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尺規(guī)作圖 一．選擇題 1.（2013四川遂寧，10，4分）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　　） ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖． 分析： ①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線； ②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)； ③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上； ④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比． 解答： 解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線． 故①正確； ②如圖，∵在△ABC中，∠C=90，∠B=30， ∴∠CAB=60． 又∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠1=∠2=∠CAB=30， ∴∠3=90﹣∠2=60，即∠ADC=60． 故②正確； ③∵∠1=∠B=30， ∴AD=BD， ∴點D在AB的中垂線上． 故③正確； ④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3． 故④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個． 故選D． 點評： 本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)． 2．（2013湖北省咸寧市，1，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標(biāo)為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為（　　） 　 A． a=b B． 2a+b=﹣1 C． 2a﹣b=1 D． 2a+b=1 考點： 作圖—基本作圖；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)作圖過程可得P在第二象限角平分線上，有角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得|2a|=|b+1|，再根據(jù)P點所在象限可得橫縱坐標(biāo)的和為0，進而得到a與b的數(shù)量關(guān)系． 解答： 解：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限角平分線上， 則P點橫縱坐標(biāo)的和為0， 故2a+b+1=0， 整理得：2a+b=﹣1， 故選：B． 點評： 此題主要考查了每個象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標(biāo)特點|橫坐標(biāo)|=|縱坐標(biāo)|． 　 . 3（2013福建福州，8，4分）如圖，已知△ABC，以點B為圓心，AC長為半徑畫?。灰渣cC為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，且點A，點D在BC異側(cè)，連結(jié)AD，量一量線段AD的長，約為（ ） A B C A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm 【答案】B 【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對角線相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺進行測量即可． 【方法指導(dǎo)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解題意，畫出圖形． 二．填空題 三．解答題 1．（2013白銀，21，8分）兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2位置如圖所示，電信部門需在C處修建一座信號反射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點C應(yīng)選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡） 考點： 作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖． 分析： 仔細分析題意，尋求問題的解決方案． 到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點即為所求作的點C． 由于兩條公路所夾角的角平分線有兩條，因此點C有2個． 解答： 解：（1）作出線段AB的垂直平分線； （2）作出角的平分線（2條）； 它們的交點即為所求作的點C（2個）． 點評： 本題借助實際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用．題中符合條件的點C有2個，注意避免漏解． 2．（2013蘭州，22，8分）如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論） 考點：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖． 分析：根據(jù)點P到∠AOB兩邊距離相等，到點C、D的距離也相等，點P既在∠AOB的角平分線上，又在CD垂直平分線上，即∠AOB的角平分線和CD垂直平分線的交點處即為點P． 解答：解：如圖所示：作CD的垂直平分線，∠AOB的角平分線的交點P即為所求． 點評：此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．　 3．（2013貴州省六盤水，24，10分）（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（1）：若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值． 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為　?。? （2）實踐運用 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　?。? （3）拓展延伸 如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法． 考點： 圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題． 分析： （1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=； （2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值； 由于的度數(shù)為60，點B是的中點得到∠BOC=30，∠AOC=60，所以∠AOE=60+30=90，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=； （3）拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N． 解答： 解：（1）觀察發(fā)現(xiàn) 如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值， ∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點 ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30，BE=1， ∴CE=BE=； 故答案為； （2）實踐運用 如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB， ∵BE⊥CD， ∴CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱， ∵的度數(shù)為60，點B是的中點， ∴∠BOC=30，∠AOC=60， ∴∠EOC=30， ∴∠AOE=60+30=90， ∵OA=OE=1， ∴AE=OA=， ∵AE的長就是BP+AP的最小值． 故答案為； （3）拓展延伸 如圖（4）． 點評： 本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱﹣最短路徑問題． 　 4. （2013湖北宜昌，18，7分）如圖，點E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF． （1）請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由； （2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60，求線段EF的長． 考點： 菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 分析： （1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形； （2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長． 解答： 解：（1）菱形． 理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF， ∴四邊形AEDF是菱形； （2）連接EF， ∵AE=AF，∠A=60， ∴△EAF是等邊三角形， ∴EF=AE=8厘米． 點評： 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5．