熱力學與統(tǒng)計物理課后習題答案第六章.doc
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第六章 近獨立粒子的最概然分布 6.1 試根據(jù)式(6.2.13)證明:在體積V內,在到的能量范圍內,三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 解: 式(6.2.13)給出,在體積內,在到到到的動量范圍內,自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 (1) 用動量空間的球坐標描述自由粒子的動量,并對動量方向積分,可得在體積V內,動量大小在到范圍內三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 (2) 上式可以理解為將空間體積元(體積V,動量球殼)除以相格大小而得到的狀態(tài)數(shù). 自由粒子的能量動量關系為 因此 將上式代入式(2),即得在體積V內,在到的能量范圍內,三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 (3) 6.2 試證明,對于一維自由粒子,在長度L內,在到的能量范圍內,量子態(tài)數(shù)為 解: 根據(jù)式(6.2.14),一維自由粒子在空間體積元內可能的量子態(tài)數(shù)為 在長度L內,動量大小在到范圍內(注意動量可以有正負兩個可能的方向)的量子態(tài)數(shù)為 (1) 將能量動量關系 代入,即得 (2) 6.3 試證明,對于二維的自由粒子,在面積內,在到的能量范圍內,量子態(tài)數(shù)為 解: 根據(jù)式(6.2.14),二維自由粒子在空間體積元內的量子態(tài)數(shù)為 (1) 用二維動量空間的極坐標描述粒子的動量,與的關系為 用極坐標描述時,二維動量空間的體積元為 在面積內,動量大小在到范圍內,動量方向在到范圍內,二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 (2) 對積分,從0積分到,有 可得在面積內,動量大小在到范圍內(動量方向任意),二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 (3) 將能量動量關系 代入,即有 (4) 6.4 在極端相對論情形下,粒子的能量動量關系為 試求在體積V內,在到的能量范圍內三維粒子的量子態(tài)數(shù). 解:式(6.2.16)已給出在體積V內,動量大小在到范圍內三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 (1) 將極端相對論粒子的能量動量關系 代入,可得在體積V內,在到的能量范圍內,極端相對論粒子的量子態(tài)數(shù)為 (2) 6.5 設系統(tǒng)含有兩種粒子,其粒子數(shù)分別為和. 粒子間的相互作用很弱,可以看作是近獨立的. 假設粒子可以分辨,處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制. 試證明,在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為 和 其中和是兩種粒子的能級,和是能級的簡并度. 解: 當系統(tǒng)含有兩種粒子,其粒子數(shù)分別為和,總能量為E,體積為V時,兩種粒子的分布和必須滿足條件 (1) 才有可能實現(xiàn). 在粒子可以分辨,且處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制的情形下,兩種粒子分別處在分布和時各自的微觀狀態(tài)數(shù)為 (2) 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 (3) 平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式(1)的條件下使或為極大的分布. 利用斯特令公式,由式(3)可得 為求使為極大的分布,令和各有和的變化,將因而有的變化. 使為極大的分布和必使 即 但這些和不完全是獨立的,它們必須滿足條件 用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去,得 根據(jù)拉氏乘子法原理,每個和的系數(shù)都等于零,所以得 即 (4) 拉氏乘子和由條件(1)確定. 式(4)表明,兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布. 兩個分布的和可以不同,但有共同的. 原因在于我們開始就假設兩種粒子的粒子數(shù)和能量E具有確定值,這意味著在相互作用中兩種粒子可以交換能量,但不會相互轉化. 從上述結果還可以看出,由兩個弱相互作用的子系統(tǒng)構成的系統(tǒng)達到平衡時,兩個子系統(tǒng)有相同的. 6.6 同上題,如果粒子是玻色子或費米子,結果如何? 解: 當系統(tǒng)含有個玻色子,個費米子,總能量為E,體積為V時,粒子的分布和必須滿足條件 (1) 才有可能實現(xiàn). 玻色子處在分布,費米子處在分布時,其微觀狀態(tài)數(shù)分別為 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 (3) 平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式(1)條件下使或為極大的分布. 將式(2)和式(3)取對數(shù),利用斯特令公式可得 令各和有和的變化,將因而有的變化,使用權為極大的分布和必使 即 但這此致和不完全是獨立的,它們必須滿足條件 用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去,得 根據(jù)拉氏乘子法原理,每個和的系數(shù)都等于零,所以得 即 (4) 拉氏乘子和由條件(1)確定. 式(4)表明,兩種粒子分別遵從玻色分布和費米分布,其中和不同,但相等.- 配套講稿:
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