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探索勾股定理 教學設(shè)計 課標解讀 2011 年 新課程標準 中指出 學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的 主動的和富有個性 的過程 除接受學習外 動手實踐 自主探究與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式 學生 應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察 實驗 猜想 計算 推理 驗證等活動過程 引導學 生獨立思考 主動探索 合作交流 使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能 數(shù)學思想 和方法 獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗 教材分析 勾股定理 是在學生已經(jīng)學習了直角三角形兩銳角的性質(zhì)之后提出來的另一條性質(zhì) 它 揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 勾通了形與數(shù)的聯(lián)系 是后面學習解直角三 角形的重要依據(jù) 勾股定理在生產(chǎn)與生活中應(yīng)用廣泛 再者 中國古代學者對勾股定理的 研究有很多重要成就 對勾股定理的證明采用了很多方法 對后世影響很大 是對學生進 行愛國主義教育的好素材 因此勾股定理是幾何學中非常重要的定理 學情分析 初二學生已具備一定的分析和歸納能力 對于勾股定理的得出 需要學生通過動手操 作 在觀察的基礎(chǔ)上 大膽地猜想數(shù)學結(jié)論 但對用割補法和面積法計算 驗證幾何命題還 有一定困難 因此在教學中需加強學生動口 動手 合作交流等能力 加強學生對猜想 歸納 推理 轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想的理解 教學目標 1 在經(jīng)歷勾股定理探索的過程中 逐步發(fā)展自身的合情推理能力 進一步用心體會數(shù)形結(jié) 合思想 充分發(fā)揮自主探索精神 在小組合作中積極參與討論 與他人分工 團結(jié) 合作 2 掌握勾股定理 了解利用拼圖勾股驗證勾股定理的方法 會初步運用勾股定理解決一些 簡單的數(shù)學問題和實際問題 通過問題的解決 逐步體會勾股定理的應(yīng)用價值 增強自信心 產(chǎn)生學習數(shù)學的更大興趣 3 在閱讀參考資料的過程中 了解了古今中外在勾股定理研究方面取得的偉大成就 慢慢 體會勾股定理的文化價值 感受數(shù)學文化 教學重點 勾股定理的探索及簡單應(yīng)用 教學難點 勾股定理的證明 教學方法 本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學 由淺入深 由特殊到一般地提出問題 鼓勵學生 采用觀察分析 自主探索 合作交流的學習方法 讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應(yīng)用過程 學法指導 采用自主探索 小組合作交流的學習方式 評價設(shè)計 1 2 號學生回答問題獎勵組內(nèi) 1 顆星 3 4 號學號學生回答問題獎勵組內(nèi) 2 顆星 5 6 號學生回答問題獎勵組內(nèi) 3 顆星 能夠提出有價值的問題的小組 加 2 顆星 一般問題加 1 顆星 前三名為明星小組 每組前三名為明星組員 教學程序 環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境 導入新課 如圖 這是某學校平面圖的一部分 A 處是教學樓 B 處是學生食堂 從教學樓到食堂有一 條路 ACB 但一些不守紀律的同學經(jīng)常從在教學樓與食堂之間一塊長 80 米 寬 60 米的長 方形草坪上抄近路 結(jié)果草坪被踏出了一條斜路 你怎么看待這些同學的行為 你認為走 斜路比直路能少走多少米 這是我們生活中經(jīng)常遇到的實際問題 那么將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題它又是已知什么求什么的 問題呢 