是所求作的直線 根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程 1 使用直尺和圓規(guī) 補全圖形 保留作圖痕跡 2 完成下面的證明 證明 AB AP CB CQ PQ l 三角形中位線定理 填推理的依據(jù) 分析 1 根據(jù)題目要求作出圖形即可 2 利用三角形中位線定理證明即可 解答 1 解 直線 PQ 如圖所示 2 證明 AB AP CB CQ PQ l 三角形中位線定理 故答案為 AP CQ 三角形中位線定理 26 2018 白銀 如圖 在 ABC 中 ABC 90 1 作 ACB 的平分線交 AB 邊于點 O 再以點 O 為圓心 OB 的長為半徑作 O 要求 不寫做法 保留作圖痕跡 2 判斷 1 中 AC 與 O 的位置關(guān)系 直接寫出結(jié)果 分析 1 首先利用角平分線的作法得出 CO 進(jìn)而以點 O 為圓心 OB 為半 徑作 O 即可 2 利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可 解答 解 1 如圖所示 2 相切 過 O 點作 OD AC 于 D 點 CO 平分 ACB OB OD 即 d r O 與直線 AC 相切 27 2018 無錫 如圖 平面直角坐標(biāo)系中 已知點 B 的坐標(biāo)為 6 4 1 請用直尺 不帶刻度 和圓規(guī)作一條直線 AC 它與 x 軸和 y 軸的正半軸 分別交于點 A 和點 C 且使 ABC 90 ABC 與 AOC 的面積相等 作圖不 必寫作法 但要保留作圖痕跡 2 問 1 中這樣的直線 AC 是否唯一 若唯一 請說明理由 若不唯一 請在圖中畫出所有這樣的直線 AC 并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 分析 1 作線段 OB 的垂直平分線 AC 滿足條件 作矩形 OA BC 直 線 A C 滿足條件 2 分兩種情形分別求解即可解決問題 解答 1 解 如圖 ABC 即為所求 2 解 這樣的直線不唯一 作線段 OB 的垂直平分線 AC 滿足條件 此時直線的解析式為 y x 作矩形 OA BC 直線 A C 滿足條件 此時直線 A C 的解析式為 y x 4 28 2018 孝感 如圖 ABC 中 AB AC 小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了 如下操作 作 BAC 的平分線 AM 交 BC 于點 D 作邊 AB 的垂直平分線 EF EF 與 AM 相交于點 P 連接 PB PC 請你觀察圖形解答下列問題 1 線段 PA PB PC 之間的數(shù)量關(guān)系是 PA PB PC 2 若 ABC 70 求 BPC 的度數(shù) 分析 1 根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得 PA PB PC 2 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得 ABC ACB 70 由三角形的內(nèi)角和得 BAC 180 2 70 40 由角平分線定義得 BAD CAD 20 最后利用三 角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論 解答 解 1 如圖 PA PB PC 理由是 AB AC AM 平分 BAC AD 是 BC 的垂直平分線 PB PC EP 是 AB 的垂直平分線 PA PB PA PB PC 故答案為 PA PB PC 2 AB AC ABC ACB 70 BAC 180 2 70 40 AM 平分 BAC BAD CAD 20 PA PB PC ABP BAP ACP 20 BPC ABP BAC ACP 20 40 20 80 29 2018 深圳 已知菱形的一個角與三角形的一個角重合 然后它的對角頂 點在這個重合角的對邊上 這個菱形稱為這個三角形的親密菱形 如圖 在 CFE 中 CF 6 CE 12 FCE 45 以點 C 為圓心 以任意長為半徑作 AD 再 分別以點 A 和點 D 為圓心 大于 AD 長為半徑作弧 交 EF 于點 B AB CD 1 求證 四邊形 ACDB 為 FEC 的親密菱形 2 求四邊形 ACDB 的面積 分析 1 根據(jù)折疊和已知得出 AC CD AB DB ACB DCB 求出 AC AB 根據(jù)菱形的判定得出即可 2 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式 求出菱形的邊長和高 根據(jù)菱形的面 積公式求出即可 解答 1 證明 由已知得 AC CD AB DB 由已知尺規(guī)作圖痕跡得 BC 是 FCE 的角平分線 ACB DCB 又 AB CD ABC DCB ACB ABC AC AB 又 AC CD AB DB AC CD DB BA 四邊形 ACDB 是菱形 ACD 與 FCE 中的 FCE 重合 它的對角 ABD 頂點在 EF 上 四邊形 ACDB 為 FEC 的親密菱形 2 解 設(shè)菱形 ACDB 的邊長為 x 四邊形 ABCD 是菱形 AB CE FAB FCE FBA E EAB FCE 則 即 解得 x 4 過 A 點作 AH CD 于 H 點 在 Rt ACH 中 ACH 45 四邊形 ACDB 的面積為 30 2018 貴港 尺規(guī)作圖 只保留作圖痕跡 不要求寫出作法 如圖 已 知 和線段 a 求作 ABC 使 A C 90 AB a 分析 根據(jù)作一個角等于已知角 線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答 案 解答 解 如圖所示 ABC 為所求作 31 2018 江西 如圖 在四邊形 ABCD 中 AB CD AB 2CD E 為 AB 的中 點 請僅用無刻度直尺分別按下列要求畫圖 保留畫圖痕跡 1 在圖 1 