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2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷） 數(shù)學(xué)（文科） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1、若集合，，則（ ） A． B． C． D． 2、已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 3、下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 4、若變量，滿足約束條件，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 5、設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，且，則（ ） A． B． C． D． 6、若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ） A．至少與中的一條相交 B．與都相交 C．至多與中的一條相交 D．與都不相交 7、已知件產(chǎn)品中有件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，恰有一件次品的概率為（ ） A． B． C． D． 8、已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則（ ） A． B． C． D． 9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則（ ） A． B． C． D． 10、若集合， ，用表示集合中的元素個(gè)數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．） （一）必做題（11~13題） 11、不等式的解集為 ．（用區(qū)間表示） 12、已知樣本數(shù)據(jù)，，，的均值，則樣本數(shù)據(jù)，，，的均值為 ． 13、若三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則 ． （二）選做題（14、15題，考生只能從中選作一題） 14、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù) 方程為（為參數(shù)），則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ． 15、（幾何證明選講選做題）如圖，為圓的直徑，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，過(guò)作直線的垂線，垂足為．若，，則 ． 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．） 16、（本小題滿分12分）已知． 求的值；求的值． 17、（本小題滿分12分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖． 求直方圖中的值； 求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； 在月平均用電量為，，， 的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民， 則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 18、（本小題滿分14分）如圖，三角形所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直，，，． 證明：平面； 證明：； 求點(diǎn)到平面的距離． 19、（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．已知，，，且當(dāng)時(shí)，． 求的值； 證明：為等比數(shù)列； 求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 20、（本小題滿分14分）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，． 求圓的圓心坐標(biāo)； 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程； 是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由． 21、（本小題滿分14分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)． 若，求的取值范圍； 討論的單調(diào)性； 當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．