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人教A版必修23.3.3《點(diǎn)到直線的距離》教學(xué)設(shè)計 一、設(shè)計思想 依據(jù)現(xiàn)代幾何教育理念，本課的設(shè)計思路：直觀感知（圖片欣賞）→操作確認(rèn)（學(xué)生作圖）→推理論證（三種方法推導(dǎo)公式）→度量計算（例題練習(xí)）。兩個原則：（1）樹立發(fā)展學(xué)生為本的思想，通過構(gòu)建以學(xué)習(xí)者為中心，有利于學(xué)生主體精神，創(chuàng)新能力健康發(fā)展的寬松的教學(xué)環(huán)境，提供學(xué)生自主探索的機(jī)會，親身參與公式的的探究過程；（2）堅持協(xié)同創(chuàng)新原則，把教材創(chuàng)新、教法創(chuàng)新及學(xué)法創(chuàng)新有機(jī)地統(tǒng)一起來。 首先是教材創(chuàng)新，新課標(biāo)下的教材執(zhí)行賦予教師更大的創(chuàng)新空間。通過創(chuàng)設(shè)問題情景自然引入課題，降低教材難度。主要由學(xué)生去探究，去發(fā)現(xiàn)，去討論，去歸納總結(jié)得到公式，再輔以適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題幫助學(xué)生熟悉公式，學(xué)會運(yùn)用 其次是教法創(chuàng)新。采用多種教學(xué)方法的有機(jī)結(jié)合，既有啟發(fā)式、類比發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方法，又有探究式及情感教學(xué)法。 最后是學(xué)法創(chuàng)新。在整個學(xué)習(xí)過程中，在問題的引導(dǎo)下，讓學(xué)生保持強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，通過觀察、分析、歸納來獲取知識，有意識地創(chuàng)造學(xué)生感興趣的氛圍，使學(xué)生全身心地投入到學(xué)習(xí)中去，成為學(xué)習(xí)的主人。 二、教材分析 本節(jié)對“點(diǎn)到直線的距離”的認(rèn)識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了高中解析幾何的定量計算，其學(xué)習(xí)平臺是學(xué)生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識．對本節(jié)的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用．在解決實際生活問題中以及代數(shù)、解析幾何、立體幾何中都有著重要而廣泛的應(yīng)用。而更為重要的是：通過認(rèn)真設(shè)計這一節(jié)教學(xué)，能使學(xué)生在探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊(yùn)涵于公式推導(dǎo)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會利用化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問題，同時培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)興趣和良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。 三、學(xué)情分析 （1）知識能力狀況，本節(jié)為兩線位置關(guān)系的最后一個內(nèi)容，在這之前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，有對兩線位置關(guān)系的定性認(rèn)識和對兩線相交的定量認(rèn)識，為本節(jié)推證公式涉及到直線方程、兩線垂直、兩線交點(diǎn)作好了知識儲備。同時學(xué)生對解析幾何的實質(zhì)中，用坐標(biāo)系溝通直線與方程的研究辦法，有了初步認(rèn)識，數(shù)形結(jié)合的思想正逐漸趨于成熟。基礎(chǔ)知識比較扎實、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高． （2）心理特點(diǎn)：又見“點(diǎn)到直線的距離”（初中已學(xué)習(xí)定義），學(xué)生既熟悉又陌生，既 困惑又好奇，探詢動機(jī)由此而生。 （3）生活經(jīng)驗：數(shù)學(xué)源于生活，生活中的點(diǎn)線距隨處可見，怎樣將實際問題數(shù)學(xué)化， 是每個追求成長、追求發(fā)展的學(xué)生所渴求的一種研究能力。豐富的課堂數(shù)學(xué)活動能夠讓他們真正參與，體驗過程，錘煉意志，培養(yǎng)能力。 四、教學(xué)目標(biāo) 知識技能： ⑴ 理解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程； ⑵ 掌握點(diǎn)到直線的距離公式； ⑶ 掌握點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用． 過程與方法： ⑴ 通過探索點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程，滲透算法的思想； ⑵ 通過自學(xué)教材上利用直角三角形面積公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力；⑶ 通過靈活運(yùn)用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力． （4）讓學(xué)生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法，并使學(xué)生在經(jīng)歷反饋練習(xí)的過程中，進(jìn)一步提高靈活運(yùn)用公式，解決問題的能力． 情感態(tài)度： 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素資源，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。 五、重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式 難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo) 關(guān)鍵：實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化。一是將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到垂足的距離；二是利用等積法將其轉(zhuǎn)化為直角三角形中三頂點(diǎn)的距離。 