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高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 數(shù)列 一 選擇題 1 2009 年廣東卷文 已知等比數(shù)列 na的公比為正數(shù) 且 3a 9 2 25 a 1 則 1 A 21 B C 2 D 2 答案 B 解析 設(shè)公比為 q 由已知得 228411aqa 即 q 又因?yàn)榈缺葦?shù)列 na的公比 為正數(shù) 所以 2 故 21 選 B 2 2009 廣 東 卷 理 已知等比數(shù)列 na滿足 0 12 n 且 25 3 na 則當(dāng) 1n 時(shí) 212321loglloga A B C 2 D 2 1 n 解析 由 25n 得 n2 0 a 則 n 3212logla 212 1 3logan 選 C 3 2009 安徽卷文 已知 為等差數(shù)列 則 等 于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 1350a 即 105a 3 同理可得 43a 公差 432da 204 d 選 B 答案 B 4 2009 江西卷文 公差不為零的等差數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 若 4a是 37與 的等比中項(xiàng) 832S 則 10等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2437a得 2111 6dad 得 1230a 再由8156Sd 得 78則 12 3da 所以 109602Sad 故選 C 5 2009 湖南卷文 設(shè) nS是等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和 已知 23a 61 則 7S等于 C A 13 B 35 C 49 D 63 解 17267 7 31 49 aaS 故選 C 或由 21165d 76213 所以 177 3 49 2aS 故選 C 6 2009 福建卷理 等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為 nS 且 3 6 1a 4 則公差 d 等于 A 1 B 53 C 2 D 3 答案 C 解析 3136 2Sa 且 11 4 d2a 故選 C 7 2009 遼寧卷文 已知 n為等差數(shù)列 且 7 2 a 1 3 0 則公差 d A 2 B C D 2 解析 a 7 2a 4 a 3 4d 2 a 3 d 2d 1 d 1 答案 B 8 2009 遼寧卷理 設(shè)等比數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 nS 若 63 3 則 69S A 2 B 73 C 83 D 3 解析 設(shè)公比為 q 則 633 1 Sq 1 q 3 3 q3 2 于是 6 693247 答案 B 9 2009 寧夏海南卷理 等比數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為 ns 且 4 1a 2 3成等差數(shù)列 若 1a 1 則 4s A 7 B 8 3 15 4 16 解析 4 1a 2 成等差數(shù)列 22311 4 40 215aqq 即 S 選 C 10 2009 四川卷文 等差數(shù)列 n 的公差不為零 首項(xiàng) 1a 1 是 和 a的等比中項(xiàng) 則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案 B 解析 設(shè)公差為 d 則 41 2d 0 解得 d 2 10S 100 11 2009 湖北卷文 設(shè) Rx 記不超過 x的最大整數(shù)為 x 令 x 則 25 215 A 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B 是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 答案 B 解析 可分別求得 512 51 2 則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比 數(shù)列 12 2009 湖北卷文 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù) 例如 他們研究過圖 1 中的 1 3 6 10 由于這些數(shù)能夠表示成三角形 將其稱為三角形數(shù) 類似地 稱圖 2 中的 1 4 9 16 這樣的數(shù)成為正方形數(shù) 下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正 方形數(shù)的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 答案 C 解析 由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng) 1 2na 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù) 列通項(xiàng) 2nb 則由 2nb N 可排除 A D 又由 1 2na知 na必為奇數(shù) 故選 C 13 2009 寧夏海南卷文 等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為 nS 已知 210mm 2138mS 則 A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因?yàn)?na是等差數(shù)列 所以 12mmaa 由 210ma 得 2ma 2 0 所以 m 2 又 2138S 即 2 38 即 2m 1 2 38 解得 m 10 故選 C 14 2009 重慶卷文 設(shè) na是公差不為 0 的等差數(shù)列 1a 且 136 a成等比數(shù)列 則 na 的前 項(xiàng)和 nS A 274 B 253 C 234n D 2n 答案 A 解析設(shè)數(shù)列 na的公差為 d 則根據(jù)題意得 2 5 dd 解得 12 或0d 舍去 所以數(shù)列 na的前 項(xiàng)和 2174nnS 15 2009 安徽卷理 已知 為等差數(shù)列 1 3a 5 105 26a 99 以 nS表示 na 的前 項(xiàng)和 則使得 nS達(dá)到最大值的 是 A 21 B 20 C 19 D 18 解析 由 1 3 5 105 得 305 a 即 3 由 246 99 得 439 即4a 2d 4 1n n 由 10na 得 2 選 B 16 2009 江西卷理 數(shù)列 na的通項(xiàng) 22 cosi 3n 其前 項(xiàng)和為 nS 則30S 為 A 470 B 490 C 495 D 510 答案 A 解析 由于 22 cosin 3 以 3 為周期 故2 222 23014589 6 30 S 221 103151 547k kk 故選 A 17 2009 四川卷文 等差數(shù)列 na 的公差不為零 首項(xiàng) 1a 1 2是 1和 5a的等比中項(xiàng) 則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案 B 解析 設(shè)公差為 d 則 41 2d 0 解得 d 2 10S 100 二 填空題 1 2009 全國(guó)卷 理 設(shè)等差數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 n 若 97 則 249a 解 na 是等差數(shù)列 由 972S 得 59 8 24924645 32aaa 2 2009 浙江理 設(shè)等比數(shù)列 n的公比 1q 前 n項(xiàng)和為 nS 則 4a 答案 15 解析 對(duì)于 4 4314413 15 aqssaq 3 2009 浙江文 設(shè)等比數(shù)列 n的公比 2 前 n項(xiàng)和為 nS 則 4a 命題意圖 