已知直角三角形的兩邊 如何求第三邊 這就是我們今天要共同探索的問題 直角 三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 設(shè)計意圖 從學生熟悉的生活情景入手 構(gòu)造現(xiàn)有知識不足以解決的問題 形成知識沖 突 讓學生感受到探索本節(jié)知識的必要性 從而激發(fā)學生的學習熱情 同時借助這個情境對 學生進行社會公德教育 使學生能夠明辨是非 更加規(guī)范自己的行為 養(yǎng)成良好品德 標準 指出 要讓學生在生動具體的情境中學習數(shù)學 要讓學生在現(xiàn)實的情境中體 驗和理解數(shù)學 要選擇具有現(xiàn)實性和趣味性的素材作為學習的背景等 好奇心 求知欲 是學生學習數(shù)學的原動力 在教學中選擇聯(lián)系學生生活的 學生關(guān)注的 感興趣的素材作為 A BC 認識的背景 激發(fā)學生的求知欲 培養(yǎng)學生的學習興趣 環(huán)節(jié)二 合作探究 發(fā)現(xiàn)新知 活動一 地磚里的秘密 在 2500 年前 古希臘著名的數(shù)學家畢達哥拉斯就已經(jīng)對直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 有了明確的結(jié)論并給予了證明 相傳他對三角形三邊關(guān)系的發(fā)現(xiàn)竟然是從地磚中得到的 現(xiàn)在就讓我們一同回到 2500 年前 體驗一下畢達哥拉斯的經(jīng)歷 設(shè)計意圖 通過講述故事來進一步激發(fā)學生學習興趣 使學生在不知不覺中進入學習的 最佳狀態(tài) 通過故事也使學生明白 科學家的偉大成就多數(shù)都是在看似平淡無奇的現(xiàn)象中發(fā) 現(xiàn)和研究出來的 生活中處處有數(shù)學 我們應(yīng)該學會觀察 思考 將學習與生活緊密結(jié)合 起來 問題 1 地磚是由全等的直角三角形拼接而成的 每個直角三角形都相鄰三個正方形 這 三個正方形面積間有怎樣的關(guān)系呢 你是怎么看出來的 問題 2 如果用直角三角形三邊長來分別表示這三個正方形的面積 又將反映三邊怎樣的 數(shù)量關(guān)系 A B C 等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 設(shè)計意圖 對地磚中圖形的探索 培養(yǎng)學生能夠用數(shù)學的眼光認識生活中現(xiàn)象的能力 將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三邊之間數(shù)量關(guān)系 讓學生體驗 面積法 在幾何證明 中的作用 為探索一般直角三角形三邊關(guān)系提供了方法線索 活動二 探究猜想驗證 1 等腰直角三角形三邊滿足上述關(guān)系 那么一般直角三角形呢 下面我們借助網(wǎng)格進 行探索 每個小格代表一個單位面積 Q P ED F R 問題 1 請分別求出三個正方形的面積分別是幾個單位面積 問題 2 你能發(fā)現(xiàn)這三個正方形的面積間有怎樣的關(guān)系嗎 問題 3 由此你能發(fā)現(xiàn)直角邊長為 3 和 4 的直角三角形的三邊具有怎樣的數(shù)量關(guān)系 學生先獨立思考 然后小組合作探究 共同交流 小組代表發(fā)言 全班集體交流 后多媒 體展示 用數(shù)學語言表述你的猜想 直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 設(shè)計意圖 由等腰三角形到一般直角三角形 滲透了從特殊到一般的數(shù)學思想 在探索的 過程中 讓學生進一步體會畢達哥拉斯的面積法 也再次位猜想提供了有力的證據(jù) 不僅 如此 正方形 C 面積的計算方法已經(jīng)體現(xiàn)了 割 和 補 拼 的思想 這位下一步應(yīng) 用面積僅行一般化證明做好了鋪墊 通過小組合作培養(yǎng)學生的合作意識 團隊精神 通過探 究活動來培養(yǎng)頑強刻苦 戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì) 完善學生的人格品質(zhì) 引領(lǐng)學生運用特殊和 一般的對立統(tǒng)一 茅盾轉(zhuǎn)化的觀點去分析問題 