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第零章 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備 一 泰勒展開式 1 二項(xiàng)式的展開 2 一般函數(shù)的展開 特別:時(shí), 3 二元函數(shù)的展開(x=y=0處) 評(píng)注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問(wèn)題向線 性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。在理論力問(wèn)題的簡(jiǎn)單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。 二 常微分方程 1 一階非齊次常微分方程： 通解： 注：積分時(shí)不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。 2 一個(gè)特殊二階微分方程 通解： 注：為由初始條件決定的常量 3 二階非齊次常微分方程 通解：；為對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個(gè)特解。 非齊次方程的一個(gè)特解 （1） 對(duì)應(yīng)齊次方程 設(shè)得特征方程。解出特解為，。 *若則，； *若則，； *若則，； （2） 若為二次多項(xiàng)式 *時(shí)，可設(shè) *時(shí)，可設(shè) 注：以上,,A,B,C,D均為常數(shù)，由初始條件決定。 三 矢量 1 矢量的標(biāo)積 注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢積 四 矩陣 此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。 令 *D=0時(shí)，方程組有非零解 *D0時(shí)，方程只有零解 第一章 牛頓力學(xué)的基本定律 萬(wàn)丈高樓從地起。整個(gè)力學(xué)大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學(xué)智慧結(jié)晶將飄來(lái)他的古樸與幽香。此時(shí)矢量言語(yǔ)將盡顯英雄本色，微積分更是風(fēng)光占盡。 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】 1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述 （1） 直線坐標(biāo)系 （2） 平面極坐標(biāo)系 （3） 自然坐標(biāo)系 （4） 柱坐標(biāo)系 〈析〉 上述矢量順序分別為： 矢量微分： （其它各矢量微分與此方法相同） 微分時(shí)一定要注意矢量順序 2 牛頓定律 慣性定律的矢量表述 （1） 直角坐標(biāo)系中 （2） 極挫標(biāo)系中 （3） 自然坐標(biāo)系中 3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本定理 幾個(gè)量的定義： 動(dòng)量 角動(dòng)量 沖量 力矩 沖量矩 動(dòng)能 （1） 動(dòng)量定理 方向上動(dòng)量守恒： （2） 動(dòng)量矩定理 （3） 動(dòng)能定理 4機(jī)戒能守恒定理 T+V=E 〈析〉勢(shì)函數(shù)V: 穩(wěn)定平衡下的勢(shì)函數(shù)：; 此時(shí)勢(shì)能處極小處 且能量滿足 【解題演示】 1 細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。 解：依幾何關(guān)系知： 又因?yàn)椋? 故： 2 橢圓規(guī)尺AB的兩端點(diǎn)分別沿相互垂直的直線Oχ與Oy滑動(dòng)，已知B端以勻速c運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點(diǎn)的軌道方程、速度及加速度的大小υ與α。 解：依題知： 且： 得： 又因M點(diǎn)位置： 故有： 代入（*）式得： 即： 3 一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動(dòng)，如圖所示。求圓盤邊上任意一點(diǎn)M的速度和加速度（以O(shè)、M點(diǎn)的連線與鉛直線間的夾角θ表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。 解：設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為（）。則M點(diǎn)坐標(biāo)為（） 故： 4 一半徑為r的圓盤以勻角深度ω在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖所示，求圓盤邊上M點(diǎn)的深度υ和加速度α（用參量θ，Ψ表示）。 解：依題知： 且O點(diǎn)處： 則： 5 已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：y=bt,,a和b都是非零常數(shù)。（1）寫處質(zhì)點(diǎn)軌道的極坐標(biāo)方程；（2）用極坐標(biāo)表示出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。 解： 得： 6 已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)向和橫向的速度分量分別是λr和θ，這里μ和λ是常數(shù)。求出質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量. 解：由題知： 且： 故： 7 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常量，證明質(zhì)點(diǎn)的速度矢量與加速度矢量正交。 證明：設(shè)速度為。 則： 由于與為正交矢量。即得證。 8一質(zhì)點(diǎn)沿心臟線以恒定速率v運(yùn)動(dòng)，求出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度. 解：設(shè) 且有： 解得： 得： 則： 9已知質(zhì)點(diǎn)按 運(yùn)動(dòng)，分別求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的切向和法向分量，經(jīng)向分量和橫向分量。 解：（1）極坐標(biāo)系下： 由得： 且設(shè)： 則： 得： 則：徑向與橫向的分量分別為，。 10質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿一旋輪線運(yùn)動(dòng)，旋輪線方程為。證明質(zhì)點(diǎn)在方向做等加速運(yùn)動(dòng)。 解：依題意： 得： 則： 11 一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦的一端點(diǎn)以速率出發(fā)，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正焦弦的另一端點(diǎn)時(shí)的速率。 解：建立自然坐標(biāo)系有： 且： 積分得：（代入） 又因?yàn)椋涸邳c(diǎn)處斜率： 在點(diǎn)處斜率： 故： 即： 12 豎直上拋一小球，設(shè)空氣阻力恒定。證明小球上升的時(shí)間比下落返回至原地點(diǎn)的時(shí)間短。 