此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式 通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考 查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系 解析 對(duì)于 4 4314413 15 aqsqsa 4 2009 浙江文 設(shè)等差數(shù)列 n的前 項(xiàng)和為 nS 則 4 84S 128 162S 成等差數(shù)列 類比以上結(jié)論有 設(shè)等比數(shù)列 b的前 項(xiàng)積為 nT 則 4 162T成等比數(shù)列 答案 814 命題意圖 此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題 既考查了數(shù)列中等差 數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí) 也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力 解析 對(duì)于等比數(shù)列 通過類比 有等比數(shù)列 nb的前 項(xiàng)積為 nT 則 4 812 T 162T 成等比數(shù)列 5 2009 北京文 若數(shù)列 na滿足 11 2 naN 則 5a 前 8 項(xiàng)的和 8S 用數(shù)字作答 w 解析 本題主要考查簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題 m 屬于基礎(chǔ)知識(shí) 基本運(yùn)算的考 查 121324354 8 216aaa 易知 85S 應(yīng)填 255 6 2009 北京理 已知數(shù)列 na滿足 43412 0 N nnnaa 則209a 2014 答案 1 0 解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí) 屬于創(chuàng)新題型 依題意 得 2094503a 201407142510aa 應(yīng)填 1 0 7 2009 江蘇卷 設(shè) n是公比為 q的等比數(shù)列 q 令 nb 若數(shù) 列 nb有連續(xù)四項(xiàng)在集合 53 219 78中 則 6 解析 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力 等比數(shù)列的通項(xiàng) na 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 4 6 四項(xiàng) 24 35 81 成等比數(shù)列 公比為32q 6 9 8 2009 山東卷文 在等差數(shù)列 na中 6 7253 a 則 解析 設(shè)等差數(shù)列 na的公差為 d 則由已知得 647211da解得 132a 所以6153ad 答案 13 命題立意 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算 9 2009 全國(guó)卷 文 設(shè)等比數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 ns 若 3614 sa 則 4a 答案 3 解析 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算 由 361 s 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 10 2009 湖北卷理 已知數(shù)列 na滿足 1 m m 為正整數(shù) 1 23nna 當(dāng) 為 偶 數(shù) 時(shí) 當(dāng) 為 奇 數(shù) 時(shí) 若 6 則 m 所有可能的取值為 11 答案 4 5 32 解析 1 若 1am 為偶數(shù) 則 12a為偶 故 223 a4m 當(dāng) 4仍為偶數(shù)時(shí) 468 故 1 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) 431am 64a 故 314m 得 m 4 2 若 1a 為奇數(shù) 則 213a 為偶數(shù) 故 312a 必為偶數(shù)63 所以 36 1 可得 m 5 12 2009 全國(guó)卷 理 設(shè)等差數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 若 53a則 95S 9 解 na 為等差數(shù)列 953Sa 13 2009 遼寧卷理 等差數(shù)列 n的前 項(xiàng)和為 nS 且 536 S 則 4a 解析 S n na 1 2n n 1 d S 5 5a 1 10d S 3 3a 1 3d 6S 5 5S 3 30a 1 60d 15a 1 15d 15a 1 45d 15 a 1 3d 15a 4 答案 31 14 2009 寧夏海南卷理 等差數(shù)列 na 前 n 項(xiàng)和為 nS 已知 1ma 2m 0 21S 38 則 m 解析 由 1ma 2m 0 得到 122210 13810mmaSa 又 答案 10 15 2009 陜西卷文 設(shè)等差數(shù)列 n的前 n 項(xiàng)和為 ns 若 632 則 n 答案 2n 解析 由 6312as 可得 na的公差 d 2 首項(xiàng) 1a 2 故易得 n 2n 16 2009 陜西卷理 設(shè)等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 nS 若 6312 則 2limnS 答案 1 611 223252 1 lilinnnadas 解 析 17 2009 寧夏海南卷文 等比數(shù)列 n 的公比 0q 已知 2a 1 216nna 則 na 的前 4 項(xiàng)和 S 答案 152 解析 由 16nna 得 116 nq 即 062 q 解得 q 2 又 2 1 所以 12 2 44S 5 18 2009 湖南卷理 將正 ABC 分割成 n 2 n N 個(gè)全等的小正三角形 圖 2 圖 3 分別給出了 n 2 3 的情形 在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù) 使位于 ABC 的三遍及 平行于某邊的任一直線上的數(shù) 當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于 3 時(shí) 都分別一次成等差數(shù)列 若頂點(diǎn) A B C 處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為 1 記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為 f n 則有 f 2 2 f 3 103 f n 16 n 1 n 2 答案 10 236n 解析 當(dāng) n 3 時(shí) 如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示 即由條件知121212 abcxabycza 12 212 xyzgxyzy 12126gc 即 12120 3 3fabcxyz 而 進(jìn)一步可求得 45 由上知 f中有三個(gè)數(shù) f中 有 6 個(gè)數(shù) f中共有 10 個(gè) 數(shù)相加 f中有 15 個(gè)數(shù)相加 若 fn 中有 1na 個(gè)數(shù)相加 可得 fn中有1 na 個(gè)數(shù)相加 且由3633045 2 1 2 3 3fffffff 可得 1 n所以 1 2 1 33nnfnf f 1 36 19 2009 重慶卷理 設(shè) 12a 1na 21nab N 則數(shù)列 nb的通項(xiàng) 公式 nb 答案 2n 1 解析 由條件得 11 221nnnnaabb 且 14 所以數(shù)列 nb是首 項(xiàng)為 4 公比為 2 的等比數(shù)列 則 14nb 三 解答題 1 2009 年廣東卷文 本小題滿分 14 分 已知點(diǎn) 1 3 是函數(shù) 0 