解決問題 深透辨證唯物主義觀點 2 動手實踐 1 畫圖 每個小組 1 號 3 號同學畫兩直角邊長分別為 6cm 和 8cm 的直角三角形 2 號 4 號同學畫兩直角邊長分別為 5cm 和 12cm 的直角三角形 2 測量 請用刻度尺量出斜邊的長 3 計算驗證 三邊長度是否滿足上述關(guān)系 綜合上述結(jié)果 你能用文字語言敘述這一結(jié)論嗎 屏幕展示 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 這一活動學生先獨立畫圖驗證探究得到的結(jié)論 然后同桌交流 組長評閱 設(shè)計意圖 標準 把 雙基 變?yōu)?四基 數(shù)學基本活動經(jīng)驗就是新增的內(nèi)容之一 本環(huán)節(jié)使學生有了參與數(shù)學活動的經(jīng)歷 并在數(shù)學活動過程中有了一定的感性認識 情緒 體驗和觀念意識 3 幾何畫板驗證 是不是所有直角三角形兩直角邊的平方和都等于斜邊的平方 請看幾何畫板的動態(tài)演 示 改變直角三角形的邊長 觀察三邊是否滿足上述數(shù)量關(guān)系 如果直角三角形兩直角邊的 長分別為 a b 斜邊為 c 那么 a b c 之間會滿足怎樣的關(guān)系呢 設(shè)計意圖 通過幾何畫板的動態(tài)演示幫助學生進一步理解這一規(guī)律的一般化 剛才我們利用幾何畫板進一步驗證了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系 但是我們知道任何定 理都必須通過嚴格的邏輯推理論證才能成為我們證明的依據(jù) 我們能從理論上進一步來證 明這一猜想的正確性嗎 其實這一結(jié)論是可以證明的 兩千多年來 人們對勾股定理的證明頗感興趣 古往今 來 下至平民百姓 上至帝王總統(tǒng) 都曾經(jīng)探討和研究過它的證明 有資料表明 關(guān)于勾股 定理的證明方法有 500 多余種 僅我國清末數(shù)學家華衡芳就提供了二十多種精彩的證法 今 天我們也來證明一下怎么樣 4 拼圖驗證 1 請同學們以小組為單位用你們手中四個全等的直角三角形 試著動手拼一拼 證一證 看看能不能得到一個以斜邊 C 為邊長的正方形圖案 或者能不能得到一個以 a b 為邊長的 正方形圖案 2 你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎 你能用它說明勾股定理嗎 化簡得 a 2 b2 c2 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊分別為 a b 斜邊為 c 那么 a2 b2 c2 即直角三 角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 圖形語言 2cS 大 正 方 形 2 14aba C b C C a a a a C ab C b b b a a a C C C 在 ABC 中 C 90 設(shè)計意圖 學生用直角三角形模具完成拼圖 老師巧妙的設(shè)置開放性問題情境 讓學生 充分發(fā)揮想象力和設(shè)計才能 培養(yǎng)了學生的動手操作能力 讓學生體會應(yīng)用圖形 格補拼 接 面積不變的特點來驗證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜想 培養(yǎng)學生由數(shù)到形的數(shù)學思 想及轉(zhuǎn)化的能力 在實驗拼圖探究的過程中也發(fā)展了學生的空間想象力和合情推理能力 通過探索活動學生可以從中領(lǐng)悟出 實踐出真知 的道理 想知道勾股定理的由來嗎 請看知識鏈接 知識鏈接 在西方 古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系 因此在國外人們 通常稱 畢達哥拉斯 定理 畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后 即斬了百頭牛作慶祝 因此 又稱 百牛定理 法國 比利時人又稱這個定理為 驢橋定理 但是他們發(fā)現(xiàn)的時間比 我國晚 500 多年 我國是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國家 在我國古代 人們把彎曲成直角的 手臂的上半部分稱為勾 