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第六章 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué) 圖s6.1 思6.1答：這個(gè)說(shuō)法不對(duì)。應(yīng)注意質(zhì)心是空間的一個(gè)位置矢量為的幾何點(diǎn)，質(zhì)心速度為幾何點(diǎn)的速度，并不是位于質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)的速度。為固定點(diǎn)，只說(shuō)明位于的質(zhì)點(diǎn)速度為零，此時(shí)質(zhì)心速度并不為零。 思6.2答：從本質(zhì)上說(shuō)， 質(zhì)心是一個(gè)空間幾何點(diǎn)，不是一個(gè)具有一定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)。另一方面，我們?yōu)榱耸官|(zhì)點(diǎn)組整體運(yùn)動(dòng)的圖像比較清晰和簡(jiǎn)化動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能的計(jì)算，我們假想一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)心，具有速度。這個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它的動(dòng)量即為質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量，它對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量為，并具有動(dòng)能。引入假想質(zhì)點(diǎn)是一種手段，它不反映問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，所以并不意味著真有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)心。 思6.3解：系統(tǒng)質(zhì)心即為球心，按定義可知系統(tǒng)總動(dòng)量 圖s6.4 思6.4答：由于半圓柱在水平方向不受力，質(zhì)心的初速度為0，所以質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條沿豎直方向的直線。 圖s6.5 思6.5答：初始時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸的總動(dòng)量，從開(kāi)始跑動(dòng)后，人繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為，盤(pán)則沿相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度。圓盤(pán)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后，系統(tǒng)受軸承施與的摩擦力矩(系統(tǒng)所受其余外力對(duì)軸力矩均為零)。在外力矩的作用下，系統(tǒng)動(dòng)量矩由零開(kāi)始逐漸增大，到人停止跑動(dòng)之時(shí)，達(dá)最大值。人在停止跑動(dòng)過(guò)程中，圓盤(pán)也逐漸停止轉(zhuǎn)動(dòng)，人停止跑動(dòng)后，人與盤(pán)一起將繼續(xù)沿人跑動(dòng)的方向繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。人停止跑動(dòng)后，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向改變了，所以受到的摩擦力矩的方向也變?yōu)?，這時(shí)系統(tǒng)在外力矩的作用下，總角動(dòng)量逐漸減小而趨向于零，因此，人與圓盤(pán)一起將逐漸趨于靜止。 思6.6答： 由于圓盤(pán)與軸間的相互作用比較復(fù)雜, 把軸包括在質(zhì)點(diǎn)組內(nèi), 這樣軸和盤(pán)之間的相互作用就可看作是內(nèi)力。 思6.7答：當(dāng)軸承處無(wú)摩擦力時(shí)，系統(tǒng)所受外力對(duì)軸力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒。所以人走盤(pán)動(dòng)，人停盤(pán)停。 思6.8答：這兩者并不矛盾。 以人、盤(pán)、軸為質(zhì)點(diǎn)組。質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量的變化與內(nèi)力無(wú)關(guān)， 但質(zhì)點(diǎn)組間的各質(zhì)點(diǎn)之間可以進(jìn)行動(dòng)量變換。人與盤(pán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變即是由人與盤(pán)之間的動(dòng)量變換引起的，而質(zhì)點(diǎn)組間各質(zhì)點(diǎn)之間的動(dòng)量變換是由質(zhì)點(diǎn)組的內(nèi)力引起的。 思6.9證：由 可知 對(duì)慣性系中的任一固定點(diǎn)， 均等于質(zhì)點(diǎn)組在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量。 圖s6.10 思6.10答：這種說(shuō)法不對(duì)。嚙合之后，輪1的角速度，而輪2的角速度，轉(zhuǎn)動(dòng)方向不同，在計(jì)算系統(tǒng)角動(dòng)量時(shí)，要對(duì)同一條軸線進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)注意軸矩為代數(shù)量，故嚙合后系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量為?？梢?jiàn)角動(dòng)量不守恒，在嚙合過(guò)程中總角動(dòng)量由變?yōu)?，變化的原因是在嚙合過(guò)程受到外力矩的作用。應(yīng)注意在計(jì)算外力矩時(shí)，也必須對(duì)計(jì)算角動(dòng)量的同一條軸線進(jìn)行計(jì)算。在嚙合時(shí)，輪1和輪2的接觸部分有力相互作用，所以此時(shí)輪軸對(duì)輪的支持力不再沿鉛直方向，向左，向右偏斜，因此在嚙合過(guò)程中，對(duì)軸的力矩為一負(fù)數(shù)，正是在這個(gè)外力矩的作用下，系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量由變?yōu)榱恪? 思6.11證：以兩球及桿為系統(tǒng)，質(zhì)心位于桿的中點(diǎn)。 初始時(shí)，球1速度為，球2靜止，故初始時(shí)質(zhì)心速度，由于系統(tǒng)所受外力矢量和為零，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知質(zhì)心 圖s6.11 以作勻速直線運(yùn)動(dòng)。因?yàn)橄到y(tǒng)所受對(duì)質(zhì)心的外力矩矢量和為零，根據(jù)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理可知系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為常矢量 其中為小球質(zhì)量，為桿長(zhǎng) 所以系統(tǒng)繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度為常矢量，；而且與之間滿足關(guān)系式。因此小球的運(yùn)動(dòng)情況與半徑為，輪心速度為，沿直線軌道作無(wú)滑動(dòng)的車(chē)輪邊緣上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同，故小球的軌跡為旋輪線。 思6.12答：不是。這個(gè)摩擦力對(duì)自行車(chē)不做功，因?yàn)闊o(wú)滑動(dòng)。 思6.13答：不能成立。因一般的動(dòng)坐標(biāo)系不具有質(zhì)心系的特點(diǎn) （平動(dòng)） 和 （原點(diǎn)為質(zhì)心） 圖s6.14 思6.14答：系統(tǒng)為小球和桿，系統(tǒng)受的外力有小球的重力，桿的重力，水平軸在點(diǎn)對(duì)桿的約束力。一般情況下系統(tǒng)在點(diǎn)所受外力不沿鉛直方向，所以系統(tǒng)所受外力的矢量和不為零，所以動(dòng)量不守恒，沿水平方向動(dòng)量也不守恒。 在碰撞的一瞬間，可以認(rèn)為小球和桿受到的重力作用線通過(guò)點(diǎn)，所以系統(tǒng)所受對(duì)點(diǎn)的外力矩矢量和為零，因此系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。 因碰撞是完全彈性碰撞，所以碰后小球與桿均不變形，系統(tǒng)內(nèi)力做功之和為零，碰撞過(guò)程中外力（與重力）均不做功，可見(jiàn)系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 圖s6.15 思6.15答：上述看法不對(duì)。點(diǎn)原來(lái)有速度，在外力的作用下，要使點(diǎn)速度為零，則點(diǎn)在外力的方向上一定有位移。一般很小，但很大，不能忽略，在本題討論的極限情況下， ，但仍有。因此桿的機(jī)械能不守恒。