axf且 1 的圖象上一點(diǎn) 等比數(shù)列 na的前 項(xiàng) 和為 cnf 數(shù)列 nb 的首項(xiàng)為 c 且前 n項(xiàng)和 nS滿足 1 S 1 2 1 求數(shù)列 na和 的通項(xiàng)公式 2 若數(shù)列 1 nb前 項(xiàng)和為 nT 問 2091的最小正整數(shù) n是多少 解析 1 3fa Q 3 xf 11afc 21fcfc 29 3 7f 又?jǐn)?shù)列 na成等比數(shù)列 2134183ac 所以 1 又公比 213qa 所以 12nnn N 111nnnnSSSS Q 2 又 0b 數(shù)列 n構(gòu)成一個(gè)首相為 1 公差為 1 的等差數(shù)列 nn 2S 當(dāng) 2 22nSn 1nb N 2 12341n nTbb L 11357 2 n K 52721n K 1221n 由 09nT 得 0 滿足 1029nT 的最小正整數(shù)為 112 2 2009 全國(guó)卷 理 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 在數(shù)列 na中 11 nna I 設(shè) b 求數(shù)列 b的通項(xiàng)公式 II 求數(shù)列 n的前 項(xiàng)和 nS 分析 I 由已知有 12a 12nb 利用累差迭加即可求出數(shù)列 n的通項(xiàng)公式 1n N II 由 I 知 1na nS 11 2 kk 1 2 nk 而 1 k 又 1 nk 是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型 易得 11242nkn nS 124n 評(píng)析 09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó) 一 試題將數(shù)列題前置 考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前 n 項(xiàng)和 一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式 具有讓考生和一 線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí) 基本方法基本技能 重視兩綱的導(dǎo)向作用 也可看出命題人在有 意識(shí)降低難度和求變的良苦用心 3 2009 浙江文 本題滿分 14 分 設(shè) nS為數(shù)列 na的前 項(xiàng)和 2nSk nN 其中 k是常數(shù) I 求 1a及 II 若對(duì)于任意的 mN ma 2 4m成等比數(shù)列 求 k的值 解析 當(dāng) 1 1 kSn 12 1 222 nnan 經(jīng)驗(yàn) 式成立 ka m42 成等比數(shù)列 m42 即 18 14 kkk 整理得 0 1 對(duì)任意的 N成立 0 或 4 2009 北京文 本小題共 13 分 設(shè)數(shù)列 na的通項(xiàng)公式為 napqNP 數(shù)列 nb定義如下 對(duì)于正整數(shù) m b是使得不等式 nm 成立的所有 n 中的最小值 若 1 23pq 求 b 若 求數(shù)列 m的前 2m 項(xiàng)和公式 是否存在 p 和 q 使得 N 如果存在 求 p 和 q 的取值范圍 如果不存在 請(qǐng)說明理由 解析 本題主要考查數(shù)列的概念 數(shù)列的基本性質(zhì) 考查運(yùn)算能力 推理論證能力 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法 本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題 由題意 得 123na 解 13n 得 20n 成立的所有 n 中的最小整數(shù)為 7 即 3b 由題意 得 1n 對(duì)于正整數(shù) 由 nam 得 2 根據(jù) b的定義可知 當(dāng) 1k 時(shí) mkN 當(dāng) 2k 時(shí) 1mbkN 12213142mb 3 22 假設(shè)存在 p 和 q 滿足條件 由不等式 pnqm 及 0p 得 qnp 32 mbN 根據(jù) b的定義可知 對(duì)于任意的正整數(shù) m 都有31qp 即 31pqpq 對(duì)任意的正整數(shù) m 都成立 當(dāng) 0 或 310 時(shí) 得 m 或 231pq 這與上述結(jié)論矛盾 當(dāng) 31p 即 3p時(shí) 得 213q 解得 存在 p 和 q 使得 mbN p 和 q 的取值范圍分別是 5 2009 北京理 本小題共 13 分 已知數(shù)集 1212 nnAaa 具有性質(zhì) P 對(duì)任意的 1ijijn ij與 ji兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于 A 分別判斷數(shù)集 1 34與 26是否具有性質(zhì) 并說明理由 證明 1a 且 112naa 證明 當(dāng) 5n時(shí) 1345 成等比數(shù)列 解析 本題主要考查集合 等比數(shù)列的性質(zhì) 考查運(yùn)算能力 推理論證能力 分 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法 本題是數(shù)列與不等式的綜合題 屬于較難層次題 由于 34 與 均不屬于數(shù)集 該數(shù)集不具有性質(zhì) P 由于 6123612 都屬于數(shù)集 1 236 該數(shù)集具有性質(zhì) P 12 nAa 具有性質(zhì) P na與 中至少有一個(gè)屬于 A 由于 12n n 故 n 從而 1naA 1 12n kna 故 2 3knaAn 由 A 具有性質(zhì) P 可知 1 23 k 又 121nnaa 211 nnna 從而 12112nnnaa 211n 由 知 當(dāng) 5時(shí) 有 55234 a 即 2543a 125aa 3425 34A 由 A 具有性質(zhì) P 可知 43A 243a 得 43a 且 321a 342a 54231 即 12345 是首項(xiàng)為 1 公比為 2a成等比數(shù)列 k s 5 6 2009 江蘇卷 本小題滿分 14 分 設(shè) na是公差不為零的等差數(shù)列 nS為其前 項(xiàng)和 滿足 223457 aaS 1 求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和 2 試求所有的正整數(shù) m 使得 12ma 為數(shù)列 n中的項(xiàng) 解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng) 求和的有關(guān)知識(shí) 考查運(yùn)算和求解的能力 滿 分 14 分 1 設(shè)公差為 d 則 22543aa 由性質(zhì)得 4343 daa 因 為 0 所以 430 即 10 又由 7S得 1672d 解 得 15a 2d 2 方法一 12ma 7 253 設(shè) 3mt 則 12ma 4 86tt 所以 t為 8 的約數(shù) 方法二 因?yàn)?12222 2 4 86mmmaaa 為數(shù)列 n中的項(xiàng) 故 m 28 a為整數(shù) 又由 1 知 2 為奇數(shù) 所以 31 2m 即 經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意的正整數(shù)只有 7 2009 江蘇卷 本題滿分 10 分 對(duì)于正整數(shù) n 2 用 nT表示關(guān)于 x的一元二次方程 20 xab 有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組 ab 的組數(shù) 其中 12 ab a和 b可以相等 對(duì)于隨機(jī)選取的 1 和 可以相等 記 nP為關(guān)于 的一元二次方程 20 xab 有實(shí) 數(shù)根的概率 1 求 2nT和 2P 2 求證 