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【金版學(xué)案】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識整合 蘇教版必修5 題型1　求數(shù)列的通項公式 一、觀察法 　寫出下列數(shù)列的一個通項公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)2，，，，，… (3)，，，，2，… (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，… 分析：觀察數(shù)列中的每一項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系，以及所給數(shù)列與一些特殊數(shù)列之間的關(guān)系． 解析：(1)原數(shù)列的各項可看成數(shù)列{an}：1，－1,1，－1，…與數(shù)列{bn}：1,7,13,19,25，…對應(yīng)項相乘的結(jié)果． 又an＝(－1)n＋1，bn＝1＋6(n－1)＝6n－5. 故原數(shù)列的一個通項公式為cn＝(－1)n＋1(6n－5)． (2)原數(shù)列可改寫成 1＋，2＋，3＋，4＋，…. 故其通項公式為an＝n＋. (3)這個分數(shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯，不妨把分子變成4，然后看分母，從而有，，，，…， 分母正好構(gòu)成等差數(shù)列，從而原數(shù)列的通項公式為 an＝. (4)注意到此數(shù)列的特點：奇數(shù)項與項數(shù)相等，偶數(shù)項比項數(shù)大1，故它可改寫成 1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1，… 所以原數(shù)列的通項公式為an＝n＋＋. ?歸納拓展 (1)觀察是歸納的前提，合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵． (2)由數(shù)列的前n項歸納出的通項公式不一定唯一．如數(shù)列5,0，－5,0,5，…的通項公式可為5cos(n∈N*)，也可為an＝5sin(n∈N*)． (3)已知數(shù)列的前n項，寫出數(shù)列的通項公式時，要熟記一些特殊數(shù)列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系，從而寫出數(shù)列的通項公式． ?變式遷移 1．寫出下列數(shù)列的一個通項公式． (1)1，－，，－，…； (2)，，2，2，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)1，－4,7，－10,13，…. 解析：(1)an＝(－1)n＋1. (2)原數(shù)列可寫成，，，，…，易得an＝. (3)∵3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4,15＝1＋2＋3＋4＋5，…，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝. (4)∵1,4,7,10,13，…組成1為首項，3為公差的等差數(shù)列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)． 二、利用an＝求an 　設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式． 分析：由Sn與an的關(guān)系消去Sn(或an)，轉(zhuǎn)化為an(或Sn)的遞推關(guān)系求解． 解析：∵Sn＝(an－1)， ∴當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝(a1－1)，解得a1＝3. 當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝3， ∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列，且首項a2＝3a1＝9. ∴n≥2時，an＝93n－2＝3n.顯然n＝1時也成立． 故數(shù)列的通項公式為an＝3n(n∈N*)． ?歸納拓展 已知數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．這里常常因為忽略了n≥2的條件而出錯，即由an＝Sn－Sn－1求得an時的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當(dāng)n＝1時Sn－1＝S0，而與前n項和定義矛盾．可見由an＝Sn－Sn－1所確定的an，當(dāng)n＝1時的a1與S1相等時，an才是通項公式，否則要用分段函數(shù)表示為 an＝ ?變式遷移 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值． 解析：(1)當(dāng)n＝1時，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)求{an}的通項公式． 解析：(2)n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1. ∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，① Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2， 即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即＝2. a1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2， ∴{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＋2＝32n－1，故an＝32n－1－2. 三、疊加法 　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝3n－1＋an－1 (n≥2)．(1)求a2，a3； (2)證明an＝. 分析：已知a1，由遞推公式可以求出a2，a3，因為an＝3n－1＋an－1屬于an＋1＝an＋f(n)型遞推公式，所以可以用疊加法求出an. 