解：設(shè)空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒，則有： 上升時(shí)間： 上升高度： 下落時(shí)間： 得： 即得證。 13 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)自離地面高度處下落。若空氣阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，比例常數(shù)為C，試討論此質(zhì)點(diǎn)下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀況。 解：設(shè)加速度為，速率為，則： 得：積分并代入時(shí)有： 知：質(zhì)點(diǎn)一直在做向下的變加速運(yùn)動(dòng)，且加速度越來(lái)越小。 14 將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線之間的夾角又為角度時(shí)所需時(shí)間。 解：依牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有： 積分并代入初始條件：時(shí)： 解得： 當(dāng)再次夾角為時(shí)： 可解出： 15 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)用一長(zhǎng)度為的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質(zhì)量為。開始時(shí)，小環(huán)靜止質(zhì)點(diǎn)下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質(zhì)點(diǎn)以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時(shí)，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動(dòng)，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數(shù)至少是，此時(shí)繩中的張力為。 解：依 得： 則： 又因?yàn)椋? 得： 故： 即得證。 16 滑輪上繞有輕繩，繩端與一彈簧的一個(gè)端點(diǎn)聯(lián)結(jié)，彈簧的另一端掛一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。當(dāng)滑輪以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)以勻速率下降。若滑輪突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，試求彈簧的最大伸長(zhǎng)及彈簧中的最大張力。已知彈簧作用力為W時(shí)的靜止伸長(zhǎng)。 解：（注：此題中）設(shè)最大伸長(zhǎng)為有： 依能量守恒： 解得： 則： 17 兩個(gè)相同的輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)為，自然長(zhǎng)度是，在它們中間豎直地串接一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。彈簧的另外兩端點(diǎn)分別固定于A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，A、B間的高度差是。設(shè)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止于AB的中點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 17解：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)勢(shì)能 在平衡時(shí)： 得: 且運(yùn)動(dòng)時(shí)受力滿足： 代入初始條件: 可解得： 18 兩個(gè)質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B用一自然長(zhǎng)度為的輕質(zhì)彈簧相連，置于一光滑水平桌面上，如圖所示。彈簧的勁度系數(shù)為。兩質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧呈自然長(zhǎng)度；而后，質(zhì)點(diǎn)B沿AB方向受到一大小為的恒力作用。分別求處質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 18解：依受力分析知 +得： 積分得: 代入得： 積分得： 同理： 積分得： 式中。 另解：先將AB及彈簧看成一系統(tǒng)，其質(zhì)心做一受恒力的作用，再將A與B 理解成繞質(zhì)心做周期性振動(dòng)，可得A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與A振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，B亦然。計(jì)算亦很簡(jiǎn)單！ 19 一質(zhì)點(diǎn)從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問(wèn)質(zhì)點(diǎn)滑至何處將脫離圓柱表面？ 解：將脫離時(shí)滑過(guò)相應(yīng)角度為，此時(shí)滿足： 可解得： 20 一鋼絲彎成尖端朝上的擺線：，上面穿有一質(zhì)量為的小環(huán)。今若小環(huán)在鋼絲的最低處獲得大小為的初速度，開始沿?cái)[線滑動(dòng)。求出當(dāng)小環(huán)的速度與水平線成角度時(shí)，小環(huán)的速率。已知小環(huán)與鋼絲的摩擦系數(shù)為。 解：小環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，依受力分析知： 其對(duì)鋼絲的正壓力為 又因?yàn)椋? 得： 代入： 得： 則損失能量： 再依能量守恒： 得： （其中） 現(xiàn)進(jìn)行積分： 解出： 代入得： 代入得： 再將C代入得： 故： 21 如圖所示，用細(xì)線將一質(zhì)量為的圓環(huán)懸掛起來(lái)，環(huán)上套有兩個(gè)質(zhì)量都是的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無(wú)摩擦地滑動(dòng)。若兩小環(huán)同時(shí)從大環(huán)頂部由靜止向兩邊滑動(dòng)，證明如果，大環(huán)將升起；此時(shí)角是多少？ 解：小環(huán)因重力對(duì)的壓力。而小環(huán)運(yùn)動(dòng)所需向心力必由對(duì)的彈力F與重力提供，滿足：（法向） 又依能量守恒知： 且依兩環(huán)的對(duì)稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為： 當(dāng)大環(huán)升起須滿足： 故得方程： 故： 當(dāng)滿足時(shí)，升起時(shí)角度滿足 解出： 則剛升起時(shí)： 第二章 有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題 斗轉(zhuǎn)星移，粒子變遷，乃至整個(gè)宇宙的各種運(yùn)動(dòng)均受著“上帝”的安排----力的大小與距離平方成反比定律。在此解析幾何的空間曲線將一展風(fēng)情。 