三角函數(shù)、解三角形教師
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第1課時 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1.角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)至另一個位置所成的圖形. (3)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合:S={β|β=α+k360,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 2.弧度制 (1)1弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角. (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=. (3)角度與弧度的換算 ①180=πrad;②1=rad;③1 rad=. (4)弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=|α|r,扇形的面積為S=lr=|α|r2. 3.任意角的三角函數(shù) (1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=(x≠0). (2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上,余弦線的起點都是原點,正切線的起點都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的正弦線,余弦線和正切線. (3)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)第一象限角一定是銳角.() (2)不相等的角終邊一定不相同.() (3)終邊落在x軸非正半軸上的角可表示為α=2πk+π(k∈Z).(√) (4)一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小,它是角的一種度量單位.(√) (5)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù).(√) (6)α為第一象限角,則sin α+cos α>1.(√) (7)將分針撥快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的角度是.() (8)角α的三角函數(shù)值與終邊上點P的位置無關(guān).(√) (9)若sin α>0,則α的終邊在第一象限或第二象限.() (10)α∈,則tan α>α>sin α.(√) 考點一 終邊相同的角和象限角 命題點 1.寫出終邊相同的角 2.判斷角所在的象限 例1] (1)在-720~0范圍內(nèi)找出所有與45終邊相同的角為________. 解析:所有與45有相同終邊的角可表示為: β=45+k360(k∈Z), 則令-720≤45+k360≤0, 得-765≤k360≤-45, 解得-≤k≤-, 從而k=-2或k=-1, 代入得β=-675或β=-315. 答案:-675或-315 (2)設(shè)θ是第三象限角,且=-cos,則是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:若θ是第三象限角,即 θ∈,k∈Z ∴∈,k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)(0,2,…)時,在第二象限, 當(dāng)k為奇數(shù)(1,3,…)時,在第四象限, 又∵=-cos, ∴cos<0,∴為第二象限. 答案:B 方法引航] (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角. (2)利用終邊相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個角β所在的象限時,只需把這個角寫成0,2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α的象限.,(3)象限角用終邊相同的角的形式作為邊界來表示,討論k的取值來確定其它角所在象限. 1.終邊在直線y=x上的角的集合是________. 解析:(1)∵在(0,π)內(nèi)終邊在直線y=x上的角是, ∴終邊在直線y=x上的角的集合為{α|α=+kπ,k∈Z}. 答案:{α|α=+kπ,k∈Z} 2.若α=k180+45(k∈Z),則α在( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析:選A.當(dāng)k=2n(n∈Z)時,α=n360+45,所以α在第一象限. 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時,α=n360+225,所以α在第三象限.綜上可知,α在第一或第三象限. 考點二 三角函數(shù)的定義 命題點 1.已知角終邊上點的坐標(biāo)求三角函數(shù)值 2.已知三角函數(shù)值求點的坐標(biāo) 3.已知三角函數(shù)值判斷角所在象限 例2] (1)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標(biāo)為,則cos α=________. 解析:因為A點縱坐標(biāo)yA=,且A點在第二象限,又因為圓O為單位圓,所以A點橫坐標(biāo)xA=-,由三角函數(shù)的定義可得cos α=-. 答案:- (2)已知α是第二象限角,設(shè)點P(x,)是α終邊上一點,且cos α=x,求4cos-3tan α的值. 解:∵r=,∴cos α=,從而 x=,解得x=0或x=. 又α是第二象限角,則x=-,r=2. ∴sin α==,tan α==-. 因此4cos-3tan α=-4sin α-3tan α =-4-3=-. (3)已知sin α>0,cos α<0,則α所在的象限是( ) A.第一象限 B.第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 解析:因為sin α>0,cos α<0,所以α為第二象限角,即+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,則+kπ<α<+kπ,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時,α為第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時,α為第三象限角,故選C. 