中 畫出 ABD 的 BD 邊上的中線 2 在圖 2 中 若 BA BD 畫出 ABD 的 AD 邊上的高 分析 1 連接 EC 利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可 2 連接 EC ED FA 利用三角形重心的性質(zhì)解答即可 解答 解 1 如圖 1 所示 AF 即為所求 2 如圖 2 所示 BH 即為所求 32 2018 青島 已知 如圖 ABC 射線 BC 上一點 D 求作 等腰 PBD 使線段 BD 為等腰 PBD 的底邊 點 P 在 ABC 內(nèi)部 且點 P 到 ABC 兩邊的距離相等 分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì) 線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題 解答 解 點 P 在 ABC 的平分線上 點 P 到 ABC 兩邊的距離相等 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 點 P 在線段 BD 的垂直平分線上 PB PD 線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等 如圖所示 33 2018 寧波 在 5 3 的方格紙中 ABC 的三個頂點都在格點上 1 在圖 1 中畫出線段 BD 使 BD AC 其中 D 是格點 2 在圖 2 中畫出線段 BE 使 BE AC 其中 E 是格點 分析 1 將線段 AC 沿著 AB 方向平移 2 個單位 即可得到線段 BD 2 利用 2 3 的長方形的對角線 即可得到線段 BE AC 解答 解 1 如圖所示 線段 BD 即為所求 2 如圖所示 線段 BE 即為所求 34 2018 河南 如圖 反比例函數(shù) y x 0 的圖象過格點 網(wǎng)格線的交 點 P 1 求反比例函數(shù)的解析式 2 在圖中用直尺和 2B 鉛筆畫出兩個矩形 不寫畫法 要求每個矩形均需 滿足下列兩個條件 四個頂點均在格點上 且其中兩個頂點分別是點 O 點 P 矩形的面積等于 k 的值 分析 1 將 P 點坐標(biāo)代入 y 利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解 析式 2 根據(jù)矩形滿足的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可 解答 解 1 反比例函數(shù) y x 0 的圖象過格點 P 2 2 k 2 2 4 反比例函數(shù)的解析式為 y 2 如圖所示 矩形 OAPB 矩形 OCDP 即為所求作的圖形 35 2018 金華 如圖 在 6 6 的網(wǎng)格中 每個小正方形的邊長為 1 點 A 在格點 小正方形的頂點 上 試在各網(wǎng)格中畫出頂點在格點上 面積為 6 且符合相應(yīng)條件的圖形 分析 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可 解答 解 符合條件的圖形如圖所示 36 2018 濟(jì)寧 在一次數(shù)學(xué)活動課中 某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇 如圖所 示 面積的方法 現(xiàn)有以下工具 卷尺 直棒 EF T 型尺 CD 所在的直 線垂直平分線段 AB 1 在圖 1 中 請你畫出用 T 形尺找大圓圓心的示意圖 保留畫圖痕跡 不寫 畫法 2 如圖 2 小華說 我只用一根直棒和一個卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面 積 具體做法如下 將直棒放置到與小圓相切 用卷尺量出此時直棒與大圓兩交點 M N 之間的距 離 就可求出環(huán)形花壇的面積 如果測得 MN 10m 請你求出這個環(huán)形花壇的面 積 分析 1 直線 CD 與 C D 的交點即為所求的點 O 2 設(shè)切點為 C 連接 OM OC 旅游勾股定理即可解決問題 解答 解 1 如圖點 O 即為所求 2 設(shè)切點為 C 連接 OM OC MN 是切線 OC MN CM CN 5 OM 2 OC2 CM2 25 S 圓環(huán) OM2 OC2 25 37 2018 廣安 下面有 4 張形狀 大小完全相同的方格紙 方格紙中的每個 小正方形的邊長都是 1 請在方格紙中分別畫出符合要求的圖形 所畫圖形各 頂點必須與方格紙中小正方形的頂點重合 具體要求如下 1 畫一個直角邊長為 4 面積為 6 的直角三角形 2 畫一個底邊長為 4 面積為 8 的等腰三角形 3 畫一個面積為 5 的等腰直角三角形 4 畫一個邊長為 2 面積為 6 的等腰三角形 分析 1 利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可 2 利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可 3 利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可 4 利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可 解答 解 1 如圖 1 所示 2 如圖 2 所示 3 如圖 3 所示 4 如圖 4 所示 38 2018 青島 問題提出 用若干相同的一個單位長度的細(xì)直木棒 按照如 圖 1 方式搭建一個長方體框架 探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律 問題探究 我們先從簡單的問題開始探究 從中找出解決問題的方法 探究一 用若干木棒來搭建橫長是 m 縱長是 n 的矩形框架 m n 是正整數(shù) 需要 木棒的條數(shù) 如圖 當(dāng) m 1 n 1 時 