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《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計 實驗小學(xué) 張紅 胡必芳 湯小華 張祖鳳 萬承林 【教學(xué)內(nèi)容】： 人教版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書●數(shù)學(xué)》六年級（下冊）第五單元數(shù)學(xué)廣角“抽屜原理”第70、71頁的內(nèi)容。 【教材分析】： “數(shù)學(xué)廣角”是人教版六年級下冊第五單元的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)問題中，有一類與“存在性”有關(guān)的問題，如任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。本節(jié)課教材借助把4枝鉛筆放進3個文具盒中的操作情境，介紹了一類較簡單的“抽屜原理”，即把m個物體任意分放進n個空抽屜里（m>n，n是非0自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。關(guān)于這類問題，學(xué)生在現(xiàn)實生活中已積累了一定的感性經(jīng)驗。教學(xué)時可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“反證法”、“假設(shè)法”等方法進行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。讓學(xué)生通過本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生加深理解，學(xué)會利用“抽屜問題”解決簡單的實際問題。在此過程中，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。實際上，通過“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴密的數(shù)學(xué)證明做準備。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，這個過程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，能從紛繁的現(xiàn)實素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的重要方面。 【學(xué)情分析】： 抽屜原理是學(xué)生從未接觸過的新知識，難以理解抽屜原理的真正含義，發(fā)現(xiàn)有相當多的學(xué)生他們自己提前先學(xué)了，在具體分的過程中，都在運用平均分的方法，也能就一個具體的問題得出結(jié)論。但是這些學(xué)生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。有時要找到實際問題與“抽屜原理”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個“抽屜”。 1．年齡特點：六年級學(xué)生既好動又內(nèi)斂，教師一方面要適當引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生發(fā)表見解， 發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。 2．思維特點：知識掌握上，六年級的學(xué)生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學(xué)證明”。因此，教師要耐心細致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學(xué)生不知其然，更要知其所以然。 【教學(xué)目標】： 1．知識與能力目標： 經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷搿? 2．過程與方法目標： 經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進行思考和推理的能力。 3．情感、態(tài)度與價值觀目標： 通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。 【教學(xué)重點】： 經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。 【教學(xué)難點】： 理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。 【教學(xué)準備】： 多媒體課件、書 【設(shè)計理念】： 1．用具體的操作，將抽象變?yōu)橹庇^。 “總有一個文具盒中至少放進2支鉛筆”這句話對于學(xué)生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解。怎樣讓學(xué)生理解這句話呢？我覺得要讓學(xué)生充分的操作，一在具體操作中理解“總有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保證“至少”的最好方法。通過操作，最直觀地呈現(xiàn)“總有一個文具盒中至少放進2支鉛筆”這種現(xiàn)象，讓學(xué)生理解這句話。 2．充分發(fā)揮學(xué)生主動性，讓學(xué)生在證明結(jié)論的過程中探究方法，總結(jié)規(guī)律。 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主動者，特別是這種原理的初步認識，不應(yīng)該是教師牽著學(xué)生手去認識，而是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生自己去探索，發(fā)現(xiàn)。