解析：(1)∵a1＝1， ∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)由已知an－an－1＝3n－1， 令n分別取2,3,4，…，n得 a2－a1＝31， a3－a2＝32， a4－a3＝33， … an－an－1＝3n－1， 以上n－1個式子相加，得an－a1＝31＋32＋…＋3n－1. ∴an＝， ∵n＝1時，a1＝＝1，∴an＝. ?歸納拓展 (1)對n＝1時，檢驗a1 ＝1是否滿足an＝是必要的，否則就要寫成分段的形式． (2)如果給出數(shù)列{an}的遞推公式為an＝an－1＋f(n)型，并且{f(n)}容易求和，這時可采用疊加法． 對n＝1檢驗是必要的，否則就要寫成分段函數(shù)的形式，這里說的f(n)易求和，指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和，或是常見的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝等． ?變式遷移 3．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋n2，且a1＝1，求{an}的通項公式． 解析：∵an＋1＝an＋n2，∴an＋1－an＝n2， ∴疊加即得 an－a1＝12＋22＋…＋(n－1)2＝， ∴an＝n(n－1)(2n－1)＋1. 四、疊乘法 　在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求數(shù)列{an}的通項公式an. 分析：由an＋1＝an?＝知，已知條件屬于＝f(n)型遞推公式，所以用疊乘法求出an. 解析：由a1＝2，an＋1＝an，∴＝. 取n＝1,2,3…，n－1得 ＝，＝，＝，… ＝，＝. 把上述各式兩邊分別相乘，得： …＝…， ∴＝，∴an＝a1， 即an＝n(n＋1)． 當(dāng)n＝1時，a1＝2適合上式． 故an＝n(n＋1)(n∈N*)． ?歸納拓展 如果數(shù)列{an}的遞推公式為＝f(n)型時，并且{f(n)}容易求前n項的積，這時可采用疊乘法．疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況． ?變式遷移 4．在數(shù)列{an}中，已知a1＝，an＋1＝2nan，求an. 解析：由an＋1＝2nan得＝2n， ∴＝21，＝22，…，＝2n－1，疊乘得＝222…2n－1＝2， ∴an＝2＝2 五、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法 　已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝，則通項公式an＝________. 分析：通過觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到與的關(guān)系，也可以將式子乘開得到an＋1an＋2an＋1＝2an兩邊同時除以2anan＋1，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解． 解析：解法一：將an＋1＝兩邊取倒數(shù)，得 ＝＝＋，∴－＝， ∴數(shù)列是首項為＝1，公差為的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)＝，∴an＝. 解法二：(1)∵an＋1＝，∴an＋1(an＋2)＝2an， ∴an＋1an＝2an－2an＋1. 兩邊同除以2an＋1an得－＝. ∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項為＝1，公差為. ∴＝＋(n－1)＝. ∴an＝. 答案： ?歸納拓展 根據(jù)已知條件構(gòu)造一個與{an}有關(guān)的新的數(shù)列，通過新數(shù)列通項公式的求解求得{an}的通項公式．新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q為常數(shù))的形式，往往變?yōu)閍n－λ＝p(an－1－λ)，構(gòu)成等比數(shù)列，求an－λ通項公式，再求an. ?變式遷移 5．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an－2，求an. 解析：由an＋1＝3an－2，設(shè)an＋1＋k＝3(an＋k)，其中k是待定系數(shù)，即an＋1＝3an＋2k與條件進行對比，得2k＝－2，∴k＝－1.故an＋1－1＝3(an－1)，∴{an－1}是2－1＝1為首項，公比為3的等比數(shù)列，∴an－1＝13n－1，∴an＝3n－1＋1. 題型2　數(shù)列的求和 一、公式法 　(1)求1＋4＋7＋…＋(3n＋1)的值； (2)若數(shù)列{xn}滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(n∈N*，a＞0，且a≠1)且x1＋x2＋x3＋…x100＝100，求x101＋x102＋…x200的值． 分析：(1)中1,4,7，…，3n＋1是個等差數(shù)列，但容易這樣求解：Sn＝＝＋n.這是錯誤的，錯在沒搞清此數(shù)列有多少項．(2)可以作個變換logaxn＋1－logaxn＝loga＝1，推導(dǎo)出{xn}是等比數(shù)列再求解． 解析：(1)∵數(shù)列中30＋1＝1， ∴第1項1是n＝0時得到的， ∴此數(shù)列是首項為1，末項為3n＋1，項數(shù)為n＋1的等差數(shù)列． ∴Sn＝＝＋＋1. (2)由logaxn＋1＝1＋logaxn得logaxn＋1－logaxn＝1， ∴l(xiāng)oga＝1， ∴＝a， ∴數(shù)列{xn}是公比為a的等比數(shù)列． 由等比數(shù)列的性質(zhì)得： x101＋x102＋…x200＝(x1＋x2＋…x100)a100＝100a100. ?歸納拓展 數(shù)列求和常用的公式有： 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝ k＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)； k2＝12＋22＋32＋…n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ?變式遷移 6．設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1,1,2，…，求{cn}的前10項之和． 解析：設(shè){an}的首項為a，公比為q，{bn}首項為b，公差為d，b1＝0，由c1＝a1＋b1＝1，知a1＝1. c2＝a2＋b2＝q＋d＝1， c3＝a3＋b3＝q2＋2d＝2， 解得q＝2，d＝－1，∴an＝2n－1，bn＝1－n， ∴cn＝2n－1＋(1－n)． ∴{cn}前10項和為a1＋a2＋…＋a10＋(b1＋b2＋…＋b10)＝＋＝ 978. 二、分組求和法 求和：2＋2＋…＋2. 分析：此數(shù)列的通項公式是an＝2＝x2n＋2＋，而數(shù)列{x2n}，是等比數(shù)列，2是常數(shù)，故采用分組求和法． 解析：當(dāng)x≠1時， Sn＝＋＋…＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋＋2n ＝＋＋2n ＝＋2n. 當(dāng)x＝1時，Sn＝4n. 綜上，Sn＝ ?歸納拓展 將數(shù)列的每一項拆成多項，然后重新分組，將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題，運用的是化歸的數(shù)學(xué)思想，通項變形是這種方法的關(guān)鍵． ?變式遷移 7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n＋1)，求{an}的前n項和Sn. 解析：an＝n(n＋1)＝n＋n2， ∴Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋22＋32＋…＋n2)＝＋＝. 三、裂項相消法 　求數(shù)列＋＋＋＋…＋的前n項和． 分析：通項an＝＝＝，所以可以使用裂項相消法． 解析：∵an＝＝＝， ∴Sn＝＋＋＋＋…＋＋ ＝＋－＋…＋ ＝ ＝－－. ?歸納拓展 裂項相消求和就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項．使數(shù)列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，從而達到求和的目的． 常見的拆項公式有： (1)＝－； (2)＝； (3)＝； (4)＝(－)； (5)an＝Sn－Sn－1(n≥2)． ?變式遷移 8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，求{an}的前n項和Sn. 解析：∵＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 四、錯位相減法 　求數(shù)列的前n項和Sn. 分析：此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列，其通項公式an＝可以認為是一個等差數(shù)列bn＝n與一個等比數(shù)列cn＝相乘得到的，可以用乘公比錯位相減法來求解． 解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， Sn＝1＋2＋3＋…＋n，① Sn＝1＋2＋…＋(n－1)＋n，② ①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－n ＝－n ＝1－－n， ∴Sn＝2－－. ?歸納拓展 若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為{anbn}，當(dāng)求該數(shù)列前n項和時，常常采用將{anbn}的各項乘以公比，并向后錯一項與{anbn}的同項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，這種求和的方法稱為錯位相減法． ?變式遷移 9．求和：Sn＝12＋422＋723＋…＋(3n－2)2n. 解析：因為Sn＝12＋422＋723＋…＋[3(n－1)－2]2n－1＋(3n－2)2n，① 2Sn＝122＋423＋…＋[3(n－1)－2]2n＋(3n－2)2n＋1，② 所以①－②得 －Sn＝12＋322＋323＋…＋32n－(3n－2)2n＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)2n＋1－4 ＝3(2n＋1－2)－(3n－2)2n＋1－4 ＝32n＋1－6－3n2n＋1＋2n＋2－4 ＝2n＋2＋3(1－n)2n＋1－10. 所以Sn＝3(n－1)2n＋1－2n＋2＋10. 五、倒序相加法求和 　設(shè)f(x)＝，利用教科書上推導(dǎo)數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________． 分析：若直接求解則相當(dāng)麻煩，考慮f(x)＝的特點及f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…的特點，f(x)與f(1－x)是否有某種特別的聯(lián)系，如果有則可以用求等差數(shù)列前n項和公式的方法解答此題． 解析：∵f(x)＝， ∴f(1－x)＝＝＝. ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝. 設(shè)S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒過來，則有 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)， ∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝6. ∴S＝3. ?歸納拓展 此題運用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和，由此可以看出，熟練掌握重要的定理、公式的推導(dǎo)過程是非常重要的，它有助于同學(xué)們理解各種解題方法，強化思維過程的訓(xùn)練．當(dāng)數(shù)列{an}滿足ak＋an－k＝常數(shù)時，可用倒序相加法求數(shù)列{an}的前n項和． ?變式遷移 10．設(shè)f(x)＝，求和S＝f(2 014)＋f(2 013)＋f(2 012)＋…＋f(1)＋f＋f＋…＋f＋f. 