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】 1有心力和有心運(yùn)動(dòng) （1） 有心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征：平面運(yùn)動(dòng) 動(dòng)量守恒() 機(jī)械能守恒() （2） 運(yùn)動(dòng)微分方程 可導(dǎo)出： 〈析〉是一個(gè)恒量，解題時(shí)應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)使你絕處逢生，可謂是柳暗花明又一村的大門。 2 距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 可由比內(nèi)公式導(dǎo)出： （為由初始條件決定的常量） 近日點(diǎn)： 遠(yuǎn)日點(diǎn)： 且 可得半長(zhǎng)軸長(zhǎng)： 〈析〉用來(lái)求，進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即便是開普勒三定律亦是須臾即得。 4 距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（粒子散射）的雙曲線模型 （） 可導(dǎo)出： 散射角： 盧瑟福散射公式： （式中散射截面：，立體角：將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式） 4 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的討論 （1） 圓軌道的穩(wěn)定條件 （等效勢(shì)能：） 再利用可導(dǎo)出： （） （2） 軌道的軌跡曲線 〈析〉通過(guò)與0的關(guān)系，即可判斷天體運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線 【解題演示】 1 質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)速度的大小為，這里是常數(shù)。已知時(shí)，速度與矢量間夾角為。求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。 解: 且 又因?yàn)? 故上式轉(zhuǎn)化成 積分并代入初始條件得 即： 2 木星軌道的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度是5.2天文單位（1個(gè)天文單位為 ）。求出（1）木星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期；（2）木星的平均軌道速率。已知地球的平均軌道速率是。 解：（1）依開普勒第三定律: 木星與地球的周期聯(lián)系為： （注:為1.0天文單位） （2） 則: 順便證明開普勒第二第三定律: （1） 單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積 （2） 周期： 3 月球的質(zhì)量和半徑分別是和，其中 分別是地球的質(zhì)量和半徑。試求（1）月球表面處的重力加速度；（2）若在月球表面發(fā)射火箭，使之脫離月球，則火箭的發(fā)射速度至少是多少？ 解：（1） （2）脫離月球初動(dòng)能： 得： 4 如果質(zhì)點(diǎn)受到的有心力為，式中及都是常數(shù)，并且。試證其軌道方程可寫為：，式中，為積分常數(shù)，。 4證明:依比內(nèi)方程 得: 積分得: 式中: ,A為積分常數(shù) 5 一質(zhì)點(diǎn)受遵循萬(wàn)有引力定律的有心力作用,作橢圓運(yùn)動(dòng).和 是過(guò)橢圓中心一直徑的兩端,分別是質(zhì)點(diǎn)在和處的速率.證明.(為短半軸處的速率) 證明: 即： 6 設(shè)地球的半徑為,質(zhì)量是.證明人造衛(wèi)星在地球引力場(chǎng)中以橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的速率由下試表示:.其中, 是質(zhì)點(diǎn)能脫離地球的逃逸速度,即第二宇宙速度;是衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度. 證明:在半徑為處: 得： （） 7太陽(yáng)繞銀河系中心運(yùn)動(dòng),其軌道運(yùn)動(dòng)速度約為,離銀河系中心的距離為30 000光年.以太陽(yáng)質(zhì)量為單位,估計(jì)一下銀河系的總質(zhì)量. 解:設(shè)銀河系的質(zhì)量幾乎全部集中在核心上。 依 代入 得： 8 一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為,在有心引力作用下運(yùn)動(dòng).試問(wèn)質(zhì)點(diǎn)的能量E及角動(dòng)量的大小L分別為何值時(shí),質(zhì)點(diǎn)將按軌道 運(yùn)動(dòng)?這里 均為已知常數(shù). 解：（1）依比內(nèi)公式有： 得： 積分得： 即： 由于時(shí),軌道在處開口,是拋物線型,故 。 （2） 得： 又因?yàn)? 得： 故須滿足： 得： 此時(shí): 9 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受兩體諧振勢(shì)的有心力作用.初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓軌道運(yùn)動(dòng).（1）求出質(zhì)點(diǎn)圓軌道運(yùn)動(dòng)的速度.（2）如果質(zhì)點(diǎn)在軌道平面內(nèi)受到一與速度成角的大小為 的沖量作用,求質(zhì)點(diǎn)在此后的運(yùn)動(dòng)中離力心的最大和最小距離.（3）當(dāng)和時(shí),從物理上對(duì)你所得的結(jié)果分別作出解釋. 解：（1） 因?yàn)? 故有: 積分得： （3） 由質(zhì)點(diǎn)和諧振動(dòng)系統(tǒng)組成的系統(tǒng)能量守恒,當(dāng)受到?jīng)_量I之后 此時(shí)： 當(dāng)運(yùn)動(dòng)到極點(diǎn)處但有： 整理得方程： 可解出： 得： （3） 時(shí)： 此時(shí):沖量的作用使速度在同方向變?yōu)?倍,由于此處，故此處為一極點(diǎn)： 。 到達(dá)另一極點(diǎn)處,恢復(fù)到切向，且得： 時(shí)： 同理,沖量作用使（后瞬間）,故此處為一極點(diǎn) 到電達(dá)一極點(diǎn)時(shí),恢復(fù)切向,且：得： 10一彗星在近日點(diǎn)處離太陽(yáng)的距離是地球軌道半徑的一半（假設(shè)地球作圓軌道運(yùn)動(dòng)），在該處彗星的速率是地球軌道速率的二倍。試從守恒定理出發(fā)。（1）求出慧星軌道與地球軌道相交處慧星的速率（2）問(wèn)此慧星的軌道是橢圓，拋物線還是又曲線？為什么？（3）它能脫離太陽(yáng)系嗎？ 解：（1）設(shè)地球繞日軌道半徑為R,速率為,此慧星質(zhì)量為,速率為,有： 得： （2）此慧星的能量 即：其軌道是拋物線 （3）在拋物線型軌道中：即能脫離太陽(yáng)系。 11．由于核電荷部分地被原子中的電子所屏蔽，屏蔽庫(kù)侖勢(shì)為，其中。Z為原子序數(shù)。試討論電子在上述勢(shì)場(chǎng)中作圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定條件。 解：電子運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效勢(shì)能 穩(wěn)定條件：得： 得： 解出 （注: 無(wú)意義） 12．地球軌道的偏心率。今若沿其半短軸將橢圓軌道分割為兩半，證明地還需在這兩個(gè)半軌道運(yùn)行的時(shí)間分別為：，計(jì)算一下它們相差多少天？ 