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橢圓及其標準方程 第一課時 教學設計 一 教學內(nèi)容分析 教材選自人教 A 版 普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學選修 2 1 橢圓及其標準 方程 是繼學習圓以后運用 曲線與方程 思想解決二次曲線問題的又一實例 橢圓的標準 方程是圓錐曲線方程研究的基礎 它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用 一方 面 它是對前面所學的運用 代數(shù)方法研究幾何問題 的又一次實際演練 同時它也是進一 步研究橢圓幾何性質和雙曲線 拋物線的基礎 另一方面 教科書以橢圓作為學習圓錐曲 線的開始和重點 并依此來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質的一般方法 為 我們后面研究雙曲線 拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和方法 因此本節(jié)課有承前 啟后的作用 是本章和本節(jié)的重點內(nèi)容 橢圓是通過描述橢圓形成過程進行定義的 作為橢圓本質屬性的揭示和橢圓方 程建立的基石 這是本節(jié)課的一個教學重點 而坐標法是解析幾何中的重要數(shù)學方 法 橢圓方程的推導是利用坐標法求曲線方程的很好應用實例 讓學生親身經(jīng)歷橢 圓概念形成的數(shù)學化過程 并通過探究得到橢圓的標準方程 有利于培養(yǎng)學生觀察 分析 抽象概括的能力 學生對 曲線與方程 的內(nèi)在聯(lián)系僅在 圓的方程 一節(jié)中有過一次感性認識 并未真正 有所感受 通過本節(jié)學習 學生一方面認識到橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系 另一方面也為 利用方程研究橢圓的幾何性質以及為學生類比橢圓的研究過程和方法 學習雙曲線 拋物線奠定了基礎 根據(jù)以上分析 確定本課時的教學難點和教學重點分別是 教學重點 掌握橢圓的定義及標準方程 體會坐標法的應用 教學難點 橢圓概念的深入理解及選擇不同的坐標系推導橢圓的標準方程 二 學生學情分析 在學習本節(jié)課前 學生已經(jīng)學習了直線與圓的方程 對曲線和方程的思想方法有了一些了 解和運用的經(jīng)驗 對坐標法研究幾何問題也有了初步的認識 因此 學生已經(jīng)具備探究有 關點的軌跡問題的知識基礎和學習能力 而本節(jié)課要求學生通過自己動手親自作出橢圓并 且還要 利用曲線方程的知識推導出方程 與前面學生熟悉的圓相比 對學生的抽象 分析 實踐 的能力要求比較高 可能困難要大一點 導致學生在學習中可能出現(xiàn)的困難是 學生動手 作圖慢 用尺規(guī)作圖的思路可能出現(xiàn)障礙 受教材的影響 學生選擇坐標系的思維可能受 到限制 方程的化簡也是一個難點 三 教學目標與目標解析 根據(jù)新課程標準對本節(jié)課的要求以及對教材和學生情況的分析 本節(jié)課教學目標確定為 1 感受建立曲線方程的基本過程 使學生理解橢圓的定義 即通過學生動手用圖釘 細繩 畫橢圓 能用自己的語言敘述出什么是橢圓 進而引導學生利用直尺 圓規(guī)作出橢圓 用 等價轉化的方法從不同角度加深對橢圓的理解 2 體會坐標法的應用 掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程 即要讓學生自己選擇坐標 系 根據(jù)對橢圓概念的不同理解 選擇適當?shù)姆椒?