解析：∵f(x)＝，∴f＝＝， ∴f(x)＋f＝1， S＝f(2 014)＋f(2 013)＋…＋f(1)＋f＋…＋f， 又S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)， 兩式相加得2S＝2 014＋2 013，∴S＝. 題型3　數(shù)列應(yīng)用題 一、與等差數(shù)列有關(guān)的實際應(yīng)用題 有30根水泥電線桿，要運往1 000米遠的地方安裝，在1 000米處放一根，以后每隔50米放一根，一輛汽車每次只能運三根，如果用一輛汽車完成這項任務(wù)(完成任務(wù)回到原處)，那么這輛汽車的行程共為多少千米？ 分析：讀懂題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，關(guān)鍵要找準(zhǔn)首項、公差，弄清an還是Sn. 解析：如下圖所示，假定30根水泥電線桿存放在M處，則a1＝MA＝1 000， a2＝MB＝1 050， a3＝MC＝1 100， a6＝a3＋503＝1 250， … a30＝a3＋1509， 由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運一次只能到a3，a6，a9，…，a30，這些地方，這樣組成公差為150，首項為1 100的等差數(shù)列，令汽車的行程為S， 則S＝2(a3＋a6＋…＋a30) ＝2(a3＋a3＋1501＋…＋a3＋1509) ＝2＝35.5(千米)， 即這輛汽車的行程為35.5千米． ?歸納拓展 對于與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題，要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一個比一個多(少)”等，此時可化歸為等差數(shù)列，明確已知a1，an，n，d，Sn中的哪幾個量，求哪幾個量，選擇哪一個公式． ?變式遷移 11．有一種零存整取的儲蓄項目，它是每月某日存入一筆相同金額，這是零存，到一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金額. (1)試解釋這個本利和公式． 解析：(1)設(shè)每期存入金額為A，每期利率為p，存的期數(shù)為n，則各期利率之和為Ap＋2Ap＋3Ap＋…＋nAp＝n(n＋1)Ap，連同本金可得本利和nA＋n(n＋1)Ap＝A. (2)若每月初存入100元，月利率為5.1‰，則到第12個月底的本利和是多少？ 解析：(2)當(dāng)A＝100，p＝5.1‰，n＝12時，本利和＝100＝1 239.78(元)． (3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1‰，希望到第12個月底取得本利和2000元，那么每月初應(yīng)存入多少錢？ 解析：(3)將(1)中公式變形，得A＝＝≈161.32(元)， 即每月初應(yīng)存入161.32元． 二、與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合應(yīng)用題 某工廠三年的生產(chǎn)計劃中，從第二年起，每一年比上一年增長的產(chǎn)值都相同，三年的總產(chǎn)值為300萬元，如果第一年、第二年、第三年分別比原計劃的年產(chǎn)值多10萬元、10萬元、11萬元，那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長的百分數(shù)都相同，求原計劃中每年的產(chǎn)值． 分析：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列，弄清哪部分為等差數(shù)列或等比數(shù)列，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)求解． 解析：由題意得原計劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列，設(shè)為a－d，a，a＋d(d＞0)， 則有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300， 解得a＝100. 又由題意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11組成等比數(shù)列， ∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]， 將a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)， ∴d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)， ∴原計劃三年中每年的產(chǎn)值分別為90萬元、100萬元、110萬元． ?歸納拓展 讀懂題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，找準(zhǔn)首項，公比(差)，弄清求什么．混合型應(yīng)用題常有兩種解法：一是歸納法，歸納出前n次(項)，尋找規(guī)律，再寫出前n次(項)的通項(前n項和)，此時要注意下標(biāo)或指數(shù)的規(guī)律． 第二個方法是逆推法，尋找前后兩項的逆推關(guān)系，再從逆推關(guān)系求an，Sn，此時應(yīng)注意第n－1次變到第n次的變化過程． ?變式遷移 12．某地房價從2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，問平均每年增長百分之幾？(注意：當(dāng)x∈(0,0.2)時，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3) 解析：設(shè)年增長率為x，則每年的房價依次排列組成首項為1 000，公比為(1＋x)的等比數(shù)列．由題意可得1 000(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5，取自然對數(shù)有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10 lg 5＝2.3(1－lg 2)＝1.61，再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈＝0.16＝16%. 答：每年約增長16%.