所以我認為應(yīng)該提出問題，讓學(xué)生在具體的操作中來證明他們的結(jié)論是否正確，讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力。 3．適當把握教學(xué)要求。 我們的教學(xué)不同于民間的培優(yōu)機構(gòu)，因此在教學(xué)中不需要求學(xué)生說理的嚴密性，也不需要學(xué)生確定過于抽象的“抽屜”和“物體”。 【教學(xué)過程】： 一、游戲激趣，初步體驗。 〖設(shè)計意圖〗：第一次與學(xué)生接觸，在課前進行的游戲激趣，一使教師和學(xué)生 進行自然的溝通交流；二激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望；三為今天的探究埋下伏筆。 在上課前，我們先熱熱身，一起玩搶椅子游戲好嗎？誰愿意參加？請五位同學(xué)到前面來，這有四把椅子，老師說：開始！你們幾個都要坐到椅子上。聽明白了嗎？好開始。告訴老師他們坐下了嗎？老師不用看，就知道一定有一把椅子上至少做了兩名同學(xué)。對嗎？假設(shè)請這五位同學(xué)再反復(fù)坐幾次，老師還敢肯定地說，不管怎么做，總有一把椅子上至少坐了兩個同學(xué)，你們相信嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)原理，想不想研究啊？ 二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 （一）經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，理解原理。 1．自主猜想，初步感知。（提出問題） 把4枝鉛筆放進3個文具盒中。不管怎么放，總有一個杯子至少放進（　?。└“簟Ｗ寣W(xué)生猜測“至少會是”幾根？ 2．驗證結(jié)論。 不管學(xué)生猜測的結(jié)論是什么，教師都必須要求學(xué)生借助實物進行操作，來驗證結(jié)論。學(xué)生以小組為單位進行操作和交流時，教師深入了解學(xué)生操作情況，找出列舉所有情況的學(xué)生。 （1）先請列舉所有情況的學(xué)生進行匯報，一說明列舉的不同情況，二結(jié)合操作說明自己的結(jié)論。（教師根據(jù)學(xué)生的回答板書所有的情況） 學(xué)生匯報完后，教師再利用枚舉法的示意圖，指出每種情況中都有幾根小棒被放進了同一個杯子。 〖設(shè)計意圖〗：抽屜原理對于學(xué)生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中 至少放進2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導(dǎo)學(xué)生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力。 （2）提出問題。 不用一一列舉，想一想還有其它的方法來證明這個結(jié)論嗎？ 學(xué)生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設(shè)法，組織學(xué)生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？請相互之間討論一下。 在討論的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能的分散，保證“至少”的情況。 〖設(shè)計意圖〗：鼓勵學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。 （3）初步觀察規(guī)律。 教師繼續(xù)提問：如果把 6支鉛筆放進5個文具盒里呢？還用擺嗎？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？ （6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。） 把7支鉛筆放進6個文具盒里呢？ 把8枝筆放進7個盒子里呢？ 把9枝筆放進8個盒子里呢？…… …… 100支鉛筆放進99個文具盒呢？ 教師引導(dǎo)學(xué)生進行比較：你發(fā)現(xiàn)什么？ （筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。） 師：你的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎？（一樣）你們太了不起了！同桌互相說一遍。 〖設(shè)計意圖〗：讓學(xué)生在這個連續(xù)的過程中初步感知方法的優(yōu)劣，發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。 （二）進一步認識和理解“抽屜原理”。 1．數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。 出示第70頁做一做，讓學(xué)生運用簡單的抽屜原理解決問題。在說理的過程中重點關(guān)注“余下的2只鴿子”如何分配？ 讓學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)活動（獨立思考 自主探究），教師再結(jié)合課件進行演示： 2．深入探究，尋找規(guī)律。 剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？ 〖設(shè)計意圖〗：從余數(shù)1到余數(shù)2，讓學(xué)生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進行二次平均分。 3．發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步建模。 