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高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——排列組合與二項(xiàng)式定理 一、選擇題 1.（2009廣東卷理）2010年廣州亞運(yùn)會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種 【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A. 2.（2009浙江卷理）在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是( ) . A． B． C． D． 答案：B 【解析】對于，對于，則的項(xiàng)的系數(shù)是 3.（2009北京卷文）若為有理數(shù)），則 （ ）. A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. ∵ ， 由已知，得，∴.故選B. 4.（2009北京卷文）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計(jì)數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 2和4排在末位時(shí)，共有種排法， 其余三位數(shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有種排法， 于是由分步計(jì)數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.故選C. 5.（2009北京卷理）若為有理數(shù)），則 （ ） A．45 B．55 C．70 D．80 【答案】C 【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. ∵ ， 由已知，得，∴.故選C. 6．（2009北京卷理）用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 （ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B 【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時(shí)，有（個(gè)）， 當(dāng)0不排在末位時(shí)，有（個(gè)）， 于是由分類計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.故選B. 7.（2009全國卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 （A）6種 （B）12種 （C）24種 （D）30種 答案：C 解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運(yùn)用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種 。 8.（2009全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有( D ) （A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; . (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D 9.（2009江西卷理）展開式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和為，則的值可能為 A． B． C． D． . 答案：D 【解析】，，則可取，選D 10.(2009湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為 【答案】C 【解析】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個(gè)班的有種，所以種數(shù)是 11.(2009湖北卷理)設(shè)，則 【答案】B 【解析】令得 令時(shí) 令時(shí) 兩式相加得： 兩式相減得： 代入極限式可得，故選B 12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有62＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有124＝48種不同排法。 解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況： 第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法； 第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有＝12種排法 第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。 此時(shí)共有＝12種排法 三類之和為24＋12＋12＝48種。. 13. （2009全國卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A. 6種 B. 12種 C. 30種 D. 36種 解：用間接法即可.種. 故選C 14.（2009遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有 （A）70種 （B） 80種 （C） 100種 （D）140種 【解析】直接法：一男兩女,有C51C42＝56＝30種,兩男一女,有C52C41＝104＝40種,共計(jì)70種 間接法：任意選取C93＝84種,其中都是男醫(yī)生有C53＝10種,都是女醫(yī)生有C41＝4種,于是符合條件的有84－10－4＝70種. 【答案】A 15.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有 A.120種 B.96種 C.60種 D.48種 【答案】C 【解析】5人中選4人則有種，周五一人有種，周六兩人則有，周日則有種，故共有=60種,故選C 16.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【 B 】 A．14 B．16 C．20 D．48 解:由間接法得，故選B. 17.（2009全國卷Ⅰ文）甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)，若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有 （A）150種 （B）180種 （C）300種 （D）345種 【解析】本小題考查分類計(jì)算原理、分步計(jì)數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。 解：由題共有，故選擇D。 18.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有62＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有124＝48種不同排法。 解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況： 第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法； 第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有＝12種排法 第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。 此時(shí)共有＝12種排法 三類之和為24＋12＋12＝48種。 19.（2009陜西卷文）若,則的值為 （A）2 （B）0 （C） (D) 答案:C. . 解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則 , 同理可以得出,……… 亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式== 故選C. 20.（2009陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108網(wǎng) 答案:C. 解析:首先個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個(gè)中選擇一個(gè)有種，再叢剩余3個(gè)奇數(shù)中選擇一個(gè)，從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中選擇兩個(gè)，進(jìn)行十位，百位，千位三個(gè)位置的全排。則共有故選C. . 21.(2009湖南卷理)從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位 [ C] . A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C 【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個(gè)的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7，所以共有42+7=49，即選C項(xiàng)。 22.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考點(diǎn)定位】本小題考查排列綜合問題，基礎(chǔ)題。 解析：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188 解析2：由題意有,選B。 23.（2009重慶卷文）的展開式中的系數(shù)是（ ）. A．20 B．40 C．80 D．160 【答案】D 解法1設(shè)含的為第，則，令，得，故展開式中的系數(shù)為。 解法2根據(jù)二項(xiàng)展開式的通過公式的特點(diǎn)：二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)中所含的與2分得的次數(shù)和為6，則根據(jù)條件滿足條件的項(xiàng)按3與3分配即可，則展開式中的系數(shù)為。 24.（2009重慶卷文）12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)），則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析因?yàn)閷?2個(gè)組分成4個(gè)組的分法有種，而3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組分法有，故個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為。 二、填空題. 1.（2009寧夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數(shù)字作答）。 解析：，答案：140 2.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,則b= . 【答案】40 【解析】因?yàn)椤? .解得 3.（2009湖南卷文）在的展開式中，的系數(shù)為 6 (用數(shù)字作答). 解: ，故得的系數(shù)為 4.（2009全國卷Ⅰ文）的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_____________. 【解析】本小題考查二項(xiàng)展開式通項(xiàng)、基礎(chǔ)題。（同理13） 解: 因所以有 5.（2009四川卷文）的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 【答案】－20 【解析】，令，得 故展開式的常數(shù)項(xiàng)為 6.(2009湖南卷理)在的展開式中，的系數(shù)為___7__(用數(shù)字作答) 【答案】：7 . 【解析】由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是 7.（2009天津卷理）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)定位】本小題考查排列實(shí)際問題，基礎(chǔ)題。 解析：個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)的有：種；個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)的有：種，所以共有個(gè)。 8.（2009四川卷理）的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)定位】本小題考查二項(xiàng)式展開式的特殊項(xiàng)，基礎(chǔ)題。（同文13） 解析：由題知的通項(xiàng)為，令得，故常數(shù)項(xiàng)為。 9.（2009浙江卷理）觀察下列等式： ， ， ， ， ……… 由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論： 對于， ．. 答案： 【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對于， 10.（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）． 答案：336 【解析】對于7個(gè)臺階上每一個(gè)只站一人，則有種；若有一個(gè)臺階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．. 11.（2009浙江卷文）有張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中． 從這張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到 標(biāo)有的卡片，則卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為）不小于”為， 則 ．. 【命題意圖】此題是一個(gè)排列組合問題，既考查了分析問題，解決問題的能力，更側(cè)重于考查學(xué)生便舉問題解決實(shí)際困難的能力和水平 【解析】對于大于14的點(diǎn)數(shù)的情況通過列舉可得有5種情況，即，而基本事件有20種，因此 . 12.（2009全國卷Ⅱ文）的展開式中的系數(shù)為 答案：6 解析：本題考查二項(xiàng)展開式，直接用公式展開，注意根式的化簡。 13.（2009全國卷Ⅰ理）的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 。 解: 14.（2009四川卷文）的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 【答案】－20 【解析】，令，得 故展開式的常數(shù)項(xiàng)為 . 15.（2009全國卷Ⅱ理）的展開式中的系數(shù)為 6 。 解：，只需求展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)： 16.（2009年上海卷理）某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望____________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）. . 【答案】 【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝， P（＝1）＝， P（＝2）＝，＝0＝ 17.（2009重慶卷理）的展開式中的系數(shù)是（ ） A．16 B．70 C．560 D．1120 【答案】 【解析】設(shè)含的為第， 所以，故系數(shù)為：，選D。 18.（2009重慶卷理）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（ ） A． B． C． D． . 【答案】C 【解析】因?yàn)榭偟奶戏ǘ笫录娜》ǚ譃槿悾粗ヂ轲W湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個(gè)數(shù)分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為 19.（2009重慶卷理）將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）． 【答案】36 【解析】分兩步完成：第一步將4名大學(xué)生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案有