對(duì)任意正整數(shù) n 2 有 1n 解析 必做題 本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理 考查探究能力 滿分 10 分 8 2009 山東卷理 本小題滿分 12 分 等比數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 nS 已知對(duì)任意的 nN 點(diǎn) nS 均在函數(shù) 0 xybr 且 1 br 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當(dāng) b 2 時(shí) 記 2 log1 nna 證明 對(duì)任意的 N 不等式 211 nbb 成立 解 因?yàn)閷?duì)任意的 n 點(diǎn) nS 均在函數(shù) 0 xyr 且 1 br 均為常數(shù)的圖像 上 所以得 Sbr 當(dāng) 時(shí) 1ab 當(dāng) 2n 時(shí) 111 nnnnar 又因?yàn)?na 為等比數(shù)列 所以r 公比為 1na 2 當(dāng) b 2 時(shí) 2nb 122 log1 log nnnb 則 1nb 所以 121357 46n 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12 21 nbbn 成立 當(dāng) 1n 時(shí) 左邊 32 右邊 因?yàn)?3 所以不等式成立 假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)不等式成立 即 12135721 46kbbk 成立 則 當(dāng) 1 時(shí) 左邊 112 3 kk k 2223 4 1 14 k 所以當(dāng) 1n 時(shí) 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 以及已知 nS求 a的基本題型 并運(yùn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題 以及放縮法證明不等式 9 2009 山東卷文 本小題滿分 12 分 等比數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 nS 已知對(duì)任意的 nN 點(diǎn) nS 均在函數(shù) 0 xybr 且 1 br 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當(dāng) b 2 時(shí) 記 4nNa 求數(shù)列 nb的前 項(xiàng)和 nT 解 因?yàn)閷?duì)任意的 點(diǎn) nS 均在函數(shù) 0 xyr 且 1 br 均為常數(shù) 的圖像 上 所以得 nSbr 當(dāng) 1時(shí) 1a 當(dāng) 2n 時(shí) 111 nnnnnrbb 又因?yàn)?為等比數(shù)列 所以 公比為 所以 nab 2 當(dāng) b 2 時(shí) 1 2nnab 142nnb 則 2341n nT 521n 相減 得 23451n 312 12n 1234n 所以 11nnnT 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 以及已知 nS求 a的基本題型 并運(yùn) 用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前 項(xiàng)和 nT 10 2009 全國(guó)卷 文 本小題滿分 10 分 已知等差數(shù)列 na 中 0 166473 a求 n 前 n 項(xiàng)和 s 解析 本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力 利用方程的思想可求解 解 設(shè) na的公差為 d 則 1126350d 即 22184a 解得 11 82ad 或 因此 9819n nSnSn 或 11 2009 廣 東 卷 理 本小題滿分 14 分 已知曲線 22 0 1 nCxy 從點(diǎn) 0 P向曲線 nC引斜率為 nk 的切線 l 切點(diǎn)為 nPx 1 求數(shù)列 nxy與 的通項(xiàng)公式 2 證明 135212sinnnxxy 解 1 設(shè) 直 線 nl kyn 聯(lián)立 02 得0 2 22 nxkx 則 1 4 22 nnkk 12 nk 舍去 22 kxnn 即 1 nx 12 nxkynn 2 證 明 211 nxn 12534321531 nxn nnx 12531 由于 nnyx 可令函數(shù) xxfsin2 則 xfcos21 令 0 xf 得 2cosx 給定區(qū)間 4 0 則有 0 f 則函數(shù) f在 4 0 上 單調(diào)遞減 ff 即 xsin2 在 恒成立 又43120 n 則有 2si n 即 nnyxxsi21 12 2009 安徽卷理 本小題滿分 13 分 首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 na滿足 21 3 4nnaN I 證明 若 1為奇數(shù) 則對(duì)一切 都是奇數(shù) II 若對(duì)一切 N 都有 1n 求 1的取值范圍 解 本小題主要考查數(shù)列 數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí) 考查推理論證 抽象概括 運(yùn) 算求解和探究能力 考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野 本小題滿分 13 分 解 I 已知 1a是奇數(shù) 假設(shè) 21kam 是奇數(shù) 其中 為正整數(shù) 則由遞推關(guān)系得 213 1 4kam 是奇數(shù) 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)任何 nN n都是奇數(shù) II 方法一 由 1 1 34aa 知 1na 當(dāng)且僅當(dāng) 1na 或 3n 另一方面 若 0 k 則 1k 若 k 則 213 4k 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法 1 1 0 n naNaN 綜合所述 對(duì)一切 nN 都有 1a 的充要條件是 0 或 13 方法二 由 2113 4a 得 2143 于是 1a或 1 221111 nnnnn aa 因?yàn)?21130 4na 所以所有的 n均大于 0 因此 1na 與 1na 同號(hào) 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法 N 1na 與 21同號(hào) 因此 對(duì)一切 n都有 的充要條件是 0a 或 13 13 2009 安徽卷文 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 求數(shù)列 與 的通項(xiàng)公式 設(shè) 證明 當(dāng)且僅當(dāng) n 3 時(shí) 思路 由 1 1 2nas 可求出 nab和 這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一 在求 出 nab和后 進(jìn)而得到 c 接下來用作差法來比較大小 這也是一常用方法 解析 1 由于 14as 當(dāng) 2 時(shí) 22 1 4nnnn maN 又當(dāng) x時(shí) 16mbTb1nb 數(shù)列 nb項(xiàng)與等比數(shù)列 其首項(xiàng)為 1 公比為 121 nb 2 由 1 知 22116 nnCa 2 216 nC 由 21 n 得 即 202 即 3 又 3 時(shí) 2 1成立 即 1nC 由于 n恒成立 因此 當(dāng)且僅當(dāng) n時(shí) 1n 14 2009 江西卷文 本小題滿分 12 分 數(shù)列 na的通項(xiàng) 22 cosi 3nn 其前 n 項(xiàng)和為 nS 1 求 S 2 3 4nb 求數(shù)列 nb 的前 n 項(xiàng)和 