答案:C 方法引航] 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo),則可先求出點P到原點的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo),求出此點到原點的距離,然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角α的三角函數(shù)值. 1.角α的終邊過點P(-1,2),則sin α等于( ) A. B. C.- D.- 解析:選B.由三角函數(shù)的定義, 得sin α==. 2.點P從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時針方向運動弧長到達(dá)Q點,則Q點的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 解析:選A.x=cosπ=-,y=sinπ=. 3.若α是第三象限角,則下列各式中不成立的是( ) A.sin α+cos α<0 B.tan α-sin α<0 C.cos α-tan α<0 D.tan αsin α<0 解析:選B.在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,則可排除A、C、D,故選B. 考點三 扇形的弧長及面積 命題點 1.求扇形的弧長或面積 2.求扇形的圓心角或半徑 例3] 已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為l. (1)若α=60,R=10 cm,求扇形的弧長l; (2)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積. 解:(1)α=60=,l=10=(cm). (2)設(shè)弓形面積為S弓.由題知l=cm, S弓=S扇形-S三角形=2-22sin=(cm)2. 方法引航] (1)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量. (2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形. (3)應(yīng)用上述公式時,角度應(yīng)統(tǒng)一用弧度制表示. 1.在本例(1)中,R=10 cm改為弧長l=10 cm,求扇形的半徑R和面積S. 解:∵α=60=,l=αR,即10=R ∴R=cm. S=lR=10=cm2. 2.若本例(2)改為在半徑為10 cm,面積為100 cm2的扇形中,弧所對的圓心角為( ) A.2 B.2 C.2π D.10 解析:選A.由扇形的面積公式S=αr2可得 100=α102,解得α=2. 考點四 三角函數(shù)線及應(yīng)用 命題點 1.利用三角函數(shù)線解三角方程 2.利用三角函數(shù)線解三角不等式 例4] (1)若α∈(0,2π),sin α=,則α=________. 解析:如圖,α的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)y=,即A,B. ∴α=∠xOA=,或α=∠xOB=π. 答案:或π (2)函數(shù)y=+ 的定義域是________. 解析:由題意知即 ∴x的取值范圍為+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 答案:(k∈Z.) 滿足sin α≥的α的集合為________. 解析:作直線y=交單位圓于A、B兩點,連接OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為. 答案: 易錯警示] 錯用角的終邊概念 典例] 已知角θ的終邊上一點P(3a,4a)(a≠0),則sin θ=________. 正解] ∵x=3a,y=4a,∴r==5|a|. (1)當(dāng)a>0時,r=5a,∴sin θ==. (2)當(dāng)a<0時,r=-5a,∴sin θ==-. ∴sin θ=. 答案] 易誤] (1)角的終邊是一條射線,而不是直線.該題中,我們只能確定角的終邊所在直線. (2)由終邊上一點求三角函數(shù)時,由于沒有考慮參數(shù)的取值情況,從而求出r===5a,結(jié)果得到錯誤的答案:sin θ==. 警示] (1)區(qū)分兩種三角函數(shù)定義 如果是在單位圓中定義任意角的三角函數(shù),設(shè)角α的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=,但如果不是在單位圓中,設(shè)角α的終邊經(jīng)過點P(x,y),|OP|=r,則sin α=,cos α=,tan α=. (2)明確三角函數(shù)的定義與角的終邊所在的象限位置的關(guān)系. 高考真題體驗] 1.(2011高考課標(biāo)全國卷)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2θ=( ) A.- B.- C. D. 解析:選B.設(shè)P(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點,則cos θ=. 當(dāng)t>0時,cos θ=;當(dāng)t<0時,cos θ=-. 所以cos 2θ=2cos2θ-1=-1=-. 2.(2014高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖所示,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點.角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在0,π]上的圖象大致為( ) 解析:選B.以O(shè)為坐標(biāo)原點,射線OA為x軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,則P(cos x,sin x),M(cos x,0),故點M到直線OP的距離為f(x)=|sin xcos x|=|sin 2x|,x∈0,π],故選B. 3.