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湘教版初二數(shù)學(xué)期末總復(fù)習(xí)——幾何部分 一. 教學(xué)內(nèi)容： 期末總復(fù)習(xí)——幾何部分 二. 教學(xué)目標(biāo)： 1. 通過復(fù)習(xí)，系統(tǒng)地了解本學(xué)期所學(xué)的幾何知識，鞏固和掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，并會靈活運(yùn)用定理判定三角形全等，逐步訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行判斷推理論證的能力。 2. 通過復(fù)習(xí)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理和直角三角形全等的判定，牢固掌握基本概念和性質(zhì)定理及判定定理，解決較為復(fù)雜的幾何問題，復(fù)習(xí)作三角形知識，鞏固五種基本尺規(guī)作圖，訓(xùn)練學(xué)生用作圖語言表述數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。 三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵 重點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)與三角形全等的判定。 難點(diǎn)：靈活選擇三角形全等的判定定理，進(jìn)行推理論證。 關(guān)鍵：會分析三角形中的邊與角的關(guān)系來選擇判定方法。 四. 方法指導(dǎo)： 1. 理解旋轉(zhuǎn)定義可以從三個(gè)“一”下手，即“一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)方向，一個(gè)角度”。 2. 對生活中的圖案，運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的觀點(diǎn)分析其形成過程，關(guān)鍵是在圖案中找到“基本圖案”，并運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的組合進(jìn)行變化、檢驗(yàn)是否形成給出圖案。 3. 找對應(yīng)邊、對應(yīng)角常有以下六種方法： （1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊。 （2）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。 （3）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊。 （4）有公共角的，公共角是對應(yīng)角。 （5）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角。 （6）兩個(gè)全等三角形中，一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。 4. 利用全等三角形證明線段相等或角相等的思路是： （1）觀察線段或角在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。 （2）分析要證全等的兩個(gè)三角形，已知什么條件，還缺什么條件。 （3）設(shè)法得證所缺條件。 （4）當(dāng)待證線段或角不分布在兩個(gè)三角形中，可考慮添加輔助線。 5. 利用勾股定理解決問題須滿足兩個(gè)特征： （1）在直角三角形中。 （2）已知兩邊，求第三邊或第三邊的平方。 用勾股定理計(jì)算線段的長，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用，在沒有現(xiàn)成的直角三角形時(shí)，要善于構(gòu)造直角三角形。 6. 作圖題的基本步驟一般有：已知、求作、作法等步驟。 已知事項(xiàng)中需寫出并畫出已知的圖形。 求作事項(xiàng)中需寫出求作什么圖形及這個(gè)圖形符合什么條件。 作法事項(xiàng)中需寫出應(yīng)用基本圖形求作所作圖形的過程，同時(shí)在圖中保留基本作圖痕跡。 7. 證明一般的兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。 直角三角形除了上述方法外還有一種：HL。 【典型例題】 1. 復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)和圖案設(shè)計(jì)： 例1. 如圖△ABC和△ACD都是等邊三角形，其△ACD是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的，指出旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)，∠B和∠ACB的對應(yīng)角，線段AB、BC、AC的對應(yīng)線段。 分析：旋轉(zhuǎn)的定義包括“一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)方向，一個(gè)角度”，所以首先應(yīng)確定旋轉(zhuǎn)中心，由△ABC旋轉(zhuǎn)到△ACD，既可以以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，又可以以C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且兩種旋轉(zhuǎn)的角度都是60。 解：分兩種情況回答題中問題： （1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為A點(diǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為∠BAC=60，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、D，∠B、∠ACB的對應(yīng)角分別是∠ACD、∠D，線段AB、BC、AC對應(yīng)線段是AC、CD、AD。 （2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為C點(diǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為∠BCA=60，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)是A、C，∠B、∠ACB的對應(yīng)角分別是∠CAD、∠ACD，線段AB、BC、CA的對應(yīng)線段分別是DA、AC、CD。 小結(jié)：注意分兩種情況時(shí)，分別要搞清旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。 例2. 如圖所示的圖案可以看作是由一個(gè)菱形通過幾次旋轉(zhuǎn)得到的，試分析：它是由哪一個(gè)菱形怎樣旋轉(zhuǎn)得到的美麗圖案？ 分析：此圖案由六個(gè)同樣的菱形組成，它可以看作是由“基本圖形”菱形旋轉(zhuǎn)得到的，由于每個(gè)菱形的公共部分是菱形的一個(gè)頂點(diǎn)O，故此點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，每次旋轉(zhuǎn)的角度為 解：這個(gè)圖案是由一個(gè)菱形按順時(shí)針方向（或逆時(shí)針方向）繞它的一個(gè)頂點(diǎn)O以每次旋轉(zhuǎn)60，連續(xù)旋轉(zhuǎn)五次得到的。 小結(jié)：現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到一些美麗的圖案，常常是由一些“基本圖案”經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸反射變換得到，要求會分析、觀察和欣賞圖案，會找“基本圖案”并進(jìn)行創(chuàng)作活動。 2. 復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)： 例3. 有同樣粗細(xì)，同種材料的金屬線，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，如下圖所示：△ABC和△DEF，已知：∠B=∠E，AC的質(zhì)量為25kg，求DF的質(zhì)量。 分析：因?yàn)闃?gòu)造的兩個(gè)三角形△ABC和△DEF是全等的，利用全等三角形的性質(zhì)，又已知構(gòu)造三角形的金屬線是同樣粗細(xì)，同種材料，又對應(yīng)邊長度相等，所以對應(yīng)邊質(zhì)量也相等。 解： ∴∠B與∠E是對應(yīng)角 ∵AC與DF為對應(yīng)邊（對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊） ∴DF=AC ∴DF的質(zhì)量等于AC邊的質(zhì)量25kg ∴DF的質(zhì)量為25kg 3. 復(fù)習(xí)三角形全等的判定 例4. 在△ABC和△ADC中，下列三個(gè)條件： （1）AB=AD（2）∠BAC=∠DAC（3）BC=DC將其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成數(shù)學(xué)語句，寫出能夠由條件得出結(jié)論的句子是_____________________________。 分析：由題意畫出圖形如圖示，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)可知： 如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC，依據(jù)SAS定理說明△ABC≌△ADC可得出BC=DC。 如果AB=AD，BC=DC，AC=AC，依據(jù)SSS定理，可得△ABC≌△ADC，從而可得∠ABC=∠ADC。 如果BC=CD，∠BAC=∠DAC，AC=AC，不能說明△ABC≌△ADC，不能得出AB=AD，因?yàn)橛袃蛇厡?yīng)相等，且一組邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。 解答：（1）在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC （2）或在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，BC=DC，那么∠BAC=∠DAC 小結(jié)：判定三角形全等時(shí)會分析邊與角的關(guān)系，選擇判定方法更需尋找隱含對應(yīng)元素，通常找對應(yīng)元素有幾個(gè)規(guī)律： （1）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊 （2）有公共角的，公共角是對應(yīng)角 （3）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角 （4）兩個(gè)全等三角形，最大的邊（角）是對應(yīng)的邊（角），最小的邊（或角）是對應(yīng)的邊（或角）。 （5）平行線構(gòu)成的同位角或內(nèi)錯(cuò)角是對應(yīng)角。 4. 復(fù)習(xí)直角三角形的判定與性質(zhì)： 例5. 在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E 求證：∠A=2∠1 分析1：本題是證明角的倍數(shù)問題，通常的方法是大角折半法，因此此題要證明的是∠A=2∠1，只需作出2∠1，或∠A，考慮到“AB=AC”，作BC邊上的高AD問題便可迎刃而解。 證法1：作AD⊥BC于D 在Rt△ABD與Rt△ACD中 分析2：此題還可以利用小角加倍的方法證明角的倍數(shù)問題。 