六、教學(xué)策略與手段 1、根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用類比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式．從學(xué)生熟知的實際生活背景出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線的距離的求法．讓學(xué)生在合作交流、共同探討的氛圍中，認(rèn)識公式的推導(dǎo)過程及知識的運(yùn)用，進(jìn)一步提高學(xué)生幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)能力． 2、采用投影、計算機(jī)等教學(xué)手段，增大教學(xué)的容量和直觀性，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。 3、以反饋調(diào)控為手段，力求反饋的全面性（優(yōu)、中、差生）與時效性（及時、中肯）。 七、課前準(zhǔn)備：學(xué)生先預(yù)習(xí)本課知識點(diǎn)。教師制作課件，搜集素材。 八、教學(xué)過程 １　創(chuàng)設(shè)情境 用課件播放學(xué)生熟知的地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離等生活圖片的欣賞。以及一個具體實例：某供電局計劃年底解決本地區(qū)最后一個村莊的用電問題，經(jīng)過測量，若按部門內(nèi)部設(shè)計的坐標(biāo)圖（即以供電局為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，長度單位為千米），得知這個村莊的坐標(biāo)是（15，20），離它最近的只有一條直線線路通過，其方程為：3x – 4y – 10 = 0, 問要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？ （設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的實際生活為教學(xué)背景，引入新課，還原學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，誘發(fā)動機(jī)，樂于參與。實例既可點(diǎn)燃數(shù)形結(jié)合的思想，又可喚醒兩點(diǎn)間距離公式。） 那么“應(yīng)該如何求點(diǎn)到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學(xué)進(jìn)入環(huán)節(jié)2． ２　點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程 首先，由學(xué)生回答，初中有關(guān)“點(diǎn)到直線的距離”的定義：過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離． （設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，為新課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)根據(jù)認(rèn)識發(fā)展理論，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是在其認(rèn)識的過程中伴隨同化和順應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷再建構(gòu)的過程，達(dá)到以舊悟新的目的。(1)(2)兩問的解決為后繼知識作好了鋪墊．） 接著，師生共同探討如何求點(diǎn)到直線的距離．由于點(diǎn)和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)過程含有字母運(yùn)算，比較抽象．為幫助學(xué)生更好地理解，可以補(bǔ)充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊． 問題1 多媒體，出示材料練習(xí)： “嘗試性題組”A到l的距離為d (1) A(2，0)，l：x = 3， d=_____ (2) A(2，0)，l：y = 3，d=_____ (3) A(2，0)，l：x – y = 0，d=____ 對于（3）題，由于點(diǎn)和直線的位置非常特殊，學(xué)生容易回答，應(yīng)該鼓勵學(xué)生利用多種解法解決本問．讓學(xué)生來說解題方法。 方法① 利用定義方法；② 利用直角三角形的面積公式方法；③ 利用三角函數(shù)。 （設(shè)計意圖：嘗試性題組告訴學(xué)生下手不難，還負(fù)責(zé)特例檢驗，從而增強(qiáng)學(xué)生參與的信心。說解題思路，一是讓學(xué)生清晰有條理的表達(dá)自己的思考過程，二是其求解過程提示了證明的途徑） 對于問題1，學(xué)生可能提供的解法不完全，我要引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充完整．改變點(diǎn)和直線的位置，引出補(bǔ)充問題2． 問題2 如何求點(diǎn)A(2，4)，到直線l：x – y =2的距離？ 組織學(xué)生類比問題1，獨(dú)立思考本問的解決方法．在課堂上只要求學(xué)生說明解法思路，而不要求解題過程． （設(shè)計意圖：為了推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，學(xué)生會面臨比較抽象的字母運(yùn)算．通過補(bǔ)充兩個由淺入深的具體問題，使學(xué)生能夠類比思考，解決當(dāng)點(diǎn)和直線處在一般位置時，點(diǎn)到直線的距離的求法．） 在解決問題1、2的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)和直線的位置推廣到一般情況，進(jìn)一步提出問題3． 問題3 如何求點(diǎn)到直線（）的距離？ （設(shè)計意圖：使學(xué)生的認(rèn)知由特殊向一般轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)可能的方法，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索和創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的生機(jī)和樂趣。） 師生一起進(jìn)行比較，尋找方案進(jìn)行推證。 （設(shè)計意圖：“師生共作”體現(xiàn)新型師生觀） 由學(xué)生推證點(diǎn)到直線的距離公式 （設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)，周密的邏輯推理能力，得到一般性結(jié)論，形成完整的數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，形成科學(xué)的態(tài)度。