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三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象 復(fù)習(xí)要求（以下內(nèi)容摘自《考綱》） 1. 理解弧度的意義，并能正確進(jìn)行弧度和角度的換算． 2. 掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義．會(huì)求y＝Asin(ωx＋j)的周期，或者經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，能運(yùn)用上述三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)的簡(jiǎn)圖，并能解決與正弦曲線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法。 5．形如 的輔助角的形式，求最大、最小值的總題。 6．同一問(wèn)題中出現(xiàn)，求它們的范圍。如求的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齊次式的值。 如已知的值。 8正弦定理： 余弦定理：，… 可歸納為表9－1. 表9-1 三角函數(shù)的圖象三、主要內(nèi)容及典型題例 三角函數(shù)是六個(gè)基本初等函數(shù)之一，三角函數(shù)的知識(shí)包括三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角，降次公式等。 1. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和性質(zhì) 2. 三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，它必然具備函數(shù)的共性；作為個(gè)體，它又具有自身的個(gè)性特點(diǎn)．例如周期性、弦函數(shù)的有界性，再如三角函數(shù)的單調(diào)性，具有分段單調(diào)的特征．通過(guò)復(fù)習(xí)對(duì)這些特性必須很好掌握，其中三角函數(shù)的周期性是高考中出現(xiàn)頻率最高的試題．根據(jù)《考綱》的要求，只需要會(huì)求經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的恒等變形可化為正弦、余弦、正切、余切函數(shù)及y＝Asin(ωx＋j)等形式的三角函數(shù)的周期，不必去研究周期函數(shù)的和、差、積、商的函數(shù)的周期． 看一看歷年來(lái)高考中出現(xiàn)的求三角函數(shù)周期的考題（例1），你應(yīng)該對(duì)復(fù)習(xí)的要求有個(gè)基本的了解． 例１ 求下列三角函數(shù)的周期．（根據(jù)歷年全國(guó)高考有關(guān)考題(填空、選擇題)改編 注意 理解函數(shù)周期這個(gè)概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常函數(shù)f(x)＝c（c為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實(shí)數(shù)，但沒(méi)有最小正周期． 3. 弦函數(shù)的有界性：|sinx|≤1,|cosx|≤1在解題中有著廣泛的應(yīng)用，忽視這一性質(zhì)，常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。 例3 求下列函數(shù)的值域： 解法2 令t＝sinx，則f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的二次函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[－1,1]上的最值． 本例題(2)解法2通過(guò)換元，將求三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這就是轉(zhuǎn)換的思想．善于從不同角度去觀察問(wèn)題，溝通數(shù)學(xué)各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)換的目的是將數(shù)學(xué)問(wèn)題由陌生化熟悉，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單，一句話：由難化易．可見(jiàn)化歸是轉(zhuǎn)換的目的，而轉(zhuǎn)換是實(shí)現(xiàn)化歸段手段。 5. “去負(fù)——脫周——化銳”，是對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行角變換的基本思路．即利用三角函數(shù)的奇偶性將負(fù)角的三角函數(shù)變?yōu)檎堑娜呛瘮?shù)——去負(fù)；利用三角函數(shù)的周期性將任意角的三角函數(shù)化為角度在區(qū)間[0o,360o)或[0o,180o)內(nèi)的三角函數(shù)——脫周；利用誘導(dǎo)公式將上述三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)——化銳. 同角三角函數(shù)之間的三種關(guān)系： (1)倒數(shù)關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系： (3)平方關(guān)系： 是進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)的最基本的公式，必須熟練掌握． 其中九組三角誘導(dǎo)公式的規(guī)律可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．此外在應(yīng)用時(shí)，不論a取什么值，我們始終視a為銳角．否則，將導(dǎo)致錯(cuò)誤。 6. 三角函數(shù)的圖象、單位圖以及三角函數(shù)線，為我們提供了數(shù)形結(jié)合的解題方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，應(yīng)引起足夠的重視． 7. 在函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0)中，A和ω確定函數(shù)圖象的形狀，j和k確定圖象的位置． 作函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)＋k的圖象，既可用“五點(diǎn)法”，也可用圖象變換的方法．圖象的基本變換有振幅變換、周期變換，以及相位變換（左、右平移）和上下平移，前兩種變換是伸縮變換，后兩種變換是平移變換． 對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其圖象的基本變換有： (1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的．A＞1,伸長(zhǎng)；A＜1,縮短． (2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的．ω＞1，縮短；ω＜1,伸長(zhǎng)． (3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ的變化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移． (4)上下平移(縱向平移變換): 是由k的變化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移 于是，本題的答案為②、③． 評(píng)析 本例所用的方法帶有普遍性，用來(lái)解有關(guān)函數(shù)y＝Asin（ωx＋j）的圖象是十分奏效的。