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《數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計(jì) 高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（第1課時(shí)） 邵武一中　杜海光 一、學(xué)情分析： 學(xué)生在前一階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本掌握了等差、等比數(shù)列這兩類最基本的數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，同時(shí)也掌握了與等差、等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)專題探究課，將會(huì)根據(jù)已知數(shù)列的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰯?shù)列的前n項(xiàng)和，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。 二、教法設(shè)計(jì)： 本節(jié)課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：講究效率，加強(qiáng)變式訓(xùn)練、合作學(xué)習(xí)。采用以問題情景為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后剖析需要解決的問題，在例題及變式中鞏固相應(yīng)方法，再?gòu)挠懻?、反饋中深化?duì)問題和方法的理解，從而較好地完成知識(shí)的建構(gòu)，更好地鍛煉學(xué)生探索和解決問題的能力。 在教學(xué)過(guò)程中采取如下方法： ①誘導(dǎo)思維法：使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性； ②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性； ③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。 三、教學(xué)設(shè)計(jì)： 1、教材的地位與作用： 對(duì)數(shù)列求和的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于高考命題中常考的內(nèi)容；另一個(gè)面，數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想是本課時(shí)的重點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題的數(shù)學(xué)思想，即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。因此，研究由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式中的數(shù)學(xué)思想方法是很有必要的。 2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)求數(shù)列的前n項(xiàng)，本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)并項(xiàng)分組求和與裂項(xiàng)法求和。 教學(xué)難點(diǎn)：解題過(guò)程中方法的正確選擇。 3、教學(xué)目標(biāo)： (1)知識(shí)與技能： 會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式選擇求和的方法，并能運(yùn)用并項(xiàng)分組求和與裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)。 (2)過(guò)程與方法： ①培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力； ②通過(guò)階梯性練習(xí)和分層能力培養(yǎng)練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。 (3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀： ①通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的分析和探究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神； ②通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和問題的分析和探究，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣； ③通過(guò)互助合作、自主探究等課堂教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)。 四、教學(xué)過(guò)程： 教　學(xué)　步　驟 教　學(xué)　活　動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 一、復(fù)習(xí)引入 (一)鞏固: 求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和： ①1＋3＋5＋…＋(2n－1)= ②＝　　　　 ③ （二）引入 1、對(duì)一個(gè)數(shù)列我們應(yīng)關(guān)注它什么? ２、對(duì)一個(gè)非特殊數(shù)列，如何求和？ （轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列） 3、引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列幾種常見的求和方法: ①公式法②拆并項(xiàng)求和③裂項(xiàng)相消法 ④倒序相加法⑤錯(cuò)位相減法 ４、提出問題：如何對(duì)非特殊的數(shù)列求和？ 學(xué)生練習(xí)，教師提問 對(duì)于③提示學(xué)生要注意分類 教師提問，學(xué)生回答 充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性,以學(xué)生為主體,展開課堂教學(xué) 通過(guò)學(xué)生對(duì)幾種常見的求和方法的歸納、總結(jié) ,簡(jiǎn)單回憶各方法的應(yīng)用背景.把遺忘的知識(shí)點(diǎn)形成了一個(gè)完整的知識(shí)體系 二、例題選講： 問題１求下列數(shù)列的和 (1) 1－3＋5－7＋9＋……+101= . (2) 設(shè)Sn＝1－3＋5－7＋9＋……＋(－1)n－1(2n－1), 求Sn (3) . (4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn= . 教師講解： （１）分析(一) Sn＝(1－3)＋(5－7)＋(9-11)＋……(97-99)+101＝ 分析(二)Sn＝1+(－3＋5)+(－7＋9)+(-11＋13)……+(-99+101)＝ 分析(三) Sn＝(1+5+……+101)-(3+7+……+99) ＝ 分析(四) Sn＝1－3＋5－7＋9＋……+101 Sn＝101-99+97-95＋……+1 （２）分析：當(dāng)n＝2k (k∈N*)時(shí), Sn＝S2k＝(1－3)＋(5－7)＋… ＋[(4k－3)－(4k－1)]＝－2k＝－n． 當(dāng)n＝2k－1 (k∈N*)時(shí), Sn＝S2k－1＝S2k－a2k ＝－2k－[－(4k－1)]＝2k－1＝n． 綜上所述,有Sn＝(－1)n－1n． （３） +（）＝56－ （４） 變式1　(１)Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12，求Sn. (2) (教材習(xí)題改編)(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n)＝________. (3)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，其前n項(xiàng)和Sn＝，則項(xiàng)數(shù)n等于(　　) A．13　　B．10　　　　C．9　　　　 D．6 解答： (1) Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. (2) 解析：(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n) ＝(2＋4＋…＋2n)－3(5－1＋5－2＋…＋5－n) ＝－3 ＝n(n＋1)－＝n2＋n＋5－n－. (3)解析：選D　∵an＝＝1－， ∴Sn＝＋＋…＋ ＝n－ ＝n－＝n－＝n－1＋. ∴n－1＋＝＝5，解得n＝6 問題2 (1) ＋＋＋…＋＝　　　　　　　。 (2)= . (3) 1+ = (4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，若，則n= . 解析： (1) ∵＝， ∴＋＋＋…＋ ＝ ＝＝. (2) (3) (4)120 變式2　(1) 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． (2) 已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線l與直線3x－y＋2＝0平行，若數(shù)列(n∈N*)的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為(　　) A. B. C. D. 解析： (1) bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2. ＋＋…＋ ＝－2 ＝－. 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為－. (2)解析：選D　由于f′(x)＝2x＋b，據(jù)題意則有f′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，從而＝＝－， 其前n項(xiàng)和Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故S2 012＝. 多媒體顯示題目 學(xué)生先獨(dú)立思考，后討論，最后教師由學(xué)生的回答概括出各種解法。 教師小結(jié)： （1）并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． （2）分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減． 學(xué)生獨(dú)立練習(xí)。 學(xué)生板書，教師點(diǎn)評(píng) 學(xué)生思考，討論后，教師重點(diǎn)講解對(duì)通項(xiàng)的處理，以及消去的項(xiàng)和留下的項(xiàng)的處理 教師小結(jié)： １、注意點(diǎn)：使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)． 2、常見的拆項(xiàng)公式 (1)＝； (2)＝； (3)＝ (4)＝(－). 學(xué)生練習(xí)、討論，教師提問、引導(dǎo) 通過(guò)四個(gè)小題，讓學(xué)生能分析和式的特點(diǎn)，靈活選擇合適的方法——并項(xiàng)求和、分組求和。 通過(guò)一題多解,開闊學(xué)生的思維. ①分析(一)( 二) (三)培養(yǎng)學(xué)生的拆項(xiàng)求和與并項(xiàng)求和的意識(shí), ②比較分析(一)( 二)思考應(yīng)留下哪一項(xiàng) ③分析(四)復(fù)習(xí)倒序相加法 ④為例1后面的習(xí)題作鋪墊 鞏固所學(xué)方法 前兩題主要是復(fù)習(xí)裂項(xiàng)法的基本操作，后兩題的主要是想通過(guò)對(duì)通項(xiàng)的處理，達(dá)到符合裂項(xiàng)法的要求 綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，求出通項(xiàng)，能由通項(xiàng)特點(diǎn)選擇方法 三、學(xué)生反饋練習(xí) ① ②數(shù)列:的前項(xiàng)和為 ; ③數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)之和Sn=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)n－1(4n－3),則S15＋S22－S31= . ④已知數(shù)列{an}：若那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】選B. 學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，析書，教師點(diǎn)評(píng) 反饋練習(xí)的訓(xùn)練充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位,營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氣氛 通過(guò)學(xué)生的評(píng)析,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,發(fā)散學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生的合作,探究意識(shí)。 讓學(xué)生從具體實(shí)例中發(fā)現(xiàn)結(jié)論。符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律,并在結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 四、小結(jié) １、拆并項(xiàng)求和： 若,其中均為可求和數(shù)列,則可分別求和后再合并； 2、裂項(xiàng)法求和的幾個(gè)注意點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)與系數(shù) 3、求和思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想 數(shù)列求和把數(shù)列通過(guò)分組、變換通項(xiàng)、變換次序、乘以常數(shù)等方法，把數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為能使用公式求解或者能通過(guò)基本運(yùn)算求解的形式，達(dá)到求和的目的． 教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié) 啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),一方面了解學(xué)生對(duì)本堂課的接受情況,另一方面培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力。使知識(shí)系統(tǒng)化,條理化。 五、課后作業(yè) 必做題：《世紀(jì)金榜》課時(shí)提能演練（三十二）　第1~11題 選做題： 1、如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn=3＋2n,那么= . 2、設(shè)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＝4的等差數(shù)列,前20項(xiàng)之和為S20=660． (Ⅰ)求它的首項(xiàng)a1； (Ⅱ)設(shè) T＝，求T的值． 通過(guò)作業(yè)題的分層變式訓(xùn)練,達(dá)到引起學(xué)生積極思維的目的,提高分析問題、解決問題能力來(lái)滿足不同層次學(xué)生需要,符合因材施教原則。從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“題后思考”的習(xí)慣和提高數(shù)學(xué)能力的效果。 六、教學(xué)評(píng)價(jià) 自主性：注重發(fā)展學(xué)生的個(gè)性,分層式練習(xí)和選擇性作業(yè),充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 實(shí)踐性：通過(guò)學(xué)生評(píng)析中的變式訓(xùn)練,給學(xué)生提供了一個(gè)很好的做數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)機(jī)會(huì). 可行性: 所教的班級(jí)是高三年級(jí)的實(shí)驗(yàn)班,學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)功底, 具備一定的獨(dú)立思考、合作探究能力. 有效性: 通過(guò)學(xué)生的練習(xí)與評(píng)析, 給學(xué)生提供了一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題,討論問題,解決問題的平臺(tái),為學(xué)生高效獲取知識(shí)和提高綜合素質(zhì)創(chuàng)造條件. 五、課后反思： 數(shù)列求和的題型多樣，求和的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。 因而數(shù)列求和問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法策略是：公式法、并項(xiàng)分組法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。只要仔細(xì)辨析數(shù)列通項(xiàng)的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出前n項(xiàng)和的關(guān)鍵。