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一、集合與函數(shù) 1．（人教版第14頁B組第1題） 已知集合，集合滿足，則集合有 個. 變式1：已知集合，集合滿足，集合與集合之間滿足的關系是 解： 變式2：已知集合有個元素，則集合的子集個數(shù)有 個，真子集個數(shù)有 個 解：子集個數(shù)有個，真子集個數(shù)有個 變式3：滿足條件的所有集合的個數(shù)是 個 解：3必須在集合里面，的個數(shù)相當于2元素集合的子集個數(shù)，所以有4個. 設計意圖：考察集合的運算與集合之間的關系 2．（人教版第14頁A組第10題） 已知集合，，求，，， 變式1：已知全集且則等于 A.　　　　B　　　　C　　　　D 解：答案為C，集合， 所以，集合， 所以為 變式2：設集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 變式3．已知集合集合則等 （A）　　　?。˙）　　　　（C）　　　?。―） 解：集合，所以答案為D. 設計意圖：結合不等式考察集合的運算 3．（北師大版第21頁B組第2題）已知集合，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求集合和，若不存在，請說明理由. 變式1：已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若，則實數(shù)＝ ． 解：由已知 變式2：，，且，則的取值范圍是______ . 解：，當時，，當時，，所以或，所以或，所以 變式3：設，且，求實數(shù)的值. 解：，因為，所以，所以或或或，當時，，當或時， ，符合題意，當時， 所以或 設計意圖：結合參數(shù)討論考察集合運算 4．（北師大版第38頁B組第1題）設函數(shù)，，求函數(shù)的定義域. 變式1： 函數(shù)的定義域是 A. B. C. D. 解：由，故選B. 變式2：設，則的定義域為 A. B. C. D. 解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為 設計意圖：考察函數(shù)的定義域 5．（人教版第84頁B組第4題） 已知函數(shù)，，且 （1） 求函數(shù)定義域 （2） 判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由. 變式1：已知是偶函數(shù)，定義域為.則 ， 解：函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱.∴， 變式2：函數(shù)的圖象關于 （ ） A．軸對稱 B．軸對稱 C．原點對稱 D．直線對稱 解：函數(shù)定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關于軸對稱. 變式3：若函數(shù)是奇函數(shù)，則 解：由于是奇函數(shù)，∴， 即， ∴，又，∴ 設計意圖：考察定義域與奇偶性 6．（人教版83頁B組第2題） 若，且，求實數(shù)的取值范圍. 變式1：若，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 解：當時，若，則，∴ 當時，若，則，此時無解！ 所以選C 變式2：設，函數(shù)，則使的的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 解：要使，且，所以 ，又，∴，故選C. 設計意圖:考察對數(shù)函數(shù)的單調性 7．（人教A版126頁B組第1題） 經濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產品價格（自變量），而用橫軸來表示產品數(shù)量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？（圖略） 變式1：某地一年的氣溫Q（t）（單位：℃）與時間t（月份）之間的關系如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令G（t）表示時間段〔0，t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數(shù)關系用下列圖象表示，則正確的應該是 （ ） 10c G(t) 10c G(t) G(t) 10c t t t 12 6 6 O 12 6 12 O O 圖（1） B A D 10c G(t) O 6 12 t C G(t) 10c 6 12 t O 答案：A 變式2：為了穩(wěn)定市場，確保農民增收，某農產品的市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關，且使與其前三個月的市場收購價格之差的平方和最?。粝卤砹谐龅氖窃摦a品前6個月的市場收購價格： 月份 1 2 3 4 5 6 7 價格（元/擔） 68 78 67 71 72 70 則7月份該產品的市場收購價格應為 （ ） A．69元 B．70元 C．71元 D．72元 答案：C 設計意圖：考察學生讀圖、讀表的能力 8．（人教版43頁B組第3題） 已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷. 變式1：下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是 A. B. C. D. 解：B在其定義域內是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A. 變式2：函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.或 解：當時，∵函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，所以若，則，當時，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，∴，故選D 設計意圖：考察函數(shù)奇偶性與單調性的關系 9．（人教版第49頁B組第4題） 已知函數(shù)，求，，的值 變式1：設則__________ 解：. 變式2：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 A. B. C. D. 解：分段函數(shù)的單調性需分段處理.答案選C 變式3：設函數(shù)f（x）= 則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為 A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 解：當x＜1時，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1. 當x≥1時，f（x）≥14－≥1≤31≤x≤10. 綜上，知x≤－2或0≤x≤10. 答案：A 設計意圖：考察分段函數(shù)的概念和性質 10．（北師大版54頁A組第5題） 對于下列函數(shù)，試求它們在指定區(qū)間上的最大值或最小值，并指出這時的值 （2）， 變式1：函數(shù)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則的值為（ ） A． B.2 C.4 D. 解：當或時，函數(shù)都是定義域上的單調函數(shù)， ∴，故選C. 變式2：若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則的值為（ ） A． B． C． D． 解：∵，∴是定義域上的減函數(shù)，所以，，∴，故選A 設計意圖：考察函數(shù)的最值 11.（人教版65頁第8題） 已知下列等式，比較，的大小 （1） (2) 變式1：設，那么 （ ） A.a＜a＜b B.a＜ b＜a C.a＜a＜b D.a＜b＜a 解：由，在A和B中，在定義域內是單調遞減的，∴，所以結論不成立.在C中，在內是單調遞增的，又，所以答案為C. 變式2：已知，則 （ ） A． B. B. D. 解：由已知，因為在定義域內是單調遞增的，所以 答案為A. 