T 解 1 由于 22cosicos3 故312345632132 22 k kkSaaaak 8 9 2k 3134 2kkSa 23213 9 31 321 6kkkk 故 6 1 3 14 6nnSkn kN 2 39 2nnb 21394 4n nT 1 兩式相減得 1 23191994493 3 8 1242nnnn nT 故 2318 nn 15 2009 江西卷理 本小題滿分 14 分 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 na 12 b 且對(duì)滿足 mnpq 的正整數(shù) mnpq都有 1 pqmna 1 當(dāng) 4 25b 時(shí) 求通項(xiàng) na 2 證明 對(duì)任意 a 存在與 有關(guān)的常數(shù) 使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n 都有 1 na 解 1 由 1 1pqmna 得121 nna 將 24 5 代入化簡(jiǎn)得 12 n 所以 1 3nna 故數(shù)列 1 n為等比數(shù)列 從而 13na 即 1 n 可驗(yàn)證 1 n 滿足題設(shè)條件 2 由題設(shè) 1 mna 的值僅與 n 有關(guān) 記為 mnb 則11 nnnaab 考察函數(shù) 0 xfxa 則在定義域上有 1 2 011fxgaa 故對(duì) nN nbga 恒成立 又 22 1 nn 注意到 0ga 解上式得 1 2 1 2 12ngaga 取 ga 即有 n 16 2009 天津卷文 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 n的公差 d 不為 0 設(shè) 121 nnqaaS 121 NqaqaTnn 若 5 31 求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式 若 2Sd且 成等比數(shù)列 求 q 的值 若 222 1 1 1 NndTqqnn 證 明 答案 1 34 an 2 3 略 解析 1 解 由題設(shè) 15 2 3111 SaqdaqaS將 代入解得 4 d 所以 34 na N 2 解 當(dāng) 3212321 3 SdqSdqS 成等比數(shù)列 所以 31S 即 22 注意到 0 整理得 2 q 3 證明 由題設(shè) 可得 1 nb 則223212 nn qaqa 12 T 得 212342 nn qaqaS 得 212312 nnT 式兩邊同乘以 q 得 21232 nn qaqaTSq 所以 212322 1 ddSnnn 3 證明 nlklklk bababac n 2121 121 11 nqdqdldblk 因?yàn)?0 1 所以 12112 nqlkqlkldbc 若 nlk 取 i n 若 取 i 滿足 ilk 且 jjl nji 1 由 1 2 及題設(shè)知 n 1 且 1211 nqlkqlldbc 當(dāng) ilk 時(shí) il 由 1 2 iili 即 1 q 1 2 qk 21 iiii qk 所以 11 1 1 1212 iiii qqqqqdbc 因此 02 當(dāng) ilk 時(shí) 同理可得 121 dbc因此 02 c 綜上 21c 考點(diǎn)定位 本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和 等基本知識(shí) 考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力 17 2009 湖北卷理 本小題滿分 13 分 注意 在試題卷上作答無效 已知數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和 1 2nnSa n 為正整數(shù) 令 2b 求證數(shù)列 b是等差數(shù)列 并求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式 令 1nnc 12 nTcc試比較 T與 521 的大小 并予以證明 19 解析 I 在 1 nnSa 中 令 n 1 可得 11nSa 即 2a 當(dāng) 2 時(shí) 21 nnnna 1na 即 1 1 2n nbbb 即 當(dāng) 時(shí) 又 12數(shù)列 是首項(xiàng)和公差均為 1 的等差數(shù)列 于是 2nn na II 由 I 得 1 nc 所以23123 4 nnT K411 2 由 得 231 nnn 111 3421 23nnnnnT 55 3 21 2121nnn 于是確定 nT與 的大小關(guān)系等價(jià)于比較 n 與 的大小 由 2345 21 2 K 可猜想當(dāng) 31 n 時(shí) 證明如下 證法 1 1 當(dāng) n 3 時(shí) 由上驗(yàn)算顯示成立 2 假設(shè) k 時(shí) 12 21 42 1 2 1 kkkk g 所以當(dāng) n時(shí)猜想也成立 綜合 1 2 可知 對(duì)一切 3n 的正整數(shù) 都有 n 證法 2 當(dāng) 3 時(shí)012101 21nn nnn nCCCn K 綜上所述 當(dāng) 時(shí) 5T 當(dāng) 3 時(shí) 52T 18 2009 四川卷文 本小題滿分 14 分 設(shè)數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 對(duì)任意的正整數(shù) n 都有 1naS 成立 記 4 1nnbN I 求數(shù)列 a與數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式 II 設(shè)數(shù)列 n的前 項(xiàng)和為 R 是否存在正整數(shù) k 使得 4nRk 成立 若存在 找出 一個(gè)正整數(shù) k 若不存在 請(qǐng)說明理由 III 記 21 nncbN 設(shè)數(shù)列 nc的前 項(xiàng)和為 nT 求證 對(duì)任意正整數(shù) n都 有 3T 解析 I 當(dāng) 時(shí) 115 4 aSa 又 15 nnaS 115 4即 nnaa 數(shù)列 n是首項(xiàng)為 1 公比為 14q的等比數(shù)列 4 nna 4 nbN 3 分 II 不存在正整數(shù) k 使得 nRk 成立 證明 由 I 知 14 5 4 1 n nnb 21212520156408888 4 64 kkkkkkb 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 設(shè) nmN 123421 8mRbbbn 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 設(shè) 12342321 48mmmn 對(duì)于一切的正整數(shù) n 都有 nRk 不存在正整數(shù) k 使得 成立 8 分 III 由 54 1nnb 得 21221 22516156156 4 34 nnnnnnnnc 又 12234 bc 當(dāng) n時(shí) 1T 當(dāng) 時(shí) 2223 21 411465 53663931486nn nT 14 分 19 2009 全國(guó)卷 理 本小題滿分 12 分 設(shè)數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 已知 1 a 142nSa I 設(shè) 12b 證明數(shù)列 b是等比數(shù)列 II 求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式 解 I 由 1 a及 142nSa 有 1214 a 22353b 由 14nS 則當(dāng) 時(shí) 有 12nSa 得 1 2 nnaa 又 12nb b 是首項(xiàng) 13b 公比為 的等比數(shù)列 II 由 I 可得 113nn 24na 數(shù)列 2a是首項(xiàng)為 公差為 4的等比數(shù)列 4n 2 1 nna 評(píng)析 第 I 問思路明確 只需利用已知條件尋找 