證法2：在AE上取點(diǎn)F，使EF=EC， 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理： 5. 復(fù)習(xí)勾股定理： 例6. 如圖甲，已知△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。 分析：此題是求∠BPC的度數(shù)，直接計(jì)算∠BPC比較困難，因此此題我們考慮用分角的方法，分出什么樣的特殊角呢？我們通常是分出30，45，60角這樣的特殊角，此題我們考慮把∠BPC分割成有45的特殊角的方法即作CE⊥PC，取CE=CP，即得∠CPE=45，此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化到△PEB中，通過計(jì)算三邊，判斷是否為直角三角形，因PB=1已知，所以只需求出PE、EB的長度，再用勾股定理驗(yàn)證△PEB是否為直角三角形。 解：如圖乙，過C作CE⊥CP，并截取CE=CP=2 連結(jié)BE、PE ∴△PBE為直角三角形 6. 復(fù)習(xí)作三角形 例7. 已知：線段a 求作：等腰直角三角形ABC，使BC=AC，AB=a 分析：先作草圖，假設(shè)所求圖形已作出，分析圖形中的已知邊與角對應(yīng)的位置，并確定起始步驟作線段AB=a，但C的位置由已知條件無法直接得到，此時(shí)分析圖形性質(zhì)，等腰三角形底邊上的高和中線重合，即點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，且又由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故在AB的垂直平分線上可定出點(diǎn)C的位置，從而作出△ABC。 作法： （1）作線段AB=a （2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于O ∴△ABC即為所求作的三角形。 小結(jié)：綜合作圖題的步驟是由基本尺規(guī)作圖組成，作圖語言要求語句得當(dāng)，語言規(guī)范，具有可操作性，不能想當(dāng)然地寫出作法。 7. 復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)和判定 例8. 如圖，在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE是∠ACB的平分線D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD=20，求∠ADE的度數(shù)。 分析：由已知條件∠ABC=100，∠CBD=20可以計(jì)算出∠ABD=80，∠ABC的外角也是80，即BA平分∠DBF，又CE平分∠ACB，故可過E作AC、BC及BD的垂線，由角平分線性質(zhì)定理及逆定理可知DE平分∠ADB，又∠ADB=∠DCB＋∠DBC=40，從而可求出∠ADE的度數(shù)。 解：過E作EM⊥BD于M，EN⊥AD于N，EP⊥CB交CB的延長線于P。 ∴EM=EP（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等） 同理EP=EN ∴EM=EN（等量代換） ∴ED平分∠ADB（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上） （三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和） 小結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用角平分線的性質(zhì)及判定求解。 總結(jié)：本節(jié)課我們借助例題的形式復(fù)習(xí)了本學(xué)期所學(xué)過的幾何部分的各個(gè)知識點(diǎn)，在復(fù)習(xí)的過程中我們還介紹了以下幾種解決幾何問題的相關(guān)方法： （1）找全等三角形中對應(yīng)元素的方法 （2）利用大角折半法和小角加倍法證明角的倍數(shù)問題 （3）利用分特殊角法求角的度數(shù) （4）利用奠基法作三角形以及其它圖形 （5）添加輔助線，利用角平分線的性質(zhì)和判定 希望同學(xué)們在今后解決幾何問題時(shí)，根據(jù)老師在以前的講座和今天的講座中所介紹的方法，靈活地運(yùn)用這些方法，使自己的解題方法更巧妙，更靈活，思路更清晰。 【模擬試題】（滿分100分，時(shí)間120分鐘） 一. 填空題（每小題3分，共30分） 1. 的立方根的負(fù)倒數(shù)是__________。 2. 若a是的小數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則__________。 3. 已知一次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A（），B（），若，則，則k__________0。 4. 計(jì)算__________ 5. 數(shù)軸上的點(diǎn)與__________是一一對應(yīng)關(guān)系。 6. 一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________。 7. 已知直角三角形一銳角是30，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是__________。 8. 已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為，則EF邊上的高的長為__________cm。 9. 在中，斜邊AB上的垂直平分線交直角邊BC于D，交AB于E，且BC=4cm，AC=3cm，則△ADC的周長為__________cm。 10. 將一批數(shù)據(jù)分成5組，列出頻率分布表，其中第一組的頻率為0.2，第4組和第5組的頻率之和是0.4，則第2組與第3組的頻率之和為__________。 