推導橢圓的方程 在這些活動的基礎 上 讓學生進一步感受曲線與議程的內(nèi)在聯(lián)系 3 培養(yǎng)學生動手能力 合作意識和分析探索能力 增強運用坐標法解決幾何問題的能力 即通過對同一概念從不同角度的理解 坐標系的不同選擇 用不同的方法得到不同的方程 通過比較 體會曲線方程的不確定性及其標準方程的對稱和諧美 四 教學方法 探究式教學法 即教師通過問題誘導 啟發(fā)討論 探索結果 引導學生直 觀觀察 歸納抽象 總結規(guī)律 使學生在獲得知識的同時 能夠掌握方法 提升能力 五 教具準備 多媒體課件和自制教具 繪圖板 圖釘 細繩 六 教學過程 一 創(chuàng)設情境 引入概念 1 嫦娥一號 是我國的首顆繞月人造衛(wèi)星 以中國古代神話人物嫦娥命名 已于 2007 年 10 月 24 日 18 時 05 分左右在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心升空 在快要到達月球時 依靠控制火箭 的反向助推減速 在被月球引力 俘獲 后 成為環(huán)月球衛(wèi)星 繞月球飛行 請問 嫦娥一號 衛(wèi)星的繞月運行軌道是什么 學生根據(jù)自己平時的積累 可能會回答圓或橢圓 設計意圖 展示 嫦娥一號 繞月球運行的軌道圖片 指出衛(wèi)星進入太空后 以橢圓形 軌道繞月運行后又以極月圓軌道繞月球飛行 由于實際的結果與學生已有的認知產(chǎn)生了沖 突 從而激發(fā)了學生的興趣和探索欲望 2 用圓柱狀水杯盛半杯水 將水杯放在水平桌面上 截面為圓形 當端起水杯喝水時 水 杯傾斜 再觀察水平面 此時截面為橢圓形 聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形 回憶 1 圓是怎么畫出來的 2 圓的定義是什么 3 圓的標準方程是什么形式 圓是到定點距離等于定長的點的軌跡 根據(jù)圓的定義 用一根細繩就可畫出一個圓 將 細繩的一貫固定在黑板上 在另一端系上一支粉筆 將細繩繃緊并繞固定端點旋轉一周即 可 猜想 1 橢圓是怎么畫出來的 2 橢圓的定義是什么 3 橢圓的標準方程又是什么形式 提出 將圓心從一點 分裂 成兩點 將細繩的兩端固定在這兩點 用粉筆挑起細繩并繃緊 移動粉筆 可畫出什么圖形 設計意圖 從生活實際出發(fā) 從而激起學生強烈的求知欲望 用類比的思想 通過已 經(jīng)學過的圓的知識猜想橢圓 開展后續(xù)教學 二 實驗探究 形成概念 1 學生分組 合作探究 教師巡視指導 通過動手實踐 觀察 猜想軌跡為橢圓 每四人 一組 在預先準備好的繪圖板上 用圖釘固定細繩兩端 用鉛筆挑起細繩并繃緊 移動鉛 筆 觀察畫出的圖形 2 展示學生成果 請學生代表本小組交流探究結論 根據(jù)橢圓畫法 從中歸納橢圓定義 與兩個定點的距離之和為定長 繩長 的點的軌跡為橢圓 繩長大于兩定點間距離 3 幾何畫板動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程 印證猜想 設計意圖 給學生提供一個動手操作 合作學習的機會 通過實驗讓學生去探究 滿足 什么樣的條件下的點的集合為橢圓 讓每個人都動手畫圖 自己思考問題 由此培養(yǎng)學生 的自信心 4 橢圓定義的完善 1 提出問題 要想用上面那句話作為橢圓的定義 要保證它足夠嚴密 經(jīng)得起推敲 那 么 這個常數(shù)可以是任意正實數(shù)嗎 有什么限制條件嗎 引導學生回答 在 定義 中需要加上 常數(shù)大于 的限制 2 深化問題 若常數(shù)等于 或常數(shù)小于 情況會發(fā)生什么變化 應用平面幾何中的 三角形任意兩邊之和大于第三邊 兩點之間線段最短 為理論依據(jù) 得出結論 當常數(shù)等于 時 與兩個定點 的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是線 段 當常數(shù)小于 時 與兩個定點 的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡不存 在 設計意圖 使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程 提高其歸納概括能力 加深對橢 圓本質的認識 并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風 5 概括橢圓定義 請學生給出經(jīng)過修改的橢圓定義 定義 平面內(nèi)與兩個定點 距離的和等于常數(shù) 大于 的點的軌跡叫橢圓 教師指出 這兩個定點叫橢圓的焦點 兩焦點的距離叫橢圓的焦距 思考 焦點為 的橢圓上任一點 M 有什么性質 令橢圓上任一點 M 則有 補充 若 時 軌跡是線段 若 時 無軌跡 設計意圖 讓學生通過反思畫圖過程 歸納定義 學習定義 為后面分析橢圓的標準 方程做下鋪墊 比較深入地理解橢圓定義的條件 三 研討探究 推導方程 問題 請你選擇適當?shù)淖鴺讼?