(2014高考大綱全國卷)設(shè)a=sin 33,b=cos 55,c=tan 35,則( ) A.a(chǎn)>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 解析:選C.b=cos 55=sin 35. 作sin 33,sin 35,tan 35的函數(shù)線,如圖, a=NQ,b=MP,c=AT. ∴AT>MP>NQ,即c>b>a. 4.(2014高考大綱全國卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),則cos α=( ) A. B. C.- D.- 解析:選D.因為角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),所以x=-4, y=3,r=5,所以cos α==-. 5.(2011高考江西卷)已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=________. 解析:因為|OP|=,由任意角的三角函數(shù)的定義得,=-,解得y=8,又因為sin θ=-<0及點P(4,y)是角θ終邊上一點,所以θ為第四象限角,故y=-8. 答案:-8 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組 基礎(chǔ)演練 1.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是( ) A.2kπ+45(k∈Z) B.k360+π(k∈Z) C.k360-315(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確. 2.若sin αtan α<0,且<0,則角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:選C.由sin αtan α<0可知sin α,tan α異號,從而α為第二或第三象限角. 由<0可知cos α,tan α異號,從而α為第三或第四象限角,故α為第三象限角. 3.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),對于始邊為x軸非負(fù)半軸的角,下列命題中正確的是( ) A.第一象限中的角一定是銳角 B.終邊相同的角必相等 C.相等的角終邊一定相同 D.不相等的角終邊一定不同 解析:選C.第一象限角是滿足2kπ<α<2kπ+,k∈Z的角,當(dāng)k≠0時,它都不是銳角,與角α終邊相同的角是2kπ+α,k∈Z;當(dāng)k≠0時,它們都與α不相等,亦即終邊相同的角可以不相等,但不相等的角終邊可以相同. 4.給出下列命題: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角; ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角,它們與扇形的半徑的大小無關(guān); ④若sin α=sin β,則α與β的終邊相同; ⑤若cos θ<0,則θ是第二或第三象限的角. 其中正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選A.由于第一象限角370不小于第二象限角100,故①錯;當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②錯;③正確;由于sin=sin,但與的終邊不相同,故④錯;當(dāng)cos θ=-1,θ=π時既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤錯.綜上可知只有③正確. 5.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.-2,3) D.-2,3] 解析:選A.∵cos α≤0,sin α>0, ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上. ∴∴-2<a≤3.故選A. 6.如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OP交單位圓O于點P,若∠AOP=θ,則點P的坐標(biāo)是( ) A.(cos θ,sin θ) B.(-cos θ,sin θ) C.(sin θ,cos θ) D.(-sin θ,cos θ) 解析:選A.由三角函數(shù)的定義知P(cos θ,sin θ). 7.已知角α的終邊過點P(-8m,-6sin 30),且cos α=-,則m的值為( ) A.- B. C.- D. 解析:選B.∵r=,∴cos α==-, ∴m>0,∴=,即m=. 8.已知角α的終邊與單位圓的交點P,則tan α=( ) A. B. C. D. 解析:選B.由|OP|2=x2+=1,得x=. ∴tan α==. 9.點P(tan 2 017,cos 2 017)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:選D.2 017=3605+217是第三象限角. ∴tan 2 017>0,cos 2 017<0, 因此點P位于第四象限. 10.已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)是(2sin 2,-2cos 2),則sin α等于( ) A.sin 2 B.-sin 2 C.cos 2 D.-cos 2 解析:選D.∵角α終邊上一點P(2sin 2,-2cos 2), ∴x=2sin 2,y=-2cos 2, r===2, ∴sin α===-cos 2. B組 能力突破 1.已知扇形的周長是6 cm,面積是2 cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 解析:選C.設(shè)此扇形的半徑為r,弧長為l, 則解得或 從而α===4或α===1. 2.若x∈(0,2π),則sin x>的必要不充分條件是( ) A.<x< B.<x<π C.<x< D.<x< 解析:選B.依題意,由sin x>,x∈(0,2π)得知<x<,可以推得<x<π;反過來,由<x<π不能得出sin x>,如?。紉=<π,此時sin x=. 因此,sin x>的必要不充分條件是<x<π,故選B. 3.若角α的終邊落在直線x+y=0上,則+=________. 解析:原式=+,由題意知角α的終邊在第二、四象限,sin α與cos α的符號相反,所以原式=0. 答案:0 4.在與2 010終邊相同的角中,絕對值最小的角的弧度數(shù)為________. 