1nb與 的 關(guān) 系 即 可 第 II 問中由 I 易得 1123n 這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模 型 1 nnapq 為 常 數(shù) 主要的處理手段是兩邊除以 1nq 總體來說 09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó) I 這兩套試題都將數(shù)列題前置 主要考查構(gòu)造新 數(shù)列 全國(guó) I 還考查了利用錯(cuò)位相減法求前 n 項(xiàng)和的方法 一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式 放縮法問題作為押軸題的命題模式 具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí) 基本方法 基本技能 重視兩綱的導(dǎo)向作用 也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心 20 2009 湖南卷文 本小題滿分 13 分 對(duì)于數(shù)列 nu 若存在常數(shù) M 0 對(duì)任意的 nN 恒有 1121nnuuM 則稱數(shù)列 n為 B數(shù)列 首項(xiàng)為 1 公比為 2的等比數(shù)列是否為 B 數(shù)列 請(qǐng)說明理由 設(shè) nS是數(shù)列 nx的前 n 項(xiàng)和 給出下列兩組判斷 A 組 數(shù)列 是 B 數(shù)列 數(shù)列 nx不是 B 數(shù)列 B 組 數(shù)列 n是 B 數(shù)列 數(shù)列 S不是 B 數(shù)列 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件 另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題 判斷所給命題的真假 并證明你的結(jié)論 若數(shù)列 na是 B 數(shù)列 證明 數(shù)列 2 na也是 B 數(shù)列 解 設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 則 1 n 于是1221 3 2nnnna 1121 nnaa 2n32 n33 所以首項(xiàng)為 1 公比為 的等比數(shù)列是 B 數(shù)列 命題 1 若數(shù)列 nx是 B 數(shù)列 則數(shù)列 nS是 B 數(shù)列 此命題為假命題 事實(shí)上設(shè) n 1 N 易知數(shù)列 x是 B 數(shù)列 但 n n 1121 nnSS 由 n 的任意性知 數(shù)列 不是 B 數(shù)列 命題 2 若數(shù)列 n是 B 數(shù)列 則數(shù)列 nx不是 B 數(shù)列 此命題為真命題 事實(shí)上 因?yàn)閿?shù)列 S是 B 數(shù)列 所以存在正數(shù) M 對(duì)任意的 nN 有 1121 nnSS 即 12 nnxxM 于是 1121nnxxx 1 2n M 所以數(shù)列 nx是 B 數(shù)列 注 按題中要求組成其它命題解答時(shí) 仿上述解法 若數(shù)列 na是 B 數(shù)列 則存在正數(shù) M 對(duì)任意的 nN 有 1121na 因?yàn)?21nna 12 1na a 記 KM 則有 11 nnna 1 2K 因此 2221 1 nnaM 故數(shù)列 是 B 數(shù)列 21 2009 遼寧卷文 本小題滿分 10 分 等比數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為 ns 已知 1S 3 2成等差數(shù)列 1 求 的公比 q 2 若 1 3 3 求 ns 解 依題意有 2 21111 qaqa 由于 0 故 2 又 q 從而 21 5 分 由已知可得 31 a 故 41 a 從而 nnn 213821 S 10 分 22 2009 陜西卷文 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 na滿足 112 2naaN 令 1b 證明 nb是等比數(shù)列 求 n的通項(xiàng)公式 1 證 121 a 當(dāng) 時(shí) 1 11 222nn nnnabab 所以 是以 1 為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 2 解由 1 知 11 nnna 當(dāng) n 時(shí) 2321 naa 21 2n 1 2n 21 n 15 n 當(dāng) 1n時(shí) 115 3a 所以 naN 23 2009 陜西卷理 本小題滿分 12 分 已知數(shù)列 nx滿足 11 2nnxN 猜想數(shù)列 n的單調(diào)性 并證明你的結(jié)論 證明 11 65nx 證 1 由 1n 1244n5132382xxx 及 得 由 246 猜想 數(shù)列 2是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 當(dāng) n 1 時(shí) 已證命題成立 2 假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)命題成立 即 22kx 易知 20kx 那么 23124212323 1 kkkkkkxx 2212230 1 kkkk 即 2 1 2 kkx 也就是說 當(dāng) n k 1 時(shí)命題也成立 結(jié)合 1 和 2 知 命題成立 2 當(dāng) n 1 時(shí) 216nxx 結(jié)論成立 當(dāng) n 時(shí) 易知 1110 2nnnnx 11115 2n nnnxx 111 nnnnxx 2n 11122n 25556nx 24 2009 四川卷文 本小題滿分 14 分 設(shè)數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 對(duì)任意的正整數(shù) n 都有 51naS 成立 記 4 1nnbN I 求數(shù)列 a與數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式 II 設(shè)數(shù)列 nb的前 項(xiàng)和為 nR 是否存在正整數(shù) k 使得 4nRk 成立 若存在 找出 一個(gè)正整數(shù) k 若不存在 請(qǐng)說明理由 III 記 21 nncN 設(shè)數(shù)列 nc的前 項(xiàng)和為 nT 求證 對(duì)任意正整數(shù) n都 有 3T 解析 I 當(dāng) 時(shí) 115 4 aSa 又 15 nnaS11 4即 nnna 數(shù)列 na是首項(xiàng)為 1 公比為 14 q的等比數(shù)列 4 nn 4 nbN 3 分 II 不存在正整數(shù) k 使得 nRk 成立 證明 由 I 知 14 5 4 1 n nnb 21212520156408888 4 64 kkkkkkb 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 設(shè) nmN 123421 8mRbbbn 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 設(shè) 12342321 48mmmn 對(duì)于一切的正整數(shù) n 都有 nRk 不存在正整數(shù) k 使得 成立 8 分 III 由 54 1nnb 得 21221 2255161561564 4 34 nnnnnnnncb 又 1223 c 當(dāng) n時(shí) 1T 當(dāng) 時(shí) 2223 21 41465 531663931486nn n 14 分 25 2009 湖北卷文 本小題滿分 12 分 已知 a n 是一個(gè)公差大于 0 的等差數(shù)列 且滿足 a3a6 55 a 2 a7 16 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 若數(shù)列 