下半部分稱為股 我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為 勾 較長的直角邊稱為股 斜邊稱為弦 根據(jù) 周髀算經(jīng) 記載 西周開國時期 公元前 1000 多年 有個叫商高的人對周公說 把一根直尺折成直角 兩端連接得一直角三角形 如果勾是 3 股是 4 那么弦是 5 人們就把這個發(fā)現(xiàn)稱為勾股定理 在中國 又稱 商高 定理 可見我國古代人民對人類的杰出貢獻 設(shè)計意圖 勾股定理的由來與發(fā)展 使學生開闊眼界 產(chǎn)生學好新知識的欲望和正確的 學習動機 增強學習動力 這樣既激發(fā)了學生的興趣 又增加了課堂的愉悅氣氛 同時也對 學生進行了愛國主義教育 讓他們感受我國古代數(shù)學的偉大成就 增強學生的民族自豪感和 自信心 樹立長大后為祖國社會主義建設(shè)作貢獻的雄心壯志 同學們剛剛親身經(jīng)歷了勾股定理的探索過程 并且了解了勾股定理的由來 其實很多 科學家的偉大成就都是在看似平淡無奇的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和研究出來的 生活中處處有數(shù)學 只要我們用心觀察 有一天我們也會成為某一偉大成就的發(fā)現(xiàn)者 勾股定理有著悠久的歷史 它是幾何學中的明珠 請看知識鏈接 知識鏈接 我國古代著名的數(shù)學家趙爽也是用這個圖 形來證明的 所以這幅圖又被稱為趙爽弦圖 我們再看 22cba A C B ab c 這是 2002 年在北京召開的國際數(shù)學家大會的現(xiàn)場 此次大會的會徽就是用趙爽弦圖為基礎(chǔ) 設(shè)計的 我們知道國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學科學學術(shù)會議 被稱為數(shù)學界 的 奧運會 這么高層次的大會 選擇這個圖案作為會徽 你決得有什么寓意呢 勾股定理是一個基本的幾何定理 它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一 是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一 在古今中外的數(shù)學中占有十分重要的地位 在科學研究中也發(fā)揮著 重要的價值 請看下面的閱讀材料 閱讀材料 世界上有外星人嗎 現(xiàn)在世界上的許多科學家正在試探著尋找 外星人 人們?yōu)榱巳〉门c外星人的聯(lián)系 想了很多方法 早在 1820 年 德國著名數(shù)學家高斯 就曾提出就曾提出 可在西伯利亞的森林里伐 出一片直角三角形的空地 然后在這片空地里種上麥子 以三角形的三條邊為邊種上三片 正方形的松樹林 如果有外星人路過地球附近 看到這個巨大的數(shù)學圖形 便會知道 這 個星球上有智慧生命 我國數(shù)學家華羅庚也曾突出 若要溝通兩個不同星球的信息交往 最好利用太空船戴 上這個圖形 并發(fā)射到太空中去 假如我們一旦和外星人見面 該使用什么語言呢 使用 符號語言 與外星人聯(lián)系是最經(jīng)濟和最有效的 華羅庚認為 我們可以用兩個圖形作為與 外星人交談的媒介 一個是 數(shù) 一個是 數(shù)形關(guān)系 也就是勾股定理 因為這種自然圖 形所具備的 數(shù)形關(guān)系 在整個宇宙中是普遍的 前面我們親自探索并驗證了勾股定理 了解了勾股定理的由來和發(fā)展及價值 那么我 們能夠靈活運用它來解決數(shù)學問題和實際問題嗎 環(huán)節(jié)三 應(yīng)用遷移 內(nèi)化知識 A 組 1 做一做 P 625 400 B A C P 的面積 AB BC AC 2 如圖以正方形 G 的一邊為斜邊 向外作直角三角形 再以這個直角三角形的兩直角邊為 邊向外做正方形 E 和 F 再以兩個正方形的邊為斜邊繼續(xù)向外作直角三角形 再以兩個直 角三角形的直角邊為斜邊分別向外做四個正方形 A B C D 其中最大的正方形 A 的邊長 為 7cm 則正方形 A B C D 的面積之和是多少 49 cm2 拓展 如果按照這樣的規(guī)律繼續(xù)畫下去 那么最末端的分支上的所有小正方形的和會是多 少 3 自主完成例題 例 1 在 ABC 中 C 90 如果 c 10 a 6 求 b 的長 設(shè)計意圖 