解析:2 010=π=12π-, ∴與2 010終邊相同的角中絕對值最小的角的弧度數(shù)為-. 答案:- 5.設(shè)α為第二象限角,其終邊上一點為P(m,),且cos α=m,則sin α的值為________. 解析:設(shè)P(m,)到原點O的距離為r, 則=cos α=m, ∴r=2,sin α===. 答案: 6.已知扇形的圓心角為α=120,弦長AB=12 cm,則弧長l為________. 解析:設(shè)扇形的半徑為r cm,如圖. ∠AOB=120,∠AOB=60,AB=6,由sin 60=,得r=4 cm, ∴l(xiāng)=|α|r=4=π(cm). 答案:π cm 第2課時 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1(α∈R). (2)商數(shù)關(guān)系:tan α=. 2.誘導(dǎo)公式 角 函數(shù) 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α 正切 tan α tan_α -tan_α -tan_α - - 3.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)對任意角α,sin23α+cos23α=1都成立.(√) (2)對任意角α,=tan都成立.() (3)對任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.() (4)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角.(√) (5)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變,符號看象限”,其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變指函數(shù)名稱的變化.(√) (6)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.() (7)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),則cos θ=.() (8)已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,則m<-5或m≥3.() (9)角π+α和α終邊關(guān)于y軸對稱.() (10)若α+β=90,則sin2α+sin2β=1.(√) 考點一 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 命題點 1.同角的正、余弦函數(shù)關(guān)系 2.同角的正、余弦與正切函數(shù)關(guān)系 例1] (1)已知sin θ=-,θ∈,則sin(θ-5π)sin的值是( ) A. B.- C.- D. 解析:∵sin θ=-,θ∈, ∴cos θ==. ∴原式=-sin(π-θ)(-cos θ)=sin θcos θ =-=-. 答案:B (2)若sin α+cos α=,α∈(0,π),則sin α-cos α的值為________. 解析:法一:由sin α+cos α=,得(sin α+cos α)2=, ∴sin αcos α=-,∵α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α===. 法二:∵α∈(0,π), ∴由得 ∴sin α-cos α=-=. 答案: (3)已知cos=,且α∈,則tan α=( ) A. B. C.- D. 解析:因為cos=,所以sin α=-,又α∈,∴α∈,∴cos α=-,則tan α==. 答案:B (4)已知tan θ=2,則sin θcos θ=________. 解析:∵tan θ=2 ∴sin θcos θ====. 答案: 方法引航] (1)利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.,(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用:對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin αcos α)2=12sin αcos α,可以知一求二.,(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 1.若本例(1)中,去掉θ∈條件,結(jié)果如何? 解:由sin θ=-可得cos θ= =,(θ在一、四象限為正,θ在二、三象限為負(fù)) ∴原式=sin θcos θ=. 2.若本例(2)改為sin α+cos α=,α∈求tan α. 解:由sin α+cos α=得(sin α+cos α)2=. ∴sin αcos α=-<0,又∵α∈,∴sin α<0,cos α>0. ∴sin α-cos α=-=-=-. 聯(lián)立得 ∴tan α==-. 3.若本例(4)改為,tan θ=2,求sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ的值. 解:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = == ==. 考點二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 命題點 1.給角求值 2.給值求值 3.化簡三角函數(shù)式 例2] (1)sin 600+tan 240=________. 解析:sin 600+tan 240=sin(540+60)+tan(180+60)=-sin 60+tan 60=-+=. 答案: (2)已知tan=,則tan=________. 解析:∵+=π, ∴tan=tan =-tan=-. 答案:- (3)已知f(x)=,化簡f(x)的表達(dá)式并求f的值. 解:∵f(x)= =-cos xtan x=-sin x, ∴f=-sin=sin =sin=sin=. 方法引航] 1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時,先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟為去負(fù)—脫周—化銳. 2.