2016考研數(shù)學(xué)二模擬題及答案.doc
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2016年考研數(shù)學(xué)模擬試題(數(shù)學(xué)二) 參考答案 一、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分,每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項的字母填在題后的括號內(nèi)) 1.設(shè)是多項式的最小實根,則(). (A)(B)(C)(D) 解 選擇A. 由于,又是多項式的最小實根,故. 2.設(shè) 則函數(shù)在點(). (A)取極大值(B)取極小值(C)可導(dǎo)(D)不可導(dǎo) 解 選擇D. 由極限的保號性知,存在,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在點不取極值. ,所以在點不可導(dǎo). 3.設(shè)連續(xù),且滿足,則(). (A) (B) (C) (D) 解 選擇B. 由題設(shè)知 . 4.微分方程的特解形式為(). (A) (B) (C) (D) 解 選擇D. 特征方程,特征根,是特征根,特解形式為 . 5. 設(shè)函數(shù)連續(xù),則下列函數(shù)中,必為偶函數(shù)的是(). (A) (B) (C) (D) 解 選擇C. 由于為奇函數(shù),故為偶函數(shù). 6. 設(shè)在全平面上有,,則保證不等式成立的條件是( ) (A),. (B),. (C),. (D),. 解 選擇A. 關(guān)于單調(diào)減少, 關(guān)于單調(diào)增加, 當(dāng),時,. 7.設(shè)和為實對稱矩陣,且與相似,則下列結(jié)論中不正確的是(). (A)與相似 (B) 與合同 (C) (D) 解 選擇D. 與相似可以推出它們的多項式相似,它們的特征多項式相等,故A,C正確,又和為實對稱矩陣,且與相似,可以推出與合同,故B正確. 8. ,,為維列向量,則有(). (A)當(dāng)時,方程組有解 (B)當(dāng)時,方程組有唯一解 (C)當(dāng)時,方程組有唯一解 (D)當(dāng)時,方程組有無窮多解 解 選擇A. 當(dāng)時,,方程組有解. 二、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分,把答案填在題中橫線上) 9. . 解 答案為. 10設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),,則 . 解 答案為. 11.設(shè)微分方程的通解為,則 . 解 答案為. 將代入微分方程,得,故. 12.數(shù)列中最大的項為 . 解 答案為. 【將數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題,以便利用導(dǎo)數(shù)解決問題】 設(shè),, 時,,單調(diào)增加,故時,遞增,最大, 時,,單調(diào)減少,故時,遞減,最大, 又,數(shù)列的最大項為. 13.方程在區(qū)間內(nèi)的實根個數(shù)為 . 解 答案為. 令,, 由零點定理知,此方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根,又,單調(diào)增加,故此方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根. 14.設(shè)階矩陣的秩為,是非齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解,則的通解為 . 解 答案為,為任意常數(shù). 是非齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解,則是的兩個解,且它們線性無關(guān),又,故是的基礎(chǔ)解系,所以的通解為. 三、解答題(本題共9小題,滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15. (本題滿分9分)求極限 解 16. (本題滿分9分)設(shè)單調(diào)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),滿足,求可導(dǎo)函數(shù). 解 ,,代入方程,得, 即,解得,其中為任意常數(shù). 17. (本題滿分9分) 計算積分 解 畫出二重積分區(qū)域,是的第一象限部分,由對稱性,得 18. (本題滿分11分) 求微分方程滿足初始條件,的特解. 解 令,代入原方程,得 ,,,, 由,得, ,,即, 故, 由得,所以. 19. (本題滿分11分) 設(shè)和在區(qū)間可導(dǎo),并設(shè)在內(nèi),證明在內(nèi)至多存在一點,使得. 證 設(shè),則. 若在內(nèi)存在兩個不同的點,使得, 則由羅爾定理知,至少存在一點介于之間,使, 即,于是有,與題設(shè)矛盾, 故在內(nèi)至多存在一點,使得. 20. (本題滿分11分) 設(shè)有拋物線:,試確定常數(shù)的值,使得 ⑴與直線相切; ⑵與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大. 解 設(shè)切點為,, 切線斜率, 代入切線方程,得.⑴ 又旋轉(zhuǎn)體體積, ,解得或者,, ,故時,體積最大, 將代入⑴得,所以,. 21.(本題滿分11分) 一質(zhì)量為的物體以速度從原點沿軸正方向上升,假設(shè)空氣阻力與物體的運動速度平方成正比(比例系數(shù)),試求物體上升的高度所滿足的微分方程及初始條件,并求物體上升的最大高度. 解 根據(jù)牛頓第二定律,物體上升的高度所滿足的微分方程為 , 初始條件為. 代入方程,得,, 記,,, 積分得,時,,故, , 令,得上升到最高點的時間為 , 上升的最大高度為. 22. (本題滿分11分) 設(shè). ⑴當(dāng)滿足什么條件時,可由線性表示,且表示式唯一? ⑵當(dāng)滿足什么條件時,可由線性表示,且表示式不唯一?并求出的表示式. 解 設(shè) ⑴,其增廣矩陣 ⑴當(dāng)時,,方程組⑴有唯一解,即可由線性表示,且表示式唯一. ⑵當(dāng)時,, 故當(dāng)時,,方程組⑴有無窮多解,即可由線性表示,且表示式不唯一, ,同解方程組為, 通解為, 故的表示式為,其中為任意常數(shù). 23. (本題滿分11分) 設(shè)為階矩陣,可逆,且,證明: ⑴若是的特征向量,則也是的特征向量; ⑵若有個不同的特征值,是的特征向量,則也是的特征向量. 證 ⑴證 設(shè),則,故也是的特征向量 ⑵由有個不同的特征值知,的每個特征值只對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量,又是對應(yīng)同一個特征值的特征向量,故它們線性相關(guān),故存在常數(shù),使得,故也是的特征向量.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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