證明:（幾何法,開普勒第二定律）,分割點(diǎn)到日心連線與弧線圍成面積 相差 13．質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在有心斥力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，式中是力心到質(zhì)點(diǎn)的距離。為常數(shù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離力心很遠(yuǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為，瞄準(zhǔn)距離是。試求質(zhì)點(diǎn)與力心間可能達(dá)到的最近距離d。 解：依能量與動(dòng)量守恒可得： 可解得： 14．試求出上題中質(zhì)點(diǎn)受力心散射后的散射角，并求出微分散射截面。 解:依題知,散射舅跡為雙曲線,從（8）題知： 且。是取距離最近時(shí)力心與雙曲線焦點(diǎn)連線。 又知：時(shí) 即： 得： 又由于散射截面，且由上式可得： 則: 得： 即 微分散射截面: 15．在光滑水平桌面上，兩個(gè)質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn)由一不可伸長(zhǎng)的繩聯(lián)結(jié)，繩穿過(guò)固定在水平桌面上的光滑小環(huán)，如圖所示。若與小環(huán)相距時(shí)獲得垂直于繩的初速度，試寫出質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程，并解出它的運(yùn)動(dòng)軌道方程。 解:由于小環(huán)光滑,則: 故比內(nèi)方程可寫為： 得： 即： 又因?yàn)闀r(shí)，得： （ 注:此處 ） 16．質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)A，軒于光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)，如圖所示。此質(zhì)點(diǎn)系有一根輕繩，繩子穿過(guò)桌面O處的光滑小孔下垂，并掛有一同樣質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離小孔距離為處，沿垂直于繩子方向以初速率射出，證明質(zhì)點(diǎn)在此后運(yùn)動(dòng)離O點(diǎn)距離必在d到3d之間。 16解:設(shè)繩對(duì)的拉力為，距孔為，有 可得 代入： 得： （注：） 積分得： 代入初始條件 得： 故: 可解出 ， （無(wú)意義，舍） 即得證。 此題用拉氏方法更簡(jiǎn)單。 第三章 非慣性參考系 不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁榮，也許在這里可以略見一斑。春光無(wú)限，請(qǐng)君且放千里目，別忘了矢量語(yǔ)言在此將大放益彩。 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】 1 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 〈析〉僅此三式便可以使“第心說(shuō)”與“日心說(shuō)”歸于一家。 （1） 平動(dòng)非慣性系 () 即： （2） 旋轉(zhuǎn)非慣性系 () 2 地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)（以地心為參考點(diǎn)） 寫成分量形式為： 〈析〉坐標(biāo)系選取物質(zhì)在地面上一定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向南方，y軸指向東方，鉛直方向?yàn)?z軸方向。 為旋轉(zhuǎn)非慣性系 在 條件下忽略 與 所得。正因如此，地球上的物體運(yùn)動(dòng)均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來(lái)的科氏力 的作用，也正是它導(dǎo)致了氣旋，反氣旋，熱帶風(fēng)暴，信風(fēng)，河岸右側(cè)沖刷嚴(yán)重，自由落體，傅科擺等多姿多彩的自然現(xiàn)象。 〈注〉自由落體偏東的推導(dǎo)時(shí)，取 =0，且須應(yīng)用級(jí)數(shù)展開，對(duì)小量作近似 【解題演示】 1 一船蓬高4米，在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m的甲板；但當(dāng)停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m 處，如果雨點(diǎn)的速率是8米每秒，求船航行時(shí)的速率？ 解：取湖面為慣性坐標(biāo)系，如右圖所示建立坐標(biāo)系 依幾何關(guān)系，設(shè)雨點(diǎn)相對(duì)湖面速度為 船相對(duì)雨點(diǎn)的速度為 則：船相對(duì)湖面的航行速度 則:u=8 2. 河的寬度為，水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的流速為0，河中心處水的流速為。河中一小船內(nèi)的人，以相對(duì)于水流恒定的速率，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行軌道和抵達(dá)對(duì)巖的地點(diǎn)。 解：如右圖所示，建立xoy慣性系，且依題意可知人的位置（x,y）滿足： 由得：y=ut分別代入，并聯(lián)立 得: 到達(dá)對(duì)岸時(shí),代入得: 3. 一圓盤以勻角速度繞過(guò)圓心并與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)點(diǎn)M沿圓盤上的弦，以恒定的相對(duì)速度運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為，求在以地面為參考系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M的速度和加速度（表示成質(zhì)點(diǎn)M離弦中點(diǎn)的距離的函數(shù)）. 解:設(shè)的速度,加速度分別為和,依題意知: 4一飛機(jī)在赤道上空以速率水平飛行。考慮到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別在下列情形下求出飛機(jī)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系（不隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系）的速率：(1)向北飛行；(2)向西飛行；(3)向東飛行。已知地球半徑為. 解:以飛機(jī)為坐標(biāo)原點(diǎn),以向東為方向,向南為方向,豎直向上為方向,相對(duì)于地心(設(shè)為慣性系)的速度為: 則:三種情況相對(duì)于地心的速度分別為: (1) 則: (2) 則: (3) 則: 5一楔子，頂角為，以勻加速度沿水平方向加速度運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于楔子的加速度及質(zhì)點(diǎn)對(duì)楔子的壓力. 解:依 得: 又因?yàn)樵谄絼?dòng)非慣性中:. 得: 則楔子對(duì)斜面的壓力 6一纜車，以大小為,與地平線成角的勻加速度上升。纜車中一物體自離纜車地板高度處自由下落。求此物體落至地板處的位置。 解:以纜車為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖則,物體滿足： ， 則： 知： 又因?yàn)椋? 