二. 選擇題（每小題3分，共30分） 11. 若則的值是（ ） A. 2或0 B. 2 C. 0 D. 以上答案都不對 12. 點(diǎn)P與Q（4，-6）關(guān)于x軸成軸反射，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. （4，-6） B. （-4，-6） C. （4，6） D. （-4，6） 13. 要使成立，則m的取值（ ） A. B. C. D. 一切實(shí)數(shù) 14. 某數(shù)的兩個(gè)平方根是和，那么這個(gè)數(shù)是（ ） A. 4 B. 7 C. –7 D. 49 15. ，則等于（ ） A. –1 B. 0 C. 1 D. –5 16. 如圖，線段AB的解析式是（ ） A. B. C. D. 17. 若函數(shù)，函數(shù)，且，則（ ） A. y是x的正比例函數(shù) B. y是x的一次函數(shù) C. y不是x的正比例函數(shù) D. y不是x的一次函數(shù) 18. 如圖在△ABC中，AB=AC，∠A=120，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，則EB：EA=（ ） A. 2：1 B. 3：1 C. 4：1 D. 5：1 19. 如圖∠BAC=30，P為∠BAC平分線上一點(diǎn)，PM//AC，PD⊥AC，如果AM=8cm，則PD等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 20. 線段AB順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90到A’B’，則線段AB與線段A’B’的位置關(guān)系是（ ） A. 互相垂直 B. 互相平行 C. 重合 D. 無法確定 三. 已知一斜邊和一銳角，求作直角三角形（4分） 四. 計(jì)算題 （4分） 五. 解答題（每小題5分，共10分） 1. 一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，與直線的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1。 求：（1）這個(gè)一次函數(shù)的解析式。 （2）這個(gè)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。 （3）用圖象法求方程組的解。 2. △ABC中，∠C=90，∠CAB=2∠B，AD平分∠CAB，，求DC的長。 六. 如圖，已知，M是AC邊中點(diǎn)，AD⊥BM交BC于D，交BM于E 求證：（8分） 七. 已知紅鳥服裝廠現(xiàn)有A種布料70m，B種布料52m，現(xiàn)計(jì)劃用兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號的時(shí)裝80套，已知做一套M型號的時(shí)裝需用A種布料0.6m，B種布料0.9m，可獲得利潤45元，做一套N型號時(shí)裝需用A種布料1.1m，B種布料0.4m，可獲利潤50元，若生產(chǎn)N型號的時(shí)裝套數(shù)為x，用這批布料生產(chǎn)兩種型號的時(shí)裝所獲得總利潤y元， （1）求y（元）與x（套）的函數(shù)關(guān)系式并求自變量x的取值范圍。 （2）紅鳥服裝廠在生產(chǎn)這批時(shí)裝中，當(dāng)N型號的時(shí)裝為多少套時(shí)所獲利潤最大？最大利潤是多少？（8分） 八. 某校為了解一個(gè)年級的學(xué)習(xí)情況，在這個(gè)年級抽取50名學(xué)生，對某學(xué)科進(jìn)行測試，將所得成績（成績均為整數(shù)）整理后，列出頻率分布表如下表。 （1）這次測試80分以上的學(xué)生（包括80分）有多少？ （2）本次測試50名學(xué)生成績的不及格率為多少？ （60分以下為不及格，不包括60分） （3）畫出頻數(shù)分布直方圖。 （4）你能從頻數(shù)分布直方圖中獲取什么信息？（6分） 分組 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5 頻率 0.04 0.04 0.16 0.34 0.42 【試題答案】 一. 1. 2 2. 3. k<0 4. 5. 實(shí)數(shù) 6. 4.5 7. 8. 6 9. 7 10. 0.4 二. 11. 或0 ∴選（A）。 12. C 13. D 14. D 15. A 16. A 17. A 18. B 19. 過P作PE⊥AB于E ∵AP是∠BAC的角平分線，PD⊥AC，PE⊥AB ∴PD=PE ∵在中， ∴選C 20. A 三. 略 四. 原式 五. 1. 設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為： ∵這個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2 ∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ∴M（2，5） 又∵它與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 ∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為： ∴N（1，1） 的圖象經(jīng)過M（2，5），N（1，1） 解之得： ∴一次函數(shù)的解析式為 （2） 解：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A（，0），B（0，-3） （3）圖象略，其解為（） 2. 解： 即 在中， 即 解之得 六. 證明：作∠BAC的角平分線交BM于G ∴在△AGB與△ADC中 在 七. 解：（1） 即 ∵x取整數(shù)且 ∴x取值為40，41，42，43，44 （2）當(dāng)時(shí)， y取最大值為3820元。 八. （2）人 （2）4% （3）略 （4）略