（2013鞍山，21，6分）如圖，已知線段a及∠O，只用直尺和圓規(guī)，求做△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（在指定作圖區(qū)域作圖，保留作圖痕跡，不寫作法） 考點：作圖—復(fù)雜作圖． 分析：先作一個角等于已知角，即∠MBN＝∠O，在邊BN上截取BC＝a，以射線CB為一邊，C為頂點，作∠PCB＝2∠O，CP交BM于點A，△ABC即為所求． 解答：解：如圖所示：． 點評：本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的基本作圖方法．　 6. （2013杭州8分）如圖，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q（不寫作法，保留作圖痕跡）．連結(jié)QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請寫出一條． 【思路分析】根據(jù)角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出Q點位置，進而利用垂直平分線的作法得出答案即可． 【解析】如圖所示：發(fā)現(xiàn)：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等． 【方法指導(dǎo)】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及線段垂直平分線的作法和性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用其性質(zhì)得出系等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 2. 2013?嘉興12分）小明在做課本“目標(biāo)與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)． （1）請寫出這種做法的理由； （2）小明在此基礎(chǔ)上又進行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點A，D；②連結(jié)AD并延長交直線a于點B，請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說明理由； （3）請在圖3畫板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡． 【思路分析】1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可； （2）根據(jù)題意，有3個角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質(zhì)，可知∠PAB=∠PDA；又對頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質(zhì)，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形． 【解析】（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）； （2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1， 如圖，∵PA=PD， ∴∠PAB=∠PDA， ∵∠BDC=∠PDA（對頂角相等）， 又∵PC∥a， ∴∠PDA=∠1， ∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1； （3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形． 【方法指導(dǎo)】本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）對頂角的性質(zhì)，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實際問題場景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答． 7.（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，點E是AC的中點。 （1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。 ①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長交AM于點F。 【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。 ②連接BE并延長交AM于點F。 （2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 【解析】解：AF∥BC且AF=BC 理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C 由作圖可知：∠DAC=2∠FAC ∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC. ∵E是AC的中點， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC. 8.（2013四川樂山，18，9分）如圖，已知線段AB。 （1）用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）； （2）在（1）中所作的直線l上任意取兩點M、N（線段AB的上方），連接AM、AN。BM、BN。 求證：∠MAN=∠MBN。 9．（2013江西南昌，17，6分）如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點C在半圓外；圖2中，點C在半圓內(nèi)，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖． （1）在圖1中，畫出△ABC的三條高的交點； （2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高． 【思路分析】圖1點C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點B作AC的垂線，過點A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具（無刻度的直尺，只能作直線或連接線段），說明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來畫圖（這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在），作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對的圓周角為90度”.設(shè)AC與圓的交點為E, 連接BE,就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點為D, 連接AD,就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點就是△ABC的三條高的交點；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點，受題（1）的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點P，再作射線PC與AB交于點D，則CD就是所求作的AB邊上的高． [解]在圖1中，點P即為所求；在圖2中，CD即為所求． 【方法指導(dǎo)】本題屬創(chuàng)新作圖題，是江西近年熱點題型之一.考查考生對圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力，題（1）是要作點，題（2）是要作高，都是要解決直角問題，用到的知識就是“直徑所對的圓周角為直角”． 10．（2013山東德州,23,10分） （1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD。請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡） （2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由； （3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題： 如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長。 【思路分析】（1）根據(jù)題目要求進行尺規(guī)作圖，并加以證明其它結(jié)論；（2）用三角形全等分析BE與CD相等關(guān)系；（3）構(gòu)件建幾何模型解（添加輔助線、運用勾股定理）決實際問題. 【解】（1）完成作圖，字母標(biāo)注正確。 證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形。 ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （2）BE=CD 理由同（1）： ∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD （3）由（1）（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD =900，則AD＝AB＝1000，∠ABD＝450， ∴BD＝100 連接CD，則由（2）可得BE＝CD。 ∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900， 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100 ∴CD＝＝100 ∴BE的長為100米 【方法指導(dǎo)】本題考查了與等邊三角形、正方形的全等應(yīng)用實踐操作、探究題.圖形與幾何的實踐、探究題，是新中考比較熱點的命題方向.