則： 即:向后方偏離 7一單擺擺長(zhǎng)為，懸掛點(diǎn)在水平線上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：。這里是懸掛點(diǎn)離開水平線上的固定點(diǎn)O的距離，如圖所示。開始時(shí)擺錘沿鉛直下垂，相對(duì)于的速度為零。證明單擺此后的微小振動(dòng)規(guī)律為 解:以擺錘為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,如右圖,則：C相對(duì)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀況： （利用：） 再利用微振動(dòng)，并令有： 可解得: 并代入初始條件 得：， 故: 積分并代入,得: 8一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為，其上套有一質(zhì)量為的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度豎直向上運(yùn)動(dòng)，求小環(huán)相對(duì)于鋼絲圈的速率和鋼絲圈對(duì)小環(huán)的作用力大小。已知初始時(shí)刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角，小環(huán)的相對(duì)速率. 解:設(shè)與沿直線向方向的夾角為。如右圖所示，以小環(huán)質(zhì)心為參考原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則在方向上： 即 得 積分得： 在方向保持力平衡,則支持力 9一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度繞固定的圓盤中心轉(zhuǎn)動(dòng)。有一質(zhì)量為的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對(duì)速率向圓盤的邊緣走動(dòng)。試分別利用（1）地面慣性系；（2）圓盤非慣性系，討論圓盤對(duì)人的作用力 解：（1）以地面慣性參考系討論,設(shè)人走的半徑為，切向?yàn)?則有： （2）以圓盤非慣性討論： 則： 10一半徑為豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過(guò)其圓心的鉛直軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。在此圓環(huán)上套有一質(zhì)量為的小環(huán)，自處相對(duì)于圓環(huán)無(wú)初帶地沿環(huán)下滑。問(wèn)小環(huán)的位置為何值時(shí)，它的滑動(dòng)將開始反向？這是是圓環(huán)的圓心與小環(huán)的連線跟轉(zhuǎn)軸之間的夾角。 解:同（8）題： 在方向上有： 得： 積分并代入 得： 當(dāng)開始反向時(shí),， 代入上式解得： 11一內(nèi)壁光滑的管子，在水平面內(nèi)繞通過(guò)其端點(diǎn)O的鉛直軸，以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。管內(nèi)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，用一自然長(zhǎng)度為，勁度系數(shù)為的彈簧和管子的端點(diǎn)O相連，設(shè)初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)到O的距離為且。求質(zhì)點(diǎn)在管中的運(yùn)動(dòng)方程及它對(duì)管壁的壓力。 解：以O(shè)為原點(diǎn),如右圖建立直角坐標(biāo)系,則有： 得: 又因?yàn)椋? 故：在方向有： （其中：） 解方程并代入得： 再由，式得： 故： 12質(zhì)量為的小環(huán)，套在半徑為的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞其圓周上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程（以小環(huán)相對(duì)于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)的角度為參量寫出），設(shè)圓圈對(duì)小環(huán)的作用力大小以表示，并可略去小環(huán)重力。 解：如右圖所示建立坐標(biāo)系,則： 則： 又因?yàn)椋海? 在方向投影： 得切線方向： 在方向投影： 得在法線方向： 13一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，位于光滑的水平平臺(tái)上，此平臺(tái)以勻角速度繞通過(guò)平臺(tái)上一定點(diǎn)O的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若質(zhì)點(diǎn)受到O點(diǎn)的吸引力作用，這里是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的徑矢。試證明：質(zhì)點(diǎn)在任何起始條件下，將繞O點(diǎn)以角速度作圓周軌道運(yùn)動(dòng)。 證明:（注：此題與12題過(guò)程與條件基本相同） 如右圖建立坐標(biāo)系： 則： 因?yàn)? ， 且： 得: ， 即: 將繞以角速度作圓周軌道運(yùn)動(dòng)。 14一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點(diǎn)向下，以勻角速率繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為，這里為常數(shù)。 解：如右圖建立直解坐標(biāo)系,則： 則： 其中：， ， 且 則： 代入 得： 15在北緯處，一質(zhì)點(diǎn)以初速率豎直上拋，到達(dá)高度為時(shí)又落回地面?？紤]地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計(jì)空氣的阻力，求質(zhì)點(diǎn)落地位置與上拋點(diǎn)之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？ 解：依地球上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程： 初始條件為 對(duì)式進(jìn)行第一次積分 代入得： 積分得： 代入初始條件得： 落地時(shí)：代入上式得： （） 故偏西。 16在北緯的地方，以仰角向東方發(fā)射一炮彈，炮彈的出口速率為，考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，證明炮彈地點(diǎn)的橫向偏離為 。 解：（此題與上題解題基本相同）初始條件變?yōu)椋? 對(duì)進(jìn)行積分 代入得： 積分并代入初始條件得： 代入得： 代入 得： 當(dāng)落地時(shí)： 并代入上式得： 即橫向偏離： 第四章 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué) 以彼之道，還施彼身。單身獨(dú)影自是無(wú)風(fēng)不起浪,無(wú)論是親朋相會(huì),還是冤家聚頭,定有故事流傳.代數(shù)方程在此將笑傲江湖. 