(1)利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的思路和要求 ①思路方法:a.分析結(jié)構(gòu)特點,選擇恰當(dāng)公式;b.利用公式化成單角三角函數(shù);c.整理得最簡形式. ②化簡要求:a.化簡過程是恒等變形;b.結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值. (2)巧用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有-α與+α;+α與-α;+α與-α等,常見的互補關(guān)系有+θ與-θ;+θ與-θ等. 1.cos-sin的值是________. 解析:原式=cos+sin=cos+sin=. 答案: 2.已知sin=,則cos=________. 解析:∵+=, ∴cos=cos=sin=. 答案: 3.已知tan θ=2,則=________. 解析:原式=====-2. 答案:-2 方法探究] 小“1”能起大作用 由于sin2α+cos2α=1恒成立,故在三角函數(shù)化簡與求值中巧妙利用“1”的代換,sin2α+cos2α即為1,看到“1”就聯(lián)想到sin2α+cos2α. 典例] (1)sin21+sin22+…+sin289=________. 解析] 原式=(sin21+sin289)+(sin22+sin288)+…+(sin244+sin246)+sin245=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)+…+(sin244+cos244)+ =+=44. 答案] 44 (2)若tan α=3,則sin的值為( ) A.- B. C. D. 解析] sin 2α=2sin αcos α===,又cos 2α=cos2α-sin2α===-, ∴sin=sin 2α+cos 2α==-. 答案]?。? 高考真題體驗] 1.(2015高考福建卷)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值等于( ) A. B.- C. D.- 解析:選D.因為sin α=-,且α為第四象限角,所以cos α=,所以tan α=-. 2.(2016高考全國乙卷)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________. 解析:因為sin=,所以cos=sin=sin=,因為θ為第四象限角,所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以sin=-=-,所以tan==-. 答案:- 3.(2016高考四川卷)sin 750=________. 解析:sin 750=sin(2360+30)=sin 30=. 答案: 4.(2013高考課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=________. 解析:∵tan=, ∴=,解得tan θ=-. ∵θ為第二象限角,tan θ=->-1, ∴2kπ+<θ<2kπ+π, ∴(sin θ+cos θ)2= ===. sin θ+cos θ<0,∴sin θ+cos θ=-. 答案:- 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組 基礎(chǔ)演練 1.已知α為第二象限角,且sin α=,則tan(π+α)的值是( ) A. B. C.- D.- 解析:選D.因為α為第二象限角,cos α=-=-,tan(π+α)=tan α=-. 2.sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值為( ) A.1 B.2sin2α C.0 D.2 解析:選D.原式=(-sin α)2-(-cos α)cos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 3.若sin=,則cos=( ) A.- B. C. D.- 解析:選B.cos=cos =sin=. 4.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,則θ等于( ) A.- B.- C. D. 解析:選D.∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ), ∴-sin θ=-cos θ,∴tan θ=. ∵|θ|<,∴θ=. 5.已知sin=,-<α<0,則cos的值是( ) A. B. C.- D.1 解析:選C.由已知得cos α=,sin α=-, cos=cos α+sin α=-. 6.若sin θcos θ=,則tan θ+=________. 解析:tan θ+=+==2. 答案:2 7.若cos(π-α)=-,則的值為________. 解析:由cos(π-α)=-,得cos α=. 則= =cos α=. 答案: 8.若=2,則sin(θ-5π)sin=________. 解析:由=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ), 兩邊平方得:1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ), 故sin θcos θ=, ∴sin(θ-5π)sin=sin θcos θ=. 答案: 9.已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,求sin α的值________. 解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,?、? tan α-6sin β=1,?、? ①②聯(lián)立,解得tan α=3, ∴=3,∴cos α=sin α, ∴sin2α+sin2α=1 ∴α為銳角,∴sin α=. 答案: 10.已知sin θ=,<θ<π. (1)求tan θ的值; (2)求的值. 解:(1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=. 又<θ<π.∴cos θ=-. ∴tan θ==-. (2)由(1)知,==-. B組 能力突破 1.若cos θ=,sin θ=-,則角θ的終邊所在的直線方程為( ) A.3x+4y=0 B.4x+3y=0 C.3x-4y=0 D.4x-3y=0 解析:選B.依題意得tan θ==-,因此所求的直線的斜率是-,其方程是y=-x,即4x+3y=0. 2.