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深入淺出的講解傅里葉變換 　　我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時候寫的，但是當時沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者…… 　　這篇文章的核心思想就是： 　　要讓讀者在不看任何數(shù)學公式的情況下理解傅里葉分析。 　　傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。 　　————以上是定場詩———— 　　下面進入正題： 　　抱歉，還是要啰嗦一句：其實學習本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學習起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多…… 　　一、嘛叫頻域 　　從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。 　　先舉一個公式上并非很恰當，但意義上再貼切不過的例子： 　　在你的理解中，一段音樂是什么呢？ 　　 　　這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的： 　　 　　好的！下課，同學們再見。 　　是的，其實這一段寫到這里已經(jīng)可以結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。 　　現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。 　　將以上兩圖簡化： 　　時域： 　　 　　頻域： 　　 　　在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。 　　所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~） 　　以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~） 　　你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。 　?。ū娙耍弘u湯滾出知乎?。? 　　抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。 　　而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡單的開始談起。 　　二、傅里葉級數(shù)（Fourier Series） 　　還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。 　　如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖： 　　 　　第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x） 　　第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos（x）+a.cos（3x） 　　第三幅圖是4個發(fā)春的正弦波的疊加 　　第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加 　　隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么道理？ 　?。ㄖ灰?，彎的都能掰直?。? 　　隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？） 　　不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。 　　還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看： 　　 　　在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。 　　這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。 　　好了，關鍵的地方來了?。? 　　如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。 　　對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。 　　（好吧，數(shù)學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎？） 　　時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎，那么頻域的基本單元就是。 　　有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。 　　接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。 　　 　　正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓 　　不能傳動態(tài)圖真是太讓人惋惜了…… 　　想看動圖的同學請戳這里： 　　File:Fourier series square wave circles animation.gif以及這里： 　　File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif點出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。 　　介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了： 　　 　　這是什么奇怪的東西？ 　　這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是—— 　　 　　再清楚一點： 　　 　　可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。 　　動圖請戳： 　　File:Fourier series and transform.gif老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。 　　但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？ 　　我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數(shù)… 　　上一篇文章《深入淺出的講解傅里葉變換1》發(fā)出來之后，為了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個心眼，不然就真的像標題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過來掐死我，潛臺詞就是在你學了，但是沒學明白的情況下看了還是不懂，才過來掐死我。 　　另外，想跟很多人抱歉，因為評論太多了，時間有限，不能給每個人回復，還望大家諒解。但是很感謝一直在評論區(qū)幫忙解答讀者問題的各位，就不一一@了。 　　這里鄭重感謝大連海事大學的吳楠老師，一位學識淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當時大三他教我通信原理，但是他先用了4結課幫我們復習了很多信號與系統(tǒng)的基本概念，那個用樂譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對這門課豁然開朗，才有了今天的這篇文章。 　　————————————今天的定場詩有點長—————————— 　　下面繼續(xù)開始我們無節(jié)操的旅程： 　　上次的關鍵詞是：從側面看。這次的關鍵詞是：從下面看。 　　在第二課最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。 　　先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試一件事： 　　先在紙上畫一個sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。 　　好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。 　　別說標準不標準了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？ 　　好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。 　　但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。 　　所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。 　　再說一個更重要，但是稍微復雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學數(shù)學瞬間變小學算術有沒有。 　　傅里葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。 　　———————————————————————————————————— 　　下面我們繼續(xù)說相位譜： 　　通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。 　　 　　鑒于正弦波是周期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。 　　 　　這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。 　　在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜?！? 　　注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為（-pi，pi］，所以圖中的相位差均為Pi。 　　最后來一張大集合： 　　 　　好了，你是不是覺得我們已經(jīng)講完傅里葉級數(shù)了？ 　　抱歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式。接下去才是最究極的傅里葉級數(shù)——指數(shù)形式傅里葉級數(shù)。但是為了能更好的理解指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，我們還需要一個工具來幫忙——歐拉公式。 　　歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，我們下一講再講。謝謝大家（鞠躬）。 　　————————————————————————————————————— 　　今天講的部分不多，但是我希望大家能夠理解，我也有自己的生活，留給知乎的時間并不多，但是我很喜歡在知乎與別人交流的過程。上一次的那些文章大家知道我當時寫了多久么？四天，每天寫6小時那種，而且當時還是在假期。主要是圖太不好做了，有人問到作圖的方法，其實就是簡單的MATLAB+PHOTOSHOP，作圖的確是很費時間，但是我相信做出這些圖是值得的，因為我相信圖一定比文字更好理解。也希望可以將這些自己學習時的感受和經(jīng)驗更完整的分享給需要的人。 　　所以請大家稍微有點耐心，我會認真把這個故事講完。也謝謝大家的理解和支持。