【要點(diǎn)分析與總結(jié)】 1 質(zhì)點(diǎn)組 （1） 質(zhì)心： 對(duì)于連續(xù)體: （2） 內(nèi)力與外力: 且內(nèi)力滿足: 2 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能 （1） 動(dòng)量 （2） 角動(dòng)量 （3） 動(dòng)能 3 質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的基本定理 （1） 動(dòng)量定理： 質(zhì)心定理： （2） 角動(dòng)量定理： （3） 動(dòng)能定理： 對(duì)質(zhì)心： 4 開放的質(zhì)點(diǎn)組： 或 <析>此章中許多等式的推導(dǎo)多用到分部積分與等量代換.在本章的習(xí)題解答中多用到動(dòng)量定理,角動(dòng)量定理與機(jī)械能守恒定理的聯(lián)立方程組,有時(shí)質(zhì)心定理的橫空出世會(huì)救你于水深火熱之中. 【解題演示】 1在一半徑為的圓圈上截取一段長(zhǎng)為的圓弧，求出這段圓弧的質(zhì)心位置。 解：如右圖所示建立坐標(biāo)系 。則： 設(shè) 有： 則質(zhì)心位置為， 距頂點(diǎn)的位置為 2．求出半徑為的勻質(zhì)半球的質(zhì)心位置。 解：如右圖所示，取一截面元與底面相距，則其質(zhì)量： 則：質(zhì)心與底面距離 3．兩只質(zhì)量均為的冰船，靜止地放在光滑的冰面上。一質(zhì)量為的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。設(shè)所有的運(yùn)動(dòng)都在一條直線上。求兩船最后的速度之比。 解：人在兩船運(yùn)動(dòng)為人與船組成系統(tǒng)的內(nèi)部作用，故此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有： 得： 4．一船以速度前進(jìn)，船上某人以相對(duì)速度向船頭拋出一質(zhì)量為的鐵球。已知船和人的總質(zhì)量是。求人拋擲鐵所作的功。 解：同上題。動(dòng)量守恒得： 得： 系統(tǒng)前后能量變化： 即：人做功 5．一質(zhì)量為的粒子爆炸成質(zhì)量相同的三小塊。其中兩塊的飛行方向相互垂直。它們的速率分別是和。求出第三塊的速度和動(dòng)量的大小。 解：設(shè)三塊的速度分別為 且： 則依動(dòng)量守恒 ： 得： 則： 6．重量為的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一與它相似的小楔子。小楔了的重量是。大小楔子的水平邊長(zhǎng)分別為和。小楔子自大楔子頂部靜止下滑，求小楔子完全下滑到水平面時(shí)，大小楔子完全下滑到水平面時(shí)，大小楔子分別移動(dòng)了多少距離？ 解：依圖設(shè)大小楔子水平位移分別為 且依水平方向動(dòng)量守恒： 對(duì)其積分得： 且有 代入上式得： 7．一炮彈以仰角發(fā)射，速率為，當(dāng)炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，爆炸成質(zhì)量分別為和的兩塊彈片。已知火藥爆炸的能量是。爆炸后的瞬時(shí)，兩彈片仍沿原方向飛行。求兩彈片落地時(shí)相隔的距離。 解：炮彈從空中降下的時(shí)間，在最高點(diǎn)處沿飛行方向動(dòng)量守恒。 設(shè)炸后的速率分別為。則有： 可解得： 則： 8．重量為的人，手里拿著一個(gè)重量為的物體，以與地平線成角度的速度向前跳出。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，將手中的物體以速率向后拋去。問(wèn)拋出物體后，人向前跳的距離增加多少？ 解：（同理）設(shè)拋去后，人的速率變?yōu)?，由于最高處水平方向?dòng)量守恒得： 解得： 故人向前增加的距離： 9．質(zhì)量為的物體沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的質(zhì)量為傾角為，置于光滑水平面上。求（1）物體水平方向的加速度；（2）劈的加速度；（3）劈對(duì)物體的反作用力和水平面對(duì)劈的反作用力。 解：如右圖所示，建立各方向矢量，設(shè)劈與物體間的與反作用力為，則： 則物體相對(duì)于尖劈的水平加速度： 在方向上，物體受與的作用： 依幾何關(guān)系： 解得： 代入式可得： 水平面對(duì)劈的反作用力 10．質(zhì)量為，半徑為的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿此半球面下滑。設(shè)質(zhì)點(diǎn)跟球心的連線與鉛直軸之間的夾角為。已知初始時(shí)系統(tǒng)是靜止的，求當(dāng)時(shí)，的值。 解：如右圖所示，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于半球的速度滿足： 在水平方向動(dòng)量守恒，聯(lián)立能量守恒得 可解得： 則： 11．質(zhì)量為的小珠A能在一水平光滑的滑軌上滑動(dòng)。另有一質(zhì)量也是的質(zhì)點(diǎn)B用無(wú)彈性的輕繩與A聯(lián)結(jié)，質(zhì)點(diǎn)B可以鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。已知繩長(zhǎng)為。初始時(shí)系統(tǒng)靜止，繩與鉛直線間的夾角為。證明：當(dāng)夾角時(shí)，有 解：證明，如右圖所示。知： 水平方向動(dòng)量守恒： 得： 又依能量守恒： 代入得： 得： 12．在光滑水平桌面上，有兩個(gè)質(zhì)量都是的質(zhì)點(diǎn)，用長(zhǎng)為的不可伸長(zhǎng)的輕繩聯(lián)結(jié)。今在其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用與繩垂直的沖量求證此后這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別作圓滾線運(yùn)動(dòng)，且它們的能量之比為，其中為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 證明：如右圖。由于水平光滑，依質(zhì)心定理與解動(dòng)量守恒得： 得： 分析可知： 則： 即兩質(zhì)點(diǎn)間的能量之比為。 13．質(zhì)量為的小環(huán)，穿在質(zhì)量為的光滑圓圈上，此體系靜止地平放在光滑的水平桌面上。今若突然使小環(huán)沿圓圈的切線方向有一速度。試證明圓圈將不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，而圓心則繞體系的持贈(zèng)作等速圓周運(yùn)動(dòng)。 證明：設(shè)圓圈半徑為，以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如右圖所示，且依質(zhì)心定理有。 由于沖量作用在圓圈切線方向，故：。即質(zhì)心不動(dòng)。 當(dāng)繞轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，有：并代入 得： 得： 即圓圈中心C作圓周運(yùn)動(dòng)。 由于小環(huán)動(dòng)時(shí)不受切向力作用，故： 而： 得： 即得：為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而依動(dòng)量守恒知圓圈無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)。 14 一長(zhǎng)為的勻質(zhì)鏈條，縣掛于釘在墻上的光滑釘子上。開始時(shí)，掛在釘子兩邊的鏈條長(zhǎng)度相同，處在平衡狀態(tài)，后因微小擾動(dòng)，鏈條自一邊滑下。