橫放木棒為 1 1 1 條 縱放木棒為 1 1 1 條 共需 4 條 如圖 當(dāng) m 2 n 1 時 橫放木棒為 2 1 1 條 縱放木棒為 2 1 1 條 共需 7 條 如圖 當(dāng) m 2 n 2 時 橫放木棒為 2 2 1 條 縱放木棒為 2 1 2 條 共需 12 條 如圖 當(dāng) m 3 n 1 時 橫放木棒為 3 1 1 條 縱 放木棒為 3 1 1 條 共需 10 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 時 橫放木棒為 3 2 1 條 縱放木棒為 3 1 2 條 共需 17 條 問題 一 當(dāng) m 4 n 2 時 共需木棒 22 條 問題 二 當(dāng)矩形框架橫長是 m 縱長是 n 時 橫放的木棒為 m n 1 條 縱放的木棒為 n m 1 條 探究二 用若干木棒來搭建橫長是 m 縱長是 n 高是 s 的長方體框架 m n s 是正 整數(shù) 需要木棒的條數(shù) 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 1 時 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 1 1 34 條 豎放木棒為 3 1 2 1 1 12 條 共需 46 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 2 時 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 2 1 51 條 豎放木棒為 3 1 2 1 2 24 條 共需 75 條 如圖 當(dāng) m 3 n 2 s 3 時 橫放與縱放木棒之和為 3 2 1 3 1 2 3 1 68 條 豎放木棒為 3 1 2 1 3 36 條 共需 104 條 問題 三 當(dāng)長方體框架的橫長是 m 縱長是 n 高是 s 時 橫放與縱放木 棒條數(shù)之和為 m n 1 n m 1 s 1 條 豎放木棒條數(shù)為 m 1 n 1 s 條 實際應(yīng)用 現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個縱長是 2 高是 4 的長方體框架 總共使用了 170 條木棒 則這個長方體框架的橫長是 4 拓展應(yīng)用 若按照如圖 2 方式搭建一個底面邊長是 10 高是 5 的正三棱柱框架 需要木棒 1320 條 分析 從特殊到一般探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題 解答 解 問題 一 當(dāng) m 4 n 2 時 橫放木棒為 4 2 1 條 縱放 木棒為 4 1 2 條 共需 22 條 問題 二 當(dāng)矩形框架橫長是 m 縱長是 n 時 橫放的木棒為 m n 1 條 縱放的木棒為 n m 1 條 問題 三 當(dāng)長方體框架的橫長是 m 縱長是 n 高是 s 時 橫放與縱放木 棒條數(shù)之和為 m n 1 n m 1 s 1 條 豎放木棒條數(shù)為 m 1 n 1 s 條 實際應(yīng)用 這個長方體框架的橫長是 s 則 3m 2 m 1 5 m 1 3 4 170 解得 m 4 拓展應(yīng)用 若按照如圖 2 方式搭建一個底面邊長是 10 高是 5 的正三棱柱框架 橫放與縱放木棒條數(shù)之和為 165 6 990 條 豎放木棒條數(shù)為 66 5 330 條需要 木棒 1320 條 故答案為 22 m n 1 n m 1 m n 1 n m 1 s 1 m 1 n 1 s 4 1320 39 2018 香坊區(qū) 如圖 在每個小正方形的邊長均為 1 的方格紙中 有線段 AB 和線段 CD 點 A B C D 均在小正方形的頂點上 1 在方格紙中畫出以 AB 為斜邊的等腰直角三角形 ABE 點 E 在小正方形的 頂點上 2 在方格紙中畫出以 CD 為對角線的矩形 CMDN 頂點字母按逆時針順序 且面積為 10 點 M N 均在小正方形的頂點上 3 連接 ME 并直接寫出 EM 的長 分析 1 利用等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可 2 利用矩形的性質(zhì)畫出即可 3 根據(jù)勾股定理解答即可 解答 解 1 如圖所示 2 如圖所示 3 如圖所示 EM 40 2018 天門 圖 圖 都是由邊長為 1 的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格 每個小菱 形的頂點稱為格點 點 O M N A B 均在格點上 請僅用無刻度直尺在網(wǎng) 格中完成下列畫圖 1 在圖 中 畫出 MON 的平分線 OP 2 在圖 中 畫一個 Rt ABC 使點 C 在格點上 分析 1 構(gòu)造全等三角形 利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題 2 利用菱形以及平行線的性質(zhì)即可解決問題 解答 解 1 如圖所示 射線 OP 即為所求 2 如圖所示 點 C 即為所求 41 2018 哈爾濱 如圖 方格紙中每個小正方形的邊長均為 1 線段 AB 的 兩個端點均在小正方形的頂點上 1 在圖中畫出以線段 AB 為一邊的矩形 ABCD 不是正方形 且點 C 和點 D 均在小正方形的頂點上 2 在圖中畫出以線段 AB 為一腰 底邊長為 2 的等腰三角形 ABE 點 E 在 小正方形的頂點上 連接 CE 請直接寫出線段 CE 的長 分析 1 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可 2 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可 解答 解 1 如圖所示 矩形 ABCD 即為所求 2 如圖 ABE 即為所求 CE 4