a n 和數(shù)列 b n 滿足等式 a n 2 2n31為 正 整 數(shù)bb 求數(shù) 列 b n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 解 1 解 設(shè)等差數(shù)列 的公差為 d 則依題設(shè) d 0 由 a2 a7 16 得 176ad 由 365 得 1 2 5 由 得 1 將其代入 得 3 1620d 即 25690d 24 0 21nddan 又 代 入 得 a 2 令 2121 n nnbcccac 則 有 兩式 相減得 111 11 2 2 n nnabbab 由 得 即 當(dāng) 時(shí) 又 當(dāng) 時(shí) 于是 34112322nnnSbb 2341 4 1 2 6 6nnnS 即 26 2009 湖南卷理 本小題滿分 13 分 對(duì)于數(shù)列 nu若存在常數(shù) M 0 對(duì)任意的 nN 恒有 1121 n u 則稱數(shù)列 n為 B 數(shù)列 1 首項(xiàng)為 1 公比為 q 的等比數(shù)列是否為 B 數(shù)列 請(qǐng)說明理由 請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件 另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題 判斷所給命題的真假 并證明你的結(jié)論 2 設(shè) nS是數(shù)列 nx的前 項(xiàng)和 給出下列兩組論斷 A 組 數(shù)列 是 B 數(shù)列 數(shù)列 nx不是 B 數(shù)列 B 組 數(shù)列 n是 B 數(shù)列 數(shù)列 S不是 B 數(shù)列 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件 另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題 判斷所給命題的真假 并證明你的結(jié)論 3 若數(shù)列 nab都是 B 數(shù)列 證明 數(shù)列 nab也是 B 數(shù)列 解 1 設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 n 則 1q 于是 212 nnq 因此 1a na 1 2a 1 21 nqq 因?yàn)?q 所以 2 nqq 即 1121 nnaaa 故首項(xiàng)為 1 公比為 q 的等比數(shù)列是 B 數(shù)列 2 命題 1 若數(shù)列 nx是 B 數(shù)列 則數(shù)列 nS是 B 數(shù)列 次命題為假命題 事實(shí)上 設(shè) nN 易知數(shù)列 nx是 B 數(shù)列 但 nS 1121 nSS 由 的任意性知 數(shù)列 是 B 數(shù)列此命題為 命題 2 若數(shù)列 n是 B 數(shù)列 則數(shù)列 nx是 B 數(shù)列 此命題為真命題 事實(shí)上 因?yàn)閿?shù)列 nS是 B 數(shù)列 所以存在正數(shù) M 對(duì)任意的 1 n 有 1121 nS 即 2 nxx 于是 1121 nx 12nxxMx 所以數(shù)列 是 B 數(shù)列 III 若數(shù)列 na b 是 B 數(shù)列 則存在正數(shù) 12 對(duì)任意的 nN 有 1121 n a 2nbbM 注意到 121 nnaa 1na 同理 21nbM 記 2K 則有 22Kb 1111nnnnnnaaba 1nb kb 因此 112122 nnKM 1121212 nnKbbakM 故數(shù)列 a是 B數(shù)列 27 2009 天津卷理 本小題滿分 14 分 已知等差數(shù)列 n 的公差為 d d 0 等比數(shù)列 nb 的公比為 q q 1 設(shè) ns 1ab 2ab T 1ab 2 1 1 n a n N I 若 1 1 d 2 q 3 求 3S 的值 II 若 1b 1 證明 1 q 2n 1 q 2nT 2 1 ndq n 若正數(shù) n 滿足 2 n q 設(shè) 1212 nnkll和 是 的兩個(gè)不同的排列 12 nkkcabab 122 nlllcabab 證明 12c 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí) 考 查運(yùn)算能力 推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力 滿分 14 分 解 由題設(shè) 可得 1 2 3 nnabN 所以 312359Sb 證明 由題設(shè)可得 1nq 則222123 n naa 314222 nnTSqq 式減去 式 得 式加上 式 得 222131 nnSTaqaq 式兩邊同乘 q 得 32121 nn 所以 2222 1 nnnnqSTSqST 3212 1 nndqN K 證明 1212 nklklklncababab 111dqdq K 因?yàn)?10 db 所以 1212 nckllqklq 1 若 nkl 取 i n 2 若 取 i 滿足 ikl 且 1jlijn 由 1 2 及題設(shè)知 1n 且 212211 iiiiickllqlqkldb K 當(dāng) il 時(shí) 得 3 i ilnklii 由 得 即 1kq 2 1 kq 21 1 iiiiq 又 1 iiil所以 12112 1 iiicqqqdb q K 因此 12120 c 即 當(dāng) ikl 同理可得 1db 因此 12c 綜上 12c 28 2009 四川卷理 本小題滿分 14 分 設(shè)數(shù)列 na的前 項(xiàng)和為 nS 對(duì)任意的正整數(shù) n 都有 51naS 成立 記 4 1nnabN I 求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式 II 記 21 cb 設(shè)數(shù)列 nc的前 項(xiàng)和為 nT 求證 對(duì)任意正整數(shù) n都 有 3nT III 設(shè)數(shù)列 n的前 項(xiàng)和為 nR 已知正實(shí)數(shù) 滿足 對(duì)任意正整數(shù) nR 恒成立 求 的最小值 本小題主要考查數(shù)列 不等式等基礎(chǔ)知識(shí) 考查化歸思想 分類整合思想 以及推理論證 分析與解決問題的能力 解 當(dāng) 1n 時(shí) 115 4aa 又 5 na Q114nn 即 數(shù)列 成等比數(shù)列 其首項(xiàng) 1a 公比是 14q 4nna 1 nnb 3 分 由 知 54 1nnb 21221256 14nnnnnc 225656 34 nnnn 又 121 bc 當(dāng) 1nT 時(shí) 當(dāng) 23415 366n n K時(shí) 122 4165393 71486n 分 由 知 5 nnb 一方面 已知 nR 恒成立 取 n 為大于 1 的奇數(shù)時(shí) 設(shè) 21 nkN 則 1221nkb K 32145 414k K 12 21 k n4 41Rn 即 對(duì)一切大于 1 的奇數(shù) n 恒成立 否 則 只對(duì)滿足 4 的正奇數(shù) n 成立 矛盾 另一方面 當(dāng) 時(shí) 對(duì)一切的正整數(shù) n 都有 nR 事實(shí)上 對(duì)任意的正整數(shù) k 有2121258 4 1nkkb 0 16 4kk 588 kk 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 設(shè) 2 nmN 則 123421 mRbbb K 8 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 設(shè) 21 nmN 則 12342321 mmRbbb K 88 對(duì)一切的正整數(shù) n 都有 nR 綜上所述 正實(shí)數(shù) 的最小值為 4 14 分 29 2009 福建卷文 本小題滿分 2 分 等比數(shù)列 na中 已知 142 6a I 