耱在鏈條完全脫離釘子的時(shí)刻，鏈條的速度大小。 解：依機(jī)械能守恒可得： ， 故： 15長(zhǎng)為的勻質(zhì)鏈條，伸直地平放在光滑水平桌面上，鏈條與桌面的邊緣垂直。初始時(shí)，鏈條的一半從桌面下垂，鏈條的一半從桌面下垂，但處在靜止?fàn)顟B(tài)。求此鏈條的的末端滑到桌子邊緣時(shí)，鏈條的速度大小。 解：同上題：， 得： 16質(zhì)量為面積為的圓盤，盤心受一與平面垂直的恒力的作用，同時(shí)有一股體密度為的塵土以恒定的速度迎面而來(lái)，與盤面相遇的塵土皆粘于盤面上。已知圓盤的初速度為零。求時(shí)刻圓盤的速度及圓盤移動(dòng)過(guò)的距離。 解：取方向?yàn)?，即：，則依變質(zhì)量動(dòng)力方程： 得： 而： 求導(dǎo)得： 將代入得： 可化為： 積分并代入初始條件得： 再積分得（并代入時(shí)，）： 代入式可得： 第五章 剛體力學(xué) [解題演示] 如上圖所示. 第六章 分析力學(xué) 滾滾長(zhǎng)江東逝水，浪花淘盡英雄。達(dá)朗貝爾，拉格朗日，哈密頓等許多前賢相聚于此“力學(xué)論劍”，其“沖擊波”使非線性問(wèn)題也不攻自破。長(zhǎng)江后浪推前浪，你也許在此可以更加“得意忘形‘。微分方程將叱咤風(fēng)云。 [要點(diǎn)分析與總結(jié)] 1虛功原理：（平衡時(shí)） 理想條件下，力學(xué)系的平衡條件是各質(zhì) 點(diǎn)上的主動(dòng)力所作的虛功之和為零： 用廣義坐標(biāo)來(lái)表述： 2達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)力學(xué)下的虛功原理）： 〈析〉，均是在時(shí)間未變化（）時(shí)所設(shè)想的量，而廣義坐標(biāo)可以是角度，長(zhǎng)度或其它的獨(dú)立的坐標(biāo)變量。 3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏數(shù) 方程為： 若拉氏數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)，則： 即 循環(huán)積分： 4微振動(dòng) 非線性系統(tǒng)在小角度近似下，對(duì)拉氏方程的應(yīng)用 5哈密頓函數(shù)與正則方程 （1） 哈密頓函數(shù) 式中為廣義坐標(biāo)動(dòng)量 （2） 正則方程 若哈氏函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)，則： 即：循環(huán)積分 在穩(wěn)定條件下（H中不顯含），則有能量積分： 6泊松括號(hào) 7哈密頓原理與正則變換 （1）哈密頓原理 保守力系下： 定義：為主函數(shù) （3） 正則變換 通過(guò)某種變數(shù)的變換，找到新的函數(shù)，使正則方程的形式不變（相當(dāng)于坐標(biāo)變換）。 新的正則變量： 正則變換的條件： 依上亦可得： 為母函數(shù)，當(dāng) ，，不顯含時(shí)， 以上條件等于： 〈析〉：正則變換妙在不解方程而使問(wèn)題出解?！暗靡馔巍钡綐O點(diǎn)了。 [解題演示] 1． 一長(zhǎng)為質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，斜靠在固定的半球形碗的邊緣，一端置于碗內(nèi)，如圖。已知碗是光滑的，半徑為；棒在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為 。用虛功原理證明棒的全長(zhǎng)為。 解：如右圖所示，取定。依幾何關(guān)系知： 依余弦定理： 知：桿的勢(shì)能： 因靜平衡，應(yīng)用虛功原理得： 得： 兩邊平方并代入可解得： 2． 用繩子等距離地在定點(diǎn)O處懸掛兩個(gè)相同的勻質(zhì)球，兩球之上另放置一相同的球體，如圖。已知分別懸掛兩球的繩長(zhǎng)都是。用虛功原理求出角與角之間的關(guān)系。 解：依受力分析知 且： 則：依虛功原理達(dá)到平衡時(shí)有： 可得： 3． 用輕質(zhì)橡皮圈捆扎三個(gè)置于光滑水平桌面上的相同球體，捆扎的高度與還需心的高度相同。將第四個(gè)同樣的球體置于三球之上。由虛功原理求出橡皮圈中的張力。已知每個(gè)球體的重量為。 解：如右圖所示。取三個(gè)桌面上球的球心所在面，及四球心立體結(jié)構(gòu)可分析得： 皮周長(zhǎng)： 依虛功原理： 則依： 代入： 得： 4． 一彈性繩圈，它的自然長(zhǎng)度為，彈性系數(shù)為，單位長(zhǎng)度質(zhì)量（線密度）為。將此彈性圈套在一半徑為的光滑球面上，彈性圈因自重而下滑。用虛功原理法語(yǔ)出平衡時(shí)彈性繩圈對(duì)球心所張的角度為應(yīng)滿足的方程。 解：易知：繩伸長(zhǎng)量 以O(shè)為參照點(diǎn)，高度為： 化簡(jiǎn)得： 5． 一半徑為的半球形碗內(nèi)裝有兩個(gè)質(zhì)量分別為和的球體，它們的半徑同為（）。用虛功原理求出這兩個(gè)球體在碗中平衡時(shí)它們的連心線與水平線間的夾角 解：如右圖所示，以o為參照點(diǎn)，取， 與水平線角為。則有： 則： 代入 得： 6． 一輕桿長(zhǎng)為，一端光滑鉸鏈于固定點(diǎn)O，另一端點(diǎn)及中點(diǎn)分別焊接有質(zhì)量為和的小球。桿可在鉛直平面內(nèi)繞固定點(diǎn)擺動(dòng)。寫出此力學(xué) 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，并求出其作微小擺動(dòng)時(shí)的周期。 解：以O(shè)為參照點(diǎn)，取桿與豎直方向夾角為。則有： 拉氏函數(shù)： 解拉氏方程： 微振動(dòng)，取近似， 得： 積分： （A，B為積分常數(shù)） 則： 7． 一半徑為質(zhì)量為的圓柱形轱轆，其軸線沿水平方向。轱轆上繞有長(zhǎng)為的輕繩，繩的自由端系一質(zhì)量為的重物。初始時(shí)繩子完全繞在轱轆上，體系靜止。爾后重物下落帶動(dòng)轱轆轉(zhuǎn)動(dòng)。寫出此力學(xué)系列化的拉格朗日函數(shù)，并求出繩子完全釋放時(shí)轱轆轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的大小。 解：如右圖，取為轉(zhuǎn)過(guò)的角度，為下降的距離。有：。 取O為參照點(diǎn)： 則： 得： 積分得： 當(dāng)完全釋放（）時(shí)： 8． 上題中，如果繩子具有彈性，彈性勢(shì)能為，為繩子的伸長(zhǎng)證明重物的運(yùn)動(dòng)為維持恒定的加速運(yùn)動(dòng)上附加一角頻率為的振動(dòng)。其中。求出此種振動(dòng)的振幅。設(shè)初始時(shí)繩子完全繞在轱轆上，體系靜止，爾后釋放 解：參數(shù)同上題，則可得:;; 則： 可得： 即： 積分得： 式中 故： 即得恒定加速度值： 振動(dòng)角頻率： 振幅： 9． 力學(xué)系統(tǒng)如圖所示。二滑輪為相同的圓盤，半徑為質(zhì)量為。懸掛的重物質(zhì)量分別為和，且。初始時(shí)系統(tǒng)靜止（1）導(dǎo)出此力學(xué)系列化的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分別求出兩重物下降的速度與重物下落距離之間的關(guān)系。 解：如右圖。依幾何關(guān)系知： 得： 取作廣義坐標(biāo)有： 可得： 可得： 即得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程： 再對(duì)其進(jìn)行第一積分： 可積得： 10． 一質(zhì)量為，半徑為的小圓住體，置于一半徑為R的大圓柱面的內(nèi)側(cè)作純滾動(dòng)。