我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜，觀察物體數(shù)和抽屜數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（學(xué)生用自己的語言描述，只要大概意思正確即可） 小結(jié)：只要物體數(shù)量比抽屜的數(shù)量多，總有一個抽屜至少放進2個物體。這就叫做抽屜原理。 〖設(shè)計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學(xué)生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學(xué)生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著。 （三）應(yīng)用“抽屜原理”，感受數(shù)學(xué)的魅力。 1．看有關(guān)抽屜原理資料，讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)文化。 “抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。 〖設(shè)計意圖〗：讓學(xué)生體會平常事中也有數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情。 2．抽屜原理的應(yīng)用。 （1）出示71頁的例2：把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。如果一共有7本書呢？9本書呢？ （2）讓學(xué)生獨立思考、再小組內(nèi)討論： A、該如何解決這個問題呢？ B、如何用一個式子表示呢？ C、你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ （3）匯報討論結(jié)果，同時教師進行板書： 52=2……1 2＋1=3（本） 72=3……1 3＋1=4（本） 92=4……1 4＋1=5（本） （4）思考、討論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”還是“商＋余數(shù)”呢？為什么？ 〖設(shè)計意圖〗：對規(guī)律的認識是循序漸進的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，從“至少2個”得到“至少商+1個”的結(jié)論。 師讓學(xué)生討論得出正確的結(jié)論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”。 3．解決問題。 （1）如果我們用數(shù)學(xué)書的本數(shù)除以抽屜數(shù)，所得的余數(shù)不是1，該怎么辦呢？請看下面的題目。教師出示課本71頁的“做一做”： 8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？ （2）在這道題中，可以把什么當作抽屜？可以把什么當作剛才的課本？讓學(xué)生思考得出： 8只 8本 3個 3個 〖設(shè)計意圖〗：在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中教師抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法”形式表示出來，使學(xué)生學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。特別是對“某個抽屜至少有書的本數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，教師適時挑出針對性問題進行交流、討論，使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。 （3）學(xué)生獨立完成解答。 （四）進一步應(yīng)用原理解決問題。（游戲） 我這里有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，我請五位同學(xué)每人任意抽1張，聽清要求，不要讓別人看到你抽的是什么牌。請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張？為什么？（ 2張/因為54=1……1） 教師可以先驗證一下學(xué)生的猜測：舉牌驗證。 如有3張同花色的，符合你們的猜測嗎？ 〖設(shè)計意圖〗：用游戲的形式激發(fā)學(xué)生的興趣，用抽屜原理解決具體問題進行建模，讓學(xué)生體會抽屜的形式是多種多樣的。 如果9個人每一個人抽一張呢？（至少有3張牌是同一花色，因為94=2…1） 三、鞏固應(yīng)用。 1．算一算。向東小學(xué)六年級共有370名學(xué)生，其中六（2）班有49名學(xué)生。請問下面兩人說的對嗎？為什么？ （1）六年級里至少有兩人的生日是同一天。 （2）六（2）班中至少有5人是同一個月出生的。 〖設(shè)計意圖〗：第1題是“抽屜原理”的典型例子。其中“370名學(xué)生中一定有兩人的生日是同一天”與例1中的“抽屜原理”是一類，“49名學(xué)生中一定有5人的出生月份相同”則與例2的類型相同。教師要引導(dǎo)學(xué)生把“生日問題”轉(zhuǎn)化成“抽屜問題”。因為一年中最多有366天，如果把這366天看作366個抽屜，把370個學(xué)生放進366個抽屜，人數(shù)大于抽屜數(shù)，因此總有一個抽屜里至少有兩個人，即他們的生日是同一天。而一年中有12個月，如果把這12個月看作12個抽屜，把49個學(xué)生放進12個抽屜，4912＝4……1，因此，總有一個抽屜里至少有5（即4＋1）個人，也就是他們的生日在同一個月。 2．說一說。張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？ 四、全課小結(jié)。 說一說：今天這節(jié)課，我們又學(xué)習(xí)了什么新知識？ （師生共同對本節(jié)課的內(nèi)容進行小結(jié)） 五、課外作業(yè)。 