在推證的過程中，通過克服困難的經(jīng)歷，以及獲得成功的體驗，鍛煉意志，增強(qiáng)信心。） 結(jié)束后讓學(xué)生看書了解利用定義的推導(dǎo)方法。 然后再啟發(fā)學(xué)生利用平面向量的推導(dǎo)方法 設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)得 求與垂直的向量 設(shè)的夾角為得 得到點(diǎn)到的距離 得 （設(shè)計意圖：在點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題”的過程，使學(xué)生感受到用坐標(biāo)的方法研究幾何問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法．由于點(diǎn)和直線處在一般位置，所以公式的推導(dǎo)中會涉及字母運(yùn)算，比較抽象．為幫助學(xué)生理清思路，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)了算法的思想，讓學(xué)生在明確算法步驟和算法框圖的前提下，再進(jìn)行有效的公式證明和自學(xué)閱讀．） 點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)到直線（其中）的距離 在學(xué)生通過多種方法推導(dǎo)得出公式后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)公式的形式特點(diǎn)，記憶公式．同時強(qiáng)調(diào)：當(dāng)時，公式仍然適用，也可以結(jié)合圖象直接求出結(jié)論． 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生利用公式計算補(bǔ)充問題1、2，并與前面的計算結(jié)果進(jìn)行比較，前后呼應(yīng)，使學(xué)生體會運(yùn)用公式計算的簡便性．點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用是本課的一個重點(diǎn)，為了強(qiáng)化學(xué)生對公式的記憶和運(yùn)用，教學(xué)進(jìn)入環(huán)節(jié)3． ３、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用 例1 (1)解決課堂提出的實際問題．（學(xué)生口答） (2)求點(diǎn)P0(－1,2)到下列直線的距離 ： ①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1 （設(shè)計意圖：通過例題練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對公式的記憶和應(yīng)用．） 在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，補(bǔ)充直線方程含有參數(shù)的例2，進(jìn)一步提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力． 例2 已知點(diǎn)到直線的距離為2，求k的值； 問：這直線方程中參數(shù)的幾何意義是什么？（教師利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗） （設(shè)計意圖：進(jìn)一步提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力．在幾何畫板的軟件平臺中，通過數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生感受利用代數(shù)方法研究幾何問題后，再回歸幾何本身的重要性．） ４、課堂總結(jié) 通過以上的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲?(知識、能力、情感)。有哪些疑問?誰能答這些疑問? 由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明 （設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生本節(jié)所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化，鞏固知識，明確方法．） 5、課后作業(yè) ① 在自學(xué)教材閱讀材料“向量與直線”后，利用向量的方法證明點(diǎn)到直線的距離公式； ② 教材 13、14、16 （設(shè)計意圖：熟練的用公式來求點(diǎn)線距離和線線距離。） 九、板書設(shè)計 課題：點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)到直線的距離公式 運(yùn)用公式注意點(diǎn) 課堂小結(jié) （一） 公式推導(dǎo)過程 問題1 方法1： 方法2： 方法3： 問題2 問題3 （二） 典型例題 例1： 例2： （三）作業(yè) 十、教學(xué)反思 解析幾何第一章主要研究的是點(diǎn)線、線線的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中以點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、線線位置關(guān)系為重點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是其中最重要的環(huán)節(jié)之一，它是解決其它解析幾何問題的基礎(chǔ)。 本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時要堅持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上．本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動手計算的能力．另外還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué)。在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時，可利用課余時間發(fā)動學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力．向量是一種重要的運(yùn)算工具，根據(jù)我班學(xué)生的實際，本課涉及了利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法．實際上，在立體幾何的學(xué)習(xí)中，還將利用這種算法思路得到點(diǎn)到平面的距離公式．又由于這種方法在思維上有一定的難度，所以，我根據(jù)學(xué)生的實際情況，提出了分層要求：基本要求是能夠理解教材所給的推導(dǎo)方法，并能夠應(yīng)用公式，較高要求是能夠利用向量的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.