寫出小圓柱體的拉格朗日函數(shù)，并求出在最低點(diǎn)附近小圓柱體作微小振動(dòng)時(shí)的周期 解：以O(shè)為參照點(diǎn)： 則： 得： 即： 11． 一質(zhì)量為，半徑為的小圓柱體，放在半徑為的另一大圓柱體上，大圓柱體則置于粗糙的水平面上。兩柱體的軸相互平等，質(zhì)心在同一豎直平面內(nèi)，初始時(shí)力學(xué)系統(tǒng)靜止。若以初始時(shí)大圓柱體的質(zhì)心為固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，證明此后的任意時(shí)刻小圓柱體的質(zhì)心坐標(biāo)為 解：由于純滾動(dòng)則： 得： 有： 則： 得： 所以： 點(diǎn)評(píng)：其實(shí)此類題用能量變分法有時(shí)更簡(jiǎn)單（對(duì)或關(guān)于變量的變分為零）。此題中：。 12． 小球1和小球2的質(zhì)量分別為和，用繩子相連，繩子穿過(guò)光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上運(yùn)動(dòng)，小球2則垂直懸掛在桌面下。寫出此力學(xué)系的拉格朗日函數(shù)和所有的第一積分。設(shè)繩長(zhǎng)為。 解：設(shè)到孔的距離為。以孔為參照點(diǎn)有： （此式中用到） （1）L中不含積分，循環(huán)積分： （2）能量表達(dá)式中不含，能量積分： 13． 長(zhǎng)為，質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，兩端分別用長(zhǎng)都為的輕繩垂直懸掛。今若突然將其中一根繩子剪斷，用拉格朗格日方程求出棒下落的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解：參量及坐標(biāo)如右圖所示。則： 故： 得拉氏方程： 微分方程為： 14． 一半徑為，質(zhì)量為的圓環(huán)，用三根長(zhǎng)度都為的無(wú)彈性輕繩在等弧點(diǎn)處水平懸掛，成一扭擺，如圖所示。求此扭擺繞中心鉛直軸扭轉(zhuǎn)的微振動(dòng)周期T。 解：易分析得： （用到） 得： 15． 如圖所示的耦合擺，若兩擺錘的質(zhì)量不同，分別為和。求此耦合擺的本征頻率。初始條件為時(shí)，，僅第一個(gè)擺有微小偏移，求第二個(gè)擺可能達(dá)到的最大擺幅。當(dāng)?shù)诙€(gè)擺的擺動(dòng)最大時(shí)，第一個(gè)擺的擺幅是否為零？ 解： 經(jīng)泰勒展開： 關(guān)于與的拉氏方程為： 令 代入得： ，有解的條件： 可解出： 且：。則與通解為： 式中 代入時(shí)，可解出： 且令： 則： 第二個(gè)擺的最大擺幅： 此時(shí)： 則有： 16． 擺長(zhǎng)為，擺捶質(zhì)量為的兩個(gè)相同單擺串接成為一個(gè)雙擺，如圖。求此雙擺在鉛直平面內(nèi)作微振動(dòng)時(shí)的各個(gè)本征頻率。 解：易知： （，如右圖） 則： 可得拉氏方程： 設(shè)： 可得： 有非零解條件： 易得： 所有本征頻率為： 17． 兩質(zhì)量為和另一個(gè)質(zhì)量為的球體用兩根勁度系數(shù)都為的輕質(zhì)彈簧沿一直線串接，如圖.求出體系的微振動(dòng)本征頻率 解:取彈簧所在方向建立坐標(biāo)系，且取參量如右圖。有： 依振動(dòng)特點(diǎn)，取簡(jiǎn)正坐標(biāo)： 代入上式得： 得拉氏方程： 設(shè)得： 方程有非零解的條件： 可解得： 18． 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在一光滑錐面的內(nèi)壁上運(yùn)動(dòng)。錐體的半頂角為，錐體口朝上。以質(zhì)點(diǎn)離錐體頂點(diǎn)的距離及圍繞錐體軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為廣義坐標(biāo)，寫出質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函數(shù)；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞錐體軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大時(shí)，可以繞軸作穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)？ 解：此系統(tǒng)為保守系，參照如右圖所示。則： 定義廣義動(dòng)量： 得： 則： 得： 聯(lián)： 當(dāng)穩(wěn)定時(shí)：，此時(shí)： 代入： 可解得： 19． 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。以球坐標(biāo)，和為質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，寫出此質(zhì)點(diǎn)的哈密頓函數(shù)。哪些廣義坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)？并寫出相應(yīng)的循環(huán)積分。 解：如右圖取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，取參數(shù)如圖.則: 則:哈密頓函數(shù)為: 廣義動(dòng)量坐標(biāo): 得： 代入H得： 上式中不含，故為循環(huán)坐標(biāo)故： 20． 寫出對(duì)稱陀螺絲繞其頂點(diǎn)O作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的哈密頓量。設(shè)陀螺關(guān)于對(duì)稱軸及橫軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I,.質(zhì)心離項(xiàng)點(diǎn)的距離為. 解:依題參數(shù)如右圖則有: 則: 可得: 則： 21． 力學(xué)量A，B和C都是體系正則變量的函數(shù)，證明它們的泊松括號(hào)存在如下關(guān)系： ；； 解：證明： （1） （2） （3） 22． 證明，任何正則變量的函數(shù)，，存在如下關(guān)系： 證明：（1） 得： （2） 得： 23． 證明一質(zhì)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位矢，動(dòng)量和角動(dòng)量的直角坐標(biāo)分量存在如下關(guān)系： ； ； ； ； ； ： 證明： 可得： （1） （2） （3） 24． 試問(wèn)變換是正則變換嗎？ 解：因?yàn)椋? 則： 即：是正則變換 25． 取母函數(shù)，求出正則變換關(guān)系。 解： 26． 試證變換為一正則變換。 證明： 27． 證明，變換關(guān)系為一正則變換。 證明：依， 可得： 28． 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)豎直上拋，寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的哈密頓函數(shù)。利用母函數(shù)作正則變換，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。其中為質(zhì)點(diǎn)上拋的距離，為“新廣義坐標(biāo)”；在初始時(shí)刻。 解： 則： 得： 定義新的哈氏函數(shù)得： 則有： 積分得： （A，B為常數(shù)） 代入原哈氏函數(shù)得： 代入時(shí)。 即可得：