練習題由淺入深 前面兩組難度值不大 可以讓大部分學生體驗到成功的 喜悅 同時體現(xiàn)了方程思想及面積法解題的思想 B 組 如圖 這是某學校平面圖的一部分 A 處是教學樓 B 處是學生食堂 從教學樓到食 堂有一條路 ACB 但一些不守紀律的同學經(jīng)常從在教學樓與食堂之間一塊長 80 米 寬 60 米的長方形草坪上抄近路 結(jié)果草坪被踏出了一條斜路 你怎么看待這些同學的行為 你 認為走斜路比直路能少走多少米 設(shè)計意圖 同時通過利用勾股定理解決生活中的實際問題 讓學生感受數(shù)學源于生活又 作用于生活 數(shù)學是為生活服務(wù)的 感受數(shù)學的應(yīng)用價值 環(huán)節(jié)四 總結(jié)反思 拓展升華 我學會了那些知識 我掌握了哪些方法 我獲得了哪些思想 我收獲到哪些經(jīng)驗 還有哪些困惑 A BC 設(shè)計意圖 能夠清晰的表達出來的 才是學生真正擁有的 課堂小結(jié) 采用自由交流的 形式 鼓勵學生多方面 多角度整理一節(jié)課的收獲 使他們能夠善于表達 用心傾聽 相互 分享 通過不同層面的廣泛交流 發(fā)展學生的表達能力 養(yǎng)成反思的習慣 全員參與 體現(xiàn) 集體的智慧 培養(yǎng)學生良好的學習習慣 使學生在數(shù)學學習過程中學會做人 環(huán)節(jié)五 盤點收獲 檢測新知 受臺風麥莎影響 一棵樹在離地面 4 米處斷裂 樹的頂部落在離樹跟底部 3 米處 這 棵樹折斷前有多高 設(shè)計意圖 達標檢測時對學生的一種評價和激勵措施 所以題目難度適宜 面向絕大多 數(shù)同學 能夠使不同層次的學生體會到成功的喜悅 環(huán)節(jié)六 推薦作業(yè) 分層落實 1 必做題 27 頁 習題 2 1 第 1 3 題 用第 2 幅拼圖驗證勾股定理 2 閱讀課本 36 頁 課題學習 了解勾股定理的多種證法或利用網(wǎng)絡(luò)搜集其他更多證明勾 股定理的方法 及有關(guān)知識 根據(jù)自己的情況選擇完成 設(shè)計意圖 針對學生認知的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)題 必做題體現(xiàn)了對新課標下 學 友價值的數(shù)學 人人能獲得必要的數(shù)學 的落實 選做題體現(xiàn)了讓 不同的人在數(shù)學 上得到不同的發(fā)展 充分體現(xiàn)學生的自主性 網(wǎng)上搜索 給提供了一個更為廣闊的學習和 思維空間和平臺 板書設(shè)計 勾股定理 在 ABC 中 C 90 設(shè)計意圖 用簡潔規(guī)范的字體進行板書 給學生以嚴謹治學的態(tài)度 從而培養(yǎng)學生認真 分析 認真書寫的習慣 用彩筆對重點知識進行標記 引起學生重視 達到強調(diào)的目的 同 時給學生以美的感覺 培養(yǎng)學生的審美觀念 尊重生命 靜待花開 探索勾股定理 教后反思 文登二中 徐方圓 一 尊重學生的 生命 再現(xiàn)知識的生成過程 靜待花開綻放 本節(jié)課的設(shè)計讓學生經(jīng)歷了定理的發(fā)現(xiàn) 猜測 驗證 證明的過程 使學生通過計算 畫直角三角形 幾何畫板的演示 學生的動手拼圖 證明的過程 多角度感悟勾股定理 從而達到對定理的真正理解和掌握 在學習的過程中讓學生感悟了數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)到定理證明的過程 使學生親身經(jīng)歷發(fā) 現(xiàn) 猜測 驗證 特殊到一般推理證明的過程 達到問題的解決 引導學生多角度驗證勾 股定理 二 課堂中讓學生感受燦爛文化 進行愛國主義教育 課堂中設(shè)計了 3 處閱讀材料 西方國 家與我國古時 周脾算經(jīng) 的比較 讓學生感受我國文明的古老 從趙爽驗證勾股定理的 命名 到今天數(shù)學學會會徽的選用都滲透著我國文化的古老 召引著新生的奮斗 努力 進取 材料三的 數(shù)形結(jié)合 與外星人的交流 無不滲透數(shù)學在生活中的重要 讓學生體 會到學習數(shù)學知識的重要性 三 這節(jié)課改變了以往枯燥的 例題習題 模式的數(shù)學課 而是讓學生感受著文化 祖國 的榮耀 滲透著德育教育 激勵學生不斷進取的同時 也教會了學生如何做人 A C Ba b c