求出焦點是 焦距是 動點到定點 距離之和是 的橢圓中的方程 請先說出解決這個問題的方案 討論之 后再進行解決 活動方式 學生先獨立思考 之后全班交流 確定最后的解決方案 然后分工合作 共同 完成 之后再交流 設計意圖 通過坐標系的不同選擇 用不同的方法得到不同的方程 通過比較體會曲 線的方程的不確定性 理解曲線與方程的關系 感受恰當選擇坐標系的優(yōu)越性 感受標準 方程的簡潔 對稱 和諧之美 并在實踐中通過對比提高決策能力 計算能力 培養(yǎng)學生 簡約的思維能力 預設的解決方案 方案 1 如圖 1 建立坐標系 得到方程 方案 2 如圖 2 建立坐標系 得到方程 方案 3 如圖 3 建立坐標系 得到方程 方案 4 如圖 4 建立坐標系 得到方程 方案 5 如圖 5 建立坐標系 以下是方案 1 的過程 其它方案的過程略 以過 的直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立平面直角坐標系 設 點 為橢圓上任意一點 則 稱此式為幾何條件 得 實現(xiàn)集合條件代數(shù)化 想一想 下面怎樣化簡 教師為突破難點 進行引導設問 我們怎么化簡帶根式的式子 對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢 化簡 得 2 的引入 由橢圓的定義可知 讓點 運動到 軸正半軸上 如圖 2 由學生觀察圖形直觀獲得 的幾何意義 進 而自然引進 此時設 于是得 兩邊同時除以 得到方程 注意 兩 次平方時的等價性 可以根據(jù)學生的具體 情況選擇加以證明 或者不加證明的指出 板書 方程 叫做 橢圓的標準方程 焦點在 軸上 其坐標是 其中 把學生推導橢圓方程的具有代表性的方法 在實物展臺上投影 問題 通過對比學生求出橢圓各種形式的方程 你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律 哪一種方程最簡潔 活動形式 學生思考后主動發(fā)言回答 設計意圖 讓學生通過對比及感性認識 總結歸納出橢圓方程的標準形式 1 焦點在 軸 以 所在直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立直角 坐標系 上的橢圓的標準方程 2 焦點在 軸 以 所在直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立直角 坐標系 上的橢圓的標準方程 四 歸納概括 方程特征 1 觀察橢圓圖形及其標準方程 師生共同總結歸納 1 橢圓標準方程對應的橢圓中心在原點 以焦點所在軸為坐標軸 2 橢圓標準方程形式 左邊是兩個分式的平方和 右邊是 1 3 橢圓標準方程中三個參數(shù) a b c 關系 2 在歸納總結的基礎上 填下表 設計意圖 把兩種類型的橢圓方程推導出來 那這兩類方程有什么相同點 有什么不 同點呢 先讓學生進行小組討論 找出性質 再列出表格讓學生填空 這樣通過表格的對 比可以對知識深化理解 五 例題研討 變式精析 例 1 判斷分別滿足下列條件的動點 M 的軌跡是否為橢圓 1 到點 和點 的距離之和為 6 的點的軌跡 是 2 到點 和點 的距離之和為 4 的點的軌跡 不是 3 到點 和點 的距離之和為 6 的點的軌跡 是 4 到點 和點 的距離之和為 4 的點的軌跡 不是 設計意圖 鞏固橢圓定義 例 2 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程 兩個焦點的坐標分別是 橢圓上一點到兩焦點距離的和等于 10 變式一 將上題焦點改為 結果如何 變式二 將上題改為兩個焦點的距離為 8 橢圓上一點 P 