課本73頁練習(xí)十二第2、4題。 六、板書設(shè)計。 數(shù)學(xué)廣角——抽屜原理 物體數(shù)抽屜數(shù)=商……余數(shù) 至少數(shù) =商＋1 5 2 =2……1 3 =2＋1 7 2 =3……1 4 =3＋1 9 2 =4……1 5 =4＋1 8 3 =2……2 3 =2＋1 370365 =1……5 2 =1＋1 4912 =4……1 5 =4＋1 〖設(shè)計意圖〗：這樣的板書設(shè)計是在教學(xué)過程中動態(tài)生成的，按講思路來安 排的，力求簡潔精練。這樣設(shè)計便于學(xué)生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學(xué)重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。 【教學(xué)反思】： 本節(jié)課的內(nèi)容是小學(xué)六年級下冊數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。很多老師初一看這內(nèi)容，覺得本節(jié)課的內(nèi)容與生活無關(guān)，沒有任何聯(lián)系。其實，“抽屜原理”在生活中的應(yīng)用很廣泛且靈活多變，可以解決一些看上去很復(fù)雜、覺得無從下手，卻又是相當有趣的數(shù)學(xué)問題。但對于小學(xué)生來說，理解和掌握“抽屜原理”還存在著一定的難度。所以，本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認知特點和規(guī)律，我在設(shè)計時著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，通過猜測、驗證、觀察、分析等活動，建立數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)思想。 我覺得一堂好的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該是原生態(tài)的、充滿“數(shù)學(xué)味”的課；課堂中教師應(yīng)該立足課堂，立足知識點?！皠?chuàng)設(shè)情境---建立模型---解釋應(yīng)用”是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)模式。本節(jié)課的設(shè)計中，我運用這一模式，創(chuàng)設(shè)了一些活動，讓學(xué)生通過活動，產(chǎn)生興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷探究“抽屜原理”的過程，初步了解了“抽屜原理”，并能夠應(yīng)用于實際，學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。 在教學(xué)本內(nèi)容之后，本人反思本內(nèi)容的教學(xué)，有如下幾點體會： 一、情境的創(chuàng)設(shè)“目的化”。 創(chuàng)設(shè)情境，目的不是為了創(chuàng)設(shè)情，主要是目的是讓學(xué)生很快的排除外界及內(nèi)心因素的干擾而進入教學(xué)內(nèi)容，營造一個教學(xué)情境，幫助學(xué)生在廣泛的文化情境中學(xué)習(xí)探索，同時也是為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊。導(dǎo)入新課的目的是要引起學(xué)生在思想上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的愿望，產(chǎn)生一種需要認識和學(xué)習(xí)的心理。我以“五人座四把椅子，總有一把椅子至少有兩人坐”的游戲?qū)胄抡n，激發(fā)學(xué)生的興趣，初步感受至少有兩位同學(xué)相同的現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)習(xí)新知的欲望。 二、知識的探索“自主化”。 “抽屜原理” 的理解對于小學(xué)生來說有著一定難度的。特別是對于“總有”、“至少”這兩個詞的理解。在探索知識時，首先讓學(xué)生由“猜測——驗證”的方法來構(gòu)建模型，再通過“數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法——深入探究，尋找規(guī)律——發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步建?！獙嶋H應(yīng)用，解決問題”。完全讓學(xué)生進行自主探索，親身經(jīng)歷知識的形成過程，體現(xiàn)了自主化。 三、教學(xué)語言“簡單化”。 教學(xué)，是一門學(xué)問，更是一門藝術(shù)。特別是數(shù)學(xué)這一門學(xué)科，課堂中，數(shù)學(xué)語言精簡性直接影響著學(xué)生對新知識的理解與掌握。例如，教材中“不管怎么放，總有一只抽屜里至少放進了幾個蘋果？”對于這句話，學(xué)生聽起來很拗口，也很難理解；通過思考，我將這句話變成“不管怎么放，至少有幾個蘋果放進了同一個抽屜中？”這樣對學(xué)生來說，相對顯的通俗易懂。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)嚴謹準確地使用數(shù)學(xué)語言，善于發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學(xué)語言所描述的條件及其相互轉(zhuǎn)化，以加深對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用。 以上就是本人對本內(nèi)容教學(xué)后所思考的幾方面，當然，本內(nèi)容的設(shè)計還有很多值得商榷的地方，敬請評閱的專家提出指導(dǎo)性意見。 10