已知sin α+cos α=,則sin2=( ) A. B. C. D. 解析:選B.∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-,∴sin2===. 3.若θ∈,sin 2θ=,則sin θ=( ) A. B. C. D. 解析:選D.∵θ∈,∴2θ∈, 故cos 2θ≤0, ∴cos 2θ=-=-=-. 又cos 2θ=1-2sin2θ, ∴sin2θ===. 又sin θ>0,∴sin θ=,故選D. 4.在△ABC中,已知2cos2A-3cos(B+C)=2,則A=________. 解析:由2cos2A-3cos(B+C)=2,得 2cos2A-3cos(π-A)=2, 即2cos2A+3cos A-2=0,得 cos A=或cos A=-2(舍去), 則在△ABC中,A=. 答案: 5.已知sin θ,cos θ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個根,求cos3+sin3的值. 解:由已知原方程的判別式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0, ∴a≥4或a≤0. 又,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, 則a2-2a-1=0,從而a=1-或a=1+(舍去), 因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-. ∴cos3+sin3=sin3θ+cos3θ =(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1-)1-(1-)]=-2. 第3課時 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及變形 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β(C(α-β)) ②cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C(α+β)) ③sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S(α-β)) ④sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S(α+β)) ⑤tan(α-β)=(T(α-β)) ⑥tan(α+β)=(T(α+β)) (2)公式變形 ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α=2sin_αcos_α, ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, ③tan 2α=. (2)公式變形 ①cos2α=,sin2α=; ②1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin αcos α=sin. 3.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√) (2)存在實數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(√) (3)在銳角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不確定.() (4)公式tan(α+β)=可以變形為tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且對任意角α,β都成立.() (5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.() (6)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(√) (7)若α+β=,則(1+tan α)(1+tan β)=2.(√) (8)不存在實數(shù)α,β,使得cos(α+β)=sin α+cos β.() (9)存在實數(shù)α,使tan 2α=2tan α.(√) (10)y=的x無意義.() 考點一 三角函數(shù)式的給角求值 命題點 1.已知非特殊角求函數(shù)式的值 2.已知含參數(shù)的角化簡函數(shù)或求值 例1] (1)求值:-sin 10; 解:原式=-sin 10 =-sin 10 =-sin 10 =-2cos 10= = = ==. (2)化簡:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β. 解:法一:(復(fù)角→單角,從“角”入手) 原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1) =sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- =sin2β+cos2β-=1-=. 法二:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos 2αcos 2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos 2αcos 2β =cos2β-sin2αcos 2β-cos 2αcos 2β =cos2β-cos 2β =-cos 2β =-cos 2β=. 法三:(從“冪”入手,利用降冪公式先降次) 原式=+-cos 2αcos 2β =(1+cos 2αcos 2β-cos 2α-cos 2β)+(1+cos 2αcos 2β+cos 2α+cos 2β)-cos 2αcos 2β=. 1.求值sin 50(1+tan 10). 解:sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10) =sin 50 =sin 50 = ===1. 2.在△ABC中,已知三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,則tan+tan+tantan的值為________. 解析:因為三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且A+B+C=π, 所以A+C=,=,tan=, 所以tan+tan+tantan =tan+tan tan =+tantan =. 