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 若 35 分別為等差數(shù)列 nb的第 3 項(xiàng)和第 5 項(xiàng) 試求數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和 nS 解 I 設(shè) a的公比為 q 由已知得 3162 解得 2 由 I 得 8 5a 則 38b 52 設(shè) nb的公差為 d 則有 14d 解得 16 從而 162 28nn 所以數(shù)列 b的前 項(xiàng)和 2 16 6Sn 30 2009 年上海卷理 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 5 分 第 2 小 題滿分 5 分 第 3 小題滿分 8 分 已知 na是公差為 d的等差數(shù)列 nb是公比為 q的等比數(shù)列 1 若 1 是否存在 mkN 有 1 mka 說明理由 2 找出所有數(shù)列 na和 b 使對(duì)一切 n nb 并說明理由 3 若 115 43 dq 試確定所有的 p 使數(shù)列 na中存在某個(gè)連續(xù) p項(xiàng)的和 是數(shù)列 nb中的一項(xiàng) 請(qǐng)證明 解法一 1 由 1mka 得 6531k 2 分 整理后 可得 423k N 2m 為整數(shù) 不存在 N 使等式成立 5 分 2 若 1nab 即 11 nadbq 若 0 d則 1nq 當(dāng) na 為非零常數(shù)列 nb 為恒等于 1 的常數(shù)列 滿足要求 7 分 若 0d 式等號(hào)左邊取極限得 1lim nad 式等號(hào)右邊的極限 只有當(dāng) 1q 時(shí) 才能等于 1 此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù) 0 矛盾 綜上所述 只有當(dāng) na 為非零常數(shù)列 nb 為恒等于 1 的常數(shù)列 滿足要求 10 分 解法二 設(shè) 1 nn ndca 若 且 為 等 比 數(shù) 列 則 221 1 n nnaqNqa 對(duì) 都 成 立 即 2 dcdcdc 2 7Nqd 對(duì) 都 成 立 分 i 若 d 0 則 0 1 nnab ii 若 則 q m 常數(shù) 即 dncm 則 d 0 矛盾 綜上所述 有 nnn baNbca 1 10使 對(duì) 一 切 10 分 3 3 4nn 設(shè) mkpbakpmm a 21 kpm321 41 Nspk 35 13 分 取 03 14 2 14 324 2 sssssk 15 分 由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù) M1 M2 使得 4 1 2s 2 4M1 1 8 1 2ss 4 滿 足 要 求存 在 整 數(shù) mms 故當(dāng)且僅當(dāng) p 3s s N 時(shí) 命題成立 說明 第 3 題若學(xué)生從以下角度解題 可分別得部分分 即分步得分 若 p 為偶數(shù) 則 am 1 am 2 am p 為偶數(shù) 但 3k 為奇數(shù) 故此等式不成立 所以 p 一定為奇數(shù) 當(dāng) p 1 時(shí) 則 am 1 bk 即 4m 5 3k 而 3k 4 1 k 1 4 1 4 1 41110 ZMCC kkkkkk 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 存在 使 3 k 成立 1 分 當(dāng) p 3 時(shí) 則 am 1 am 2 am 3 bk 即 3am 2 bk 也即 3 4m 9 3k 所以 4m 9 3k 1 4 m 1 5 3k 1 由已證可知 當(dāng) k 1 為偶數(shù)即 k 為奇數(shù)時(shí) 存在 m 4m 9 3k 成立 2 分 當(dāng) p 5 時(shí) 則 am 1 am 2 am 5 bk 即 5am 3 bk 也即 5 4m 13 3 k 而 3k 不是 5 的倍數(shù) 所以 當(dāng) p 5 時(shí) 所要求的 m 不存在 故不是所有奇數(shù)都成立 2 分 31 2009 上海卷文 本題滿分 18 分 本題共有 3 個(gè)小題 第 1 小題滿分 5 分 第 2 小題 滿分 5 分 第 3 小題滿分 8 分 已知 na是公差為 d 的等差數(shù)列 nb是公比為 q 的等比數(shù)列 1 若 1 是否存在 mN 有 1mka 請(qǐng)說明理由 2 若 nbq a q 為常數(shù) 且 aq 0 對(duì)任意 m 存在 k 有 1mkb 試求 a q 滿足的充要條件 3 若 21 3nnab 試確定所有的 p 使數(shù)列 nb中存在某個(gè)連續(xù) p 項(xiàng)的和式數(shù)列中 的一項(xiàng) 請(qǐng)證明 解 1 由 1 mka 得 631k 整理后 可得 42 kN 為整數(shù) 不存在 n 使等式成立 2 當(dāng) 1m 時(shí) 則 2312 kkbaq 3 kaq 即 c 其中 是大于等于 的整數(shù) 反之當(dāng) c時(shí) 其中 是大于等于 的整數(shù) 則 ncbq 顯然 1211mcmckbq 其中 21m a 滿足的充要條件是 a 其中 是大于等于 的整數(shù) 3 設(shè) 12mmpkb 當(dāng) p為偶數(shù)時(shí) 式左邊為偶數(shù) 右邊為奇數(shù) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) 式不成立 由 式得 13 21mpk 整理得 13 42mpk 當(dāng) p 時(shí) 符合題意 當(dāng) 3 為奇數(shù)時(shí) 1 2 pp 0121212pppppCCp 由 13 4mk 得 12223 1mppCCk 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) 此時(shí) 一定有 m和 使上式一定成立 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) 命題都成立 32 2009 重慶卷理 本小題滿分 12 分 問 5 分 問 7 分 設(shè) 個(gè)不全相等的正數(shù) 12 7 ma 依次圍成一個(gè)圓圈 若 209 且 105 是公差為 d的等差數(shù)列 而1209816 a 是公比為 qd 的等比數(shù)列 數(shù)列 12 ma 的前 n項(xiàng)和 nSm 滿足 32090715 2SS 求通項(xiàng) n 若每個(gè)數(shù) nam 是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng) 求證 2216712a 21 本小題 12 分 解 I 因 12098106 aa 是公比為 d 的等比數(shù)列 從而208d 由 2908120891Saa 得 故 解得 3或 4 舍去 因此 3 又 15Sa 解得 1a 從而當(dāng) 0n 時(shí) 1 23 dn 當(dāng) 69時(shí) 由 12098106 aa 是公比為 d 的等比數(shù)列得209 1 2011 6 nnnad 因此 209 3 59nn II 由題意 22211 nnmmaaa 得112 nma 有 得 13456122 aa 由 得 2121 nnaa 故 12n 又 13 3 rrr rama 故有63 6 rrr 下面反證法證明 mk 若不然 設(shè) 15p 其 中 若取 1p即 6k 則由 得 61mka 而由 得 1122 ma 故 得 2 a 由 得 161 mka 從 而 而1622 故 由 及 可推得 na 與題設(shè)矛盾 同理若 P 2 3 4 5 均可得 1n 與題設(shè)矛盾 因此 6mk 為 6 的倍數(shù) 由均值不等式得 21123612 aaa K 由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等 否則 123 從而 451maa K與題設(shè)矛 盾 故等號(hào)不成立 從而 1236aa K