變式3：已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（　） A． 　 B． 　　 　C． D． 分析：本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調性，結合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實數(shù)的取值范圍是，答案為D　 設計意圖：考察指、對數(shù)函數(shù)的單調性 12．（人教版48頁A組第8題） 設，求證：（1） （2） 變式1：函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________. 解：，，又 ，∴， ∴ 變式2：若奇函數(shù)滿足，則 解：由已知，令，則，又∵是奇函數(shù)，所以， ∴，∴ 變式3：函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于 A. B. C. D. 解析：由題知 ① 以代，①式得，即 ② ①+②得 答案：A 設計意圖：考察函數(shù)的抽象運算與綜合性質 13．（人教版第49頁B組第5題） 證明： (1)若，則 (2)若，則 變式1：如圖所示，是定義在［0，1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質：“對［0，1］中任意的和，任意恒成立”的只有 （ ） A．和 B． C．和 D． 解：當時，符合條件的函數(shù)是凹函數(shù)，從圖像可看出有和，選擇A. 變式2：.設函數(shù)=的圖象如下圖所示，則a、b、c的大小關系是 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b 解析：f（0）==0，∴b=0.f（1）=1，∴=1. ∴a=c+1.由圖象看出x＞0時，f（x）＞0，即x＞0時，有＞0， ∴a＞0.又f（x）= ， 當x＞0時，要使f（x）在x=1時取最大值1，需x+≥2， 當且僅當x==1時.∴c=1，此時應有f（x）==1.∴a=2. 答案：B 變式3：如圖所示，單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB 所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)的圖象是 　　　 　　　　　 答案：( D ) 設計意圖：考察圖象與式子運算的能力 14：（北師大版136頁B組第1題） 判斷下列方程在（0，10）內是否存在實數(shù)解，并說明理由. (1) （2） 變式1：設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明. 分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式. 證明：由題意可知. , ∴ , ∴ 當時，. 又, ∴ , 綜上可知，所給問題獲證. 變式2：已知二次函數(shù)． （1）若a>b>c，　且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點； （2）在（1）的條件下，是否存在m∈R，使得f（m）=－ a成立時，f（m+3）為正數(shù)，若存在，證明你的結論，若不存在，說明理由； （3）若對，方程有2個不等實根， 解:?。?） 的圖象與x軸有兩個交點. （2），∴1是的一個根，由韋達定理知另一根為， ∴ 在（1，+∞）單調遞增，，即存在這樣的m使 （3）令，則是二次函數(shù). 有兩個不等實根，且方程的根必有一個屬于. 設計意圖：考察函數(shù)的零點 15．（北師大版第66頁B組第3題） 求二次函數(shù)在區(qū)間【0，1】上的最小值的表達式. 變式1：設a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a). 　?。á瘢┰Ot＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t) （Ⅱ）求g(a) （Ⅲ）試求滿足的所有實數(shù)a 解：（I）∵， ∴要使有意義，必須且，即 ∵，且……① ∴的取值范圍是。 由①得：，∴，。 （II）由題意知即為函數(shù)，的最大值， ∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論： （1）當時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段， 由知在上單調遞增，故； （2）當時，，，有=2； （3）當時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段， 若即時，， 若即時，， 若即時，。 綜上所述，有=。 （III）當時，； 當時，，，∴， ，故當時，； 當時，，由知：，故； 當時，，故或，從而有或， 要使，必須有，，即， 此時，。 綜上所述，滿足的所有實數(shù)a為：或。 設計意圖：考察二次函數(shù)的最值與分類討論的思想 16．（人教版84頁B組第5題） 試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數(shù)，，都有”的函數(shù)例子. 變式1：設函數(shù)f（x）的定義域是N*，且，，則f（25）= ___________________. 解析：由 ∴ 同理，f（3）－f（2）=3. …… f（25）－f（24）=25. ∴f（25）=1+2+3+…+25=325. 答案：325 變式2：設是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱，對任意，都有 （1）設，求 （2）證明是周期函數(shù). （1）解：由知， x∈［0，1］. 因為f（1）=f（）f（）=［f（）］2，及f（1）=2，所以f（）=2. 因為f（）=f（）f（）=［f（）］2，及f（）=2，所以f（）=2. （2）證明：依題設關于直線x=1對稱，故f（x）=f（1+1－x）f（x）=f（2－x），x∈R. 又由f（x）是偶函數(shù)知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.將上式中－x以x代換，得f（x）=f（x+2），x∈R. 這表明是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期. 變式3：設函數(shù)定義在R上，對任意實數(shù)m、n，恒有且當 （1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1； （2）求證：f（x）在R上遞減； （3）設集合A={（x，y）|f（x2）f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1， a∈R}，若A∩B=，求a的取值范圍. （1）證明：在f（m+n）=f（m）f（n）中， 令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）. ∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1. 設x＜0，則－x＞0.令m=x，n=－x，代入條件式有f（0）=f（x）f（－x），而f（0）=1， ∴f（x）=＞1. （2）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1. 令m=x1，m+n=x2，則n=x2－x1，代入條件式，得f（x2）=f（x1）f（x2－x1）， 即0＜＜1.∴f（x2）＜f（x1）. ∴f（x）在R上單調遞減. （3） 解：由 又由（2）知f（x）為R上的減函數(shù)，∴點集A表示圓的內部.由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0點集B表示直線ax－y+2=0. ∵A∩B=，∴直線ax－y+2=0與圓相離或相切。 于是 設計意圖：考察抽象函數(shù)的性質及抽象運算的能力和數(shù)形結合的思想。