考點二 三角函數(shù)式的給值求值 命題點 1.已知某角的三角函數(shù)值求其它的三角函數(shù)值 2.已知某角的三角函數(shù)值,求三角函數(shù)的值 3.已知三角函數(shù)式的值,求三角函數(shù)值 例2] (1)(2016高考全國丙卷)若tan θ=-,則cos 2θ=( ) A.- B.- C. D. 解析:法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ= ==.故選D. 法二:由tan θ=-,可得sin θ=, 因而cos 2θ=1-2sin2θ=. 答案:D (2)已知tan=,且-<α<0,則等于( ) A.- B.- C.- D. 解析:由tan==,得tan α=-. 又-<α<0,所以sin α=-. 故==2sin α=-. 答案:A (3)已知α∈,且2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0,則=________. 解析:2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0 則(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0, 由于α∈,sin α+cos α≠0, 則2sin α=3cos α. 又sin2α+cos2α=1,∴cos α=, ∴ ==. 答案: 1.在本例(1)中,已知條件不變,求tan的值. 解:tan===. 2.在本例(1)中,已知條件不變,求2sin2θ-sin θcos θ-3cos2θ的值. 解:原式= = ==-. 3.已知cos+sin=,則cos=________. 解析:由cos+sin=,得 sin α+sincos α-cos πsin α= ∴sin α+cos α=, 即sin=,∴sin=, 因此cos=1-2sin2=1-22=. 答案: 考點三 已知三角函數(shù)式的值求角 命題點 1.利用弦函數(shù)值求角 2.利用切函數(shù)值求角 例3] (1)已知cos α=,cos(α-β)=,0<β<α<,則β=________. 解析:∵cos α=,0<α<. ∴sin α=. 又cos(α-β)=,且0<β<α<. ∴0<α-β<,則sin(α-β)=. 則cos β=cosα-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =+== 由于0<β<,所以β=. 答案: (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,則2α-β的值為________. 解析:∵tan α=tan(α-β)+β]= ==>0,∴0<α<. 又∵tan 2α===>0, ∴0<2α<, ∴tan(2α-β)===1. ∵tan β=-<0, ∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-π. 答案:-π 方法引航] 1.解決給值求角問題應(yīng)遵循的原則 (1)已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù). (2)已知正、余弦函數(shù)值,選正弦函數(shù)或余弦函數(shù),且①若角的范圍是,選正、余弦皆可;②若角的范圍是(0,π),選余弦較好;③若角的范圍是,選正弦較好. 2.解給值求角問題的一般步驟 (1)求角的某一個三角函數(shù)值. (2)確定角的范圍. (3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角. 1.設(shè)α,β為鈍角,且sin α=,cos β=-,則α+β的值為( ) A. B. C. D.或 解析:選C.∵α,β為鈍角,sin α=,cos β=-, ∴cos α=,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=>0. 又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=. 2.已知tan α=-,cos β=,α∈,β∈,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值. 解:由cos β=,β∈,得sin β=,tan β=2. ∴tan(α+β)= ==1. ∵α∈,β∈,∴<α+β<, ∴α+β=. 方法探究] 三角恒等變換在化簡、求值、證明中的綜合應(yīng)用 三角恒等變換要重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角:對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 典例] 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù): (1)sin213+cos217-sin 13cos 17; (2)sin215+cos215-sin 15cos 15; (3)sin218+cos212-sin 18cos 12; (4)sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; (5)sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (Ⅰ)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù); (Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解] (Ⅰ)選擇(2)式,計算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=. (Ⅱ)法一:三角恒等式為 sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=. 法二:三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=+-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α)=-cos 2α++(cos 60cos 2α+sin 60sin 2α)-sin αcos α-sin2α=-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)=1-cos 2α-+cos 2α=. 