到兩焦點的距離和等于 10 結 果如何 學生直接搶答 設計意圖 1 根據(jù)不同條件求橢圓的標準方程 定義或待定系數(shù) 2 提醒學生在 解題時先要根據(jù)焦點位置判斷使用哪種形式的橢圓標準方程 例 3 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程 兩個焦點的坐標分別是 并且經(jīng)過點 P 活動形式 學生獨立思考完成 教師巡視 投影學生答案 學生討論總結 解題思路 1 先根據(jù)已知條件設出焦點在 軸上的橢圓方程的標準方程 再將橢圓上點的坐標 代入此方程 并結合 間的關系求 出 的值 從而得到橢圓的標準方程為 設計意圖 學會用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 解題思路 2 利用橢圓定義 橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數(shù) 2 求出 值 再 結合已知條件和 間的關系求出 的值 進而寫出標準方程 設計意圖 使學生體會橢圓定義在解題中的重要作用 六 小結歸納 提高認識 最后進行課堂小結 先由學生小組討論 再個別提問 然后集體補充 最后教師才引導和 完善 師生應共同歸納本節(jié)所學內(nèi)容 知識規(guī)律以及所學的數(shù)學思想和方法 定義 橢圓是平面內(nèi)與兩定點 F1 F 2 的距離的和等于常數(shù) 大于 F 1F2 的點的軌跡 標準方程 圖形 焦點坐標 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 的關系 學情預設 學生總結出在知識 數(shù)學思想等方面的收獲 設計意圖 擺脫傳統(tǒng)教學中教師小結的做法 以表格形式出現(xiàn) 讓學生自己總結 加深 對本節(jié)課內(nèi)容的認識 七 作業(yè)訓練 鞏固提高 1 課本作業(yè) 2 你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點嗎 作圖的依據(jù)是什么 根據(jù)你的作圖方法 能找到與之相應的方法求出橢圓方法嗎 活動方式 留作課后自主或交流完成 設計意圖 鞏固橢圓標準方程的相關知識 按照能力來選擇作業(yè)也體現(xiàn)了分層教學的 思想 還可以激發(fā)學生挑戰(zhàn)自己的能力 激發(fā)興趣 八 板書設計 根據(jù)課堂教學要求 板書設計如下 七 教學設計說明 本節(jié)課以問題為紐帶 以探究活動為載體 學生在自覺進入問題情境后 在問題的指引下 和老師的指導下 通過實踐 探索 體驗 反思等活動把探究活動層層展開 步步深入 親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程 使學生在知識的形成過程中 獲得數(shù)學的情感體驗 享受到成 功的樂趣 同時在思想方法運用 思維能力等方面得到提高和發(fā)展 課堂進行中通過實際 操作 多媒體課件演示等 激發(fā)學生的學習興趣 使學生讓學生在生生互動 師生互動中 把學生的學習過程轉變?yōu)閷W生觀察問題 發(fā)現(xiàn)問題 分析問題 解決問題的過程 希望對 學生的思維品質的培養(yǎng) 數(shù)學思想的建立 心理品質的優(yōu)化起到良好的作用 本節(jié)課學生活動較多 知識拓展較深 運算較困難 因此本節(jié)課不能按預計完成 剩余問 題下節(jié)課解決 八 課后反思 1 本節(jié)課整個教學過程為 提出問題 探索 解決問題 歸納反思 提高 在問 題的設計中 從多角度探究 縱向挖掘知識深度 橫向加強知識間的聯(lián)系 這樣的設計不 但突出了重點 更使難點的突破水到渠成 2 存在的問題 1 對課堂調(diào)控沒有真正達到目的 如推導橢圓方程的目的是要讓學生 從代數(shù)的角度去理解橢圓 但由于學生沒能及時推導出方程 實際上沒能達到這個效果 2 對學生估計不夠 如問題 建系求方程 提出后 學生討論積極但由于計算不過關 導 致幾種解法沒有結果 只能課下研究