高考真題體驗] 1.(2016高考全國甲卷)若cos=,則sin 2α=( ) A. B. C.- D.- 解析:選D.因為cos=coscos α+sinsin α=(sin α+cos α)=,所以sin α+cos α=,所以1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故選D. 2.(2016高考全國丙卷)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( ) A. B. C.1 D. 解析:選A.法一:由tan α==,cos2α+sin2α=1,得或,則sin 2α=2sin αcos α=,則cos2α+2sin 2α=+=. 法二:cos2α+2sin 2α====. 3.(2015高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)sin 20cos 10-cos 160sin 10=( ) A.- B. C.- D. 解析:選D.sin 20cos 10-cos 160sin 10 =sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin 30=. 4.(2014高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)α∈,β∈,且tan α=,則( ) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= 解析:選B.由條件得=,即sin αcos β=cos α(1+sin β),sin(α-β)=cos α=sin,因為-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=,故選B. 5.(2015高考四川卷)已知sin α+2cos α=0,則2sin αcos α-cos2α的值是________. 解析:由sin α+2cos α=0,得tan α=-2. 所以2sin αcos α-cos2α== ==-1. 答案:-1 6.(2016高考四川卷)cos2-sin2=________. 解析:由二倍角公式,得cos2-sin2= cos=. 答案: 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組 基礎(chǔ)演練 1.tan 15+=( ) A.2 B.2+ C.4 D. 解析:選C.法一:tan 15+=+ ===4. 法二:tan 15+=+ =+==4. 2.的值是( ) A. B. C. D. 解析:選C.原式= = ==. 3.已知θ∈(0,π),且sin=,則tan 2θ=( ) A. B. C.- D. 解析:選C.由sin=,得(sin θ-cos θ)=,所以sin θ-cos θ=. 解方程組, 得或. 因為θ∈(0,π),所以sin θ>0,所以不合題意,舍去,所以tan θ=,所以tan 2θ===-,故選C. 4.若θ∈,sin 2θ=,則sin θ等于( ) A. B. C. D. 解析:選D.由sin 2θ=和sin2θ+cos2θ=1得 (sin θ+cos θ)2=+1=2, 又θ∈,∴sin θ+cos θ=. 同理,sin θ-cos θ=,∴sin θ=. 5.已知sin 2(α+γ)=nsin 2β,則的值為( ) A. B. C. D. 解析:選D.由已知可得sin(α+β+γ)+(α-β+γ)]=nsin(α+β+γ)-(α-β+γ)],則sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)+cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=nsin(α+β+γ)cos(α-β+γ)-cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)],即(n+1)cos(α+β+γ)sin(α-β+γ)=(n-1)sin(α+β+γ)cos(α-β+γ),所以=,故選D. 6.若sin=,則cos 2θ=________. 解析:∵sin=cos θ=, ∴cos 2θ=2cos2θ-1=22-1=-. 答案:- 7.若點P(cos α,sin α)在直線y=-2x上,則sin 2α+2cos 2α=________. 解析:∵點P(cos α,sin α)在直線y=-2x上 ∴sin α=-2cos α, 于是sin 2α+2cos 2α=2sin αcos α+2(2cos2α-1) =-4cos2α+4cos2α-2=-2. 答案:-2 8.設(shè)sin 2α=-sin α,α∈,則tan 2α的值是________. 解析:∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α. ∵α∈,sin α≠0, ∴cos α=-. 又∵α∈,∴α=π, ∴tan 2α=tanπ=tan=tan=. 答案: 9.化簡:(0<θ<π). 解:由θ∈(0,π),得0<<, ∴cos>0, ∴==2cos. 又(1+sin θ+cos θ) = =2cos =-2coscos θ. 故原式==-cos θ. 10.已知α∈,且sin+cos =. (1)求cos α的值; (2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值. 解:(1)因為sin +cos =, 兩邊同時平方,得sin α=. 又<α<π,所以cos α=-. (2)因為<α<π,<β<π, 所以-π<-β<-,故-<α-β<. 又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=. cos β=cosα-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-+=-. B組 能力突破 1.已知sin α+cos α=,則1-2sin2=( ) A. B. C.- D.- 解析:選C.由sin α+cos α=,得1+2sin αcos α=, ∴sin 2α=-. 因此1-2sin2=cos2=sin 